常微分方程78244

1、常微分方程輔導(dǎo)（二）第二章 基本定理 1知道線素與線素場的概念，理解解的存在與唯一性定理的條件、結(jié)論，理解其證明方法解的存在與唯一性定理的條件： 方程的右端函數(shù)（1）在閉矩形域上連續(xù)；（2）在R上關(guān)于變量y滿足李普希茲(Lipschitz)條件，即存在常數(shù)N，使對(duì)于R上任何一對(duì)點(diǎn)和有不等式： 結(jié)論： 初值問題 在區(qū)間上存在唯一解 。其中。 2了解解的延展、延展解、不可延展解的概念，了解局部李普希茲條件，理解解的延展定理，了解其證明方法 3了解奇解定義、包絡(luò)線概念，掌握不存在奇解的判別法、包絡(luò)線的C-判別式，掌握奇解的包絡(luò)線求法 （1）不存在奇解的判別方法： 若方程在全平面上解唯一，則方程不存在

2、奇解； 若不滿足解唯一的區(qū)域上沒有方程的解，則方程無奇解（2）求奇解的包絡(luò)線求法 若L是曲線族的包絡(luò)線，則其滿足C判別式 在非蛻化條件下，從C 判別式解出的曲線是曲線族的包絡(luò)線 4掌握利用解的存在與唯一性定理、解的延展定理證明有關(guān)方程解的某些性質(zhì)的基本方法本章重點(diǎn)：解的存在與唯一性定理，解的延展定理。下面結(jié)合作業(yè)給出一些例題解析。例1試?yán)L出下列方程的積分曲線: 解 （1） 第（1)題 （2） 第（2)題例2判斷下列方程在什么樣的區(qū)域上保證初值解存在且唯一?（1) （2) 解 （1) 因?yàn)榧霸谡麄€(gè)平面上連續(xù), 且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件, 所以在整個(gè)平面上, 初值解存在且唯一.（2) 因?yàn)榧霸谡麄€(gè)

3、平面上連續(xù), 且滿足存在唯一性定理?xiàng)l件, 所以在整個(gè)平面上, 初值解存在且唯一. 例3討論方程在怎樣的區(qū)域中滿足定理2.2的條件。并求通過的一切解.解 因?yàn)榉匠淘谡麄€(gè)平面上連續(xù), 除軸外, 在整個(gè)平面上有界, 所以除軸外在整個(gè)平面上都滿足定理2.2的條件. 而后分離變量并積分可求出方程的通解為 其中 另外容易驗(yàn)證是方程的特解. 因此通過的解有無窮多個(gè), 分別是: 例4試用逐次逼近法求方程滿足初值條件的近似解.解 , 例5試證明：對(duì)任意的及滿足條件的, 方程的滿足條件的解在上存在. 證明 首先和是方程在的解. 易知方程的右端函數(shù)滿足解的延展定理以及存在唯一性定理的條件. 現(xiàn)在考慮過初值 ()的解

4、, 根據(jù)唯一性, 該解不能穿過直線和. 因此只有可能向左右兩側(cè)延展, 從而該初值解應(yīng)在上存在. 例6設(shè)在整個(gè)平面上連續(xù)有界, 對(duì)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 試證明方程的任一解在區(qū)間上有定義.證明 不妨設(shè)過點(diǎn)分別作直線 和 .設(shè)過點(diǎn)的初值解為. 因?yàn)? 故在的某一右鄰域內(nèi),積分曲線位于之下, 之上.下證曲線不能與直線相交. 若不然, 使得且, 但由拉格郎日中值定理, , 使得. 矛盾. 此矛盾證明曲線不能與直線相交. 同理可證, 當(dāng)時(shí), 它也不能與相交. 故當(dāng) 時(shí)解曲線位于直線, 之間.同理可證, 當(dāng)時(shí), 解曲線也位于直線, 之間. 由延展定理, 的存在區(qū)間為。 例7判斷下列方程是否有奇解? 如果有奇解,

5、求出奇解, 并作圖. （1） （2) 解 （1） 因?yàn)樵诎肫矫嫔线B續(xù), 當(dāng)時(shí)無界, 所以如果存在奇解只能是, 但不是方程的解, 故方程無奇解. （2） 因?yàn)樵诘膮^(qū)域上連續(xù), 當(dāng)時(shí)無界, 所以如果方程有奇解, 則奇解只能是 顯然是方程的解, 是否為奇解還需要進(jìn)一步討論. 為此先求出方程的通解 由此可見對(duì)于軸上點(diǎn) 存在通過該點(diǎn)的兩個(gè)解: 及 故是奇解. (如圖2-1所示)圖2-1 例8求一曲線, 具有如下性質(zhì): 曲線上任一點(diǎn)的切線, 在x, y軸上的截距之和為1.解 首先, 由解析幾何知識(shí)可知, 滿足 的直線都是所求曲線.設(shè) (x, y) 為所求曲線上的點(diǎn), (X, Y)為其切線上的點(diǎn), 則過 (x, y) 的切線方程為.顯然有 此處 a 與 b 分別為切線在Ox 軸與Oy 軸上的截距. 故.解出y, 得到克萊洛方程,通解為 所以 , 即 為所求曲線方程. 例9求一曲線, 此曲線的任一切線在兩個(gè)坐標(biāo)軸間的線段長等于a.解 設(shè) (x, y) 為所求曲線上的點(diǎn), (X,