向量的概念與性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一向量的概念與性質(zhì)一知識點1與向量概念有關(guān)的問題向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量（稱標(biāo)量），而向量既有大小又有方向；數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，只有它的模才能比較大小.記號“”錯了，而|才有意義.有些向量與起點有關(guān)，有些向量與起點無關(guān).由于一切向量有其共性（力和方向），故我們只研究與起點無關(guān)的向量（既自由向量）.當(dāng)遇到與起點有關(guān)向量時，可平移向量.平行向量（既共線向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要條件.單位向量是模為1的向量，其坐標(biāo)表示為（）,其中、滿足 1（可用（cos,sin）（02）表示）.零向量的長度為0，是有方

2、向的，并且方向是任意的，實數(shù)0僅僅是一個無方向的實數(shù).有向線段是向量的一種表示方法，并不是說向量就是有向線段.2與向量運算有關(guān)的問題向量與向量相加，其和仍是一個向量.(平行四邊形法則：起點相同，三角形法則：首尾相連)當(dāng)兩個向量和不共線時，的方向與、都不相同，且|； 當(dāng)兩個向量和共線且同向時，、的方向都相同，且；當(dāng)向量和反向時，若|，與 方向相同 ，且|=|-|；若|時,與 方向相同，且|=|-|.向量與向量相減，其差仍是一個向量.向量減法的實質(zhì)是加法的逆運算.（三角形法則：起點相同，減向量重點指向被減向量的終點）圍成一周首尾相接的向量（有向線段表示）的和為零向量.如，,（在ABC中）.(ABC

3、D中)判定兩向量共線的注意事項如果兩個非零向量，使=（R），那么；反之，如，且0，那么=.這里在“反之”中，沒有指出是非零向量，其原因為=0時，與的方向規(guī)定為平行. （4）向量的數(shù)乘運算的定義：數(shù)乘運算模的大小為：（6）數(shù)量積的8個重要性質(zhì)（）兩向量的夾角為0.由于向量數(shù)量積的幾何意義是一個向量的長度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可負(fù)、可以為零，故向量的數(shù)量積是一個實數(shù).設(shè)、都是非零向量，是單位向量，是與的夾角，則（=90°，在實數(shù)運算中=0=0或b=0.而在向量運算中=或=是錯誤的，故或是=0的充分而不必要條件.當(dāng)與同向時=(=0,cos=1);當(dāng)與反向時，=-(=,c

4、os=-1)，即的另一個充要條件是.特殊情況有=.或=.如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標(biāo)分別為(,),(,),則=。（因）數(shù)量積不適合乘法結(jié)合律.如（因為與共線，而與共線）數(shù)量積的消去律不成立.若、是非零向量且并不能得到這是因為向量不能作除數(shù)，即是無意義的.二課堂訓(xùn)練1下列各式計算正確的有（ ）(1)(7)6a=-42a (2)7(a+b)8b=7a+15b (3)a2b+a+2b=2a (4)若a=m+n,b=4m+4n,則abA1個 B2個 C3個 D4個2化簡的結(jié)果是（ ）ABCD3下列各式敘述不正確的是（ ）A若ab,則a、b不共線(R)Bb=3a(a為非零向量),則a、b共線

5、C若m=3a+4b,n=a+2b,則mnD若a+b+c=0,則a+b=-c4對于菱形ABCD，給出下列各式：2其中正確的個數(shù)為（ ）A1個B2個C3個D4個5已知向量反向，下列等式中成立的是（ ）ABCD6在ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點,則（ ）A與共線 B與共線C與相等 D與相等7已知向量e1、e2不共線,實數(shù)x、y滿足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,則x-y的值等于( )A3B3 C0 D28已知正方形ABCD的邊長為1, =a, =b, =c,則|a+b+c|等于（ ）A0 B3 C D29. 已知、是非零向量且滿足，則與的夾角是（ ）A B

6、 CD10.若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是（ ）ABCD 11已知菱形ABCD的邊長為2,求向量+的模的長._。12已知的夾角為120°，且，當(dāng)時， k= .二向量的坐標(biāo)形式一知識點若則 特別地： 若，則 = 若，則 = 二課堂訓(xùn)練1. 已知 2. 設(shè) 3. 設(shè)點（1）當(dāng) 時，點在第一、三象限角平分線上；（2）當(dāng) 時，點在第四象限.4. 已知向量 5. 設(shè)向量，則的取值范圍為 6. 已知向量= 7.已知向量，根據(jù)下列情形求：（1）若_（2）若._8.已知向量= 9.設(shè)向量= 10.在，則的面積為 11.平面內(nèi)給定三個向量（1） 求；（2） 求滿足的實數(shù)；（3） 若；（4

7、） 設(shè) 12.設(shè)向量（1） 試計算；（2） 求向量夾角的大小.單元測試題一、選擇題：（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1、若向量方程，則向量等于A、 B、C、 D、2、兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯誤的一個是A、與為平行向量 B、與為模相等的向量 C、與為共線向量 D、與為相等的向量3、A、B、C、 D、4、下列各組的兩個向量，平行的是A、， B、， C、， D、，5、若分所成的比為，則分所成的比為A、 B、 C、 D、6、已知，則與的夾角為A、 B、 C、 D、7、已知，都是單位向量，則下列結(jié)論正確的是A、 B、 C、

8、 D、CBAD8、如圖，在四邊形中，設(shè)，則A、 B、 C、 D、 9、則向量在向量方向上的投影為A、B、C、D、1010、在中，則A、 B、 C、或 D、或二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）11、已知，則線段的中點的坐標(biāo)是_。12、設(shè)是平行四邊形的兩條對角線的交點，下列向量組：（1）與；（2）與；（3）與；（4）與，其中可作為這個平行四邊形所在平面表示它的所有向量的基底的向量組可以是_。13、已知，則向量方向上的單位向量坐標(biāo)是_。14、在中，面積，則=_。三、解答題：（本大題共3小題，共44分）15、已知，（1）若，求；（2）若，求。16、已知，與的夾角為，求。17、已知：求證：互相垂直.參考答案一、選擇題：CDDDB CBABC二、填空題：11、（1，-1） 12、（1）、（3） 13、 14、三、解答題15、（1）或（2）或16、 17. 證明：由已知條件得：