研一學(xué)習(xí)材料錢(qián)志鵬高等傳熱學(xué)第6講

1、高等傳熱學(xué)高等傳熱學(xué)第六講第六講 對(duì)流換熱對(duì)流換熱 convective heat transfer平板繞流層流邊界層簡(jiǎn)化方程平板繞流層流邊界層簡(jiǎn)化方程22220yTayTvxTuyuyuvxuuyvxu 具體問(wèn)題特點(diǎn)具體問(wèn)題特點(diǎn)物理模型的簡(jiǎn)化物理模型的簡(jiǎn)化五、邊界層微分方程組之求解五、邊界層微分方程組之求解A. 馮卡門(mén)積分方程法（尺度上推方法）馮卡門(mén)積分方程法（尺度上推方法）微小單元尺度微小單元尺度斷面尺度斷面尺度NS方程方程集總方程集總方程Upscaling Process 1.1.邊界層厚度邊界層厚度定義為速度達(dá)到外流速度定義為速度達(dá)到外流速度99%的厚度。的厚度。對(duì)平板層流邊界層對(duì)平板

2、層流邊界層xxxRe)( 2.位移厚度位移厚度 * 質(zhì)量流量虧損厚度質(zhì)量流量虧損厚度 由于實(shí)際物體的存在由于實(shí)際物體的存在,流體速度在流體速度在其表面為零其表面為零, 造成了質(zhì)量流量虧損造成了質(zhì)量流量虧損, 折算成相應(yīng)的厚度折算成相應(yīng)的厚度* 0*)1(dyUu 0*)(1dyyuUU3. 動(dòng)量厚度動(dòng)量厚度將由于無(wú)滑移條件將由于無(wú)滑移條件, 造成速度重造成速度重新分布新分布, 邊界層內(nèi)動(dòng)量流量也相邊界層內(nèi)動(dòng)量流量也相應(yīng)虧損應(yīng)虧損, 折算成外流速度相應(yīng)的折算成外流速度相應(yīng)的厚度厚度 0)1(dyUuUu 02)(dyuUuUAdyUyuUAdyyuAdyyuA)(:)(:)(:0200 的的動(dòng)動(dòng)

3、量量流流量量運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)面面的的質(zhì)質(zhì)量量流流量量以以面面流流出出的的動(dòng)動(dòng)量量流流量量面面流流出出的的質(zhì)質(zhì)量量流流量量馮卡門(mén)動(dòng)量積分法馮卡門(mén)動(dòng)量積分法作用在控作用在控制容積上制容積上的力的力 pddxddxxpppFdx 0)(簡(jiǎn)化可得：簡(jiǎn)化可得：dxdxxpFx0 p)( ddxxpp dp dx0 d A 0udydxudyxudy)(00 m 上表面質(zhì)上表面質(zhì)量流量量流量dxudyxudydxudyxudym)()(0000 02dyudxxdyudyu )(0202 dxxudyU )(0 動(dòng)量動(dòng)量流量流量dxxudyUUm )(0 是是流入上端面的動(dòng)量流量流入上端面的動(dòng)量流量 inou

4、txvmvmF控制體動(dòng)量方程：控制體動(dòng)量方程：對(duì)控制體列動(dòng)量方程對(duì)控制體列動(dòng)量方程：)()()(002dxxudyUdxxdyudxdxdpx dxudydUdxdyuddxdpx 002)()()(如果來(lái)流速度如果來(lái)流速度U是常量是常量p(x)=Constant與與邊邊界界上上那那一一點(diǎn)點(diǎn)相相同同壓壓力力邊邊界界層層內(nèi)內(nèi)某某一一截截面面上上的的常常數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)于于邊邊界界層層外外勢(shì)勢(shì)流流 pU2:2 0)(dyuUudxdx 00)(:, 0dyuUudxFxxx距距離離內(nèi)內(nèi)總總阻阻力力 202)1(UdyUuUuUFx 斷面單元尺度斷面單元尺度集總方程集總方程dx 0)(dyuUudxdx22

5、220yTayTvxTuyuyuvxuuyvxu 微小單元尺度微小單元尺度NS方程方程對(duì)經(jīng)典的現(xiàn)代詮釋對(duì)經(jīng)典的現(xiàn)代詮釋000022 yuyyuyUuyuy yfyfUux )()(:有有相相同同的的形形式式值值的的速速度度分分布布假假定定邊邊界界層層內(nèi)內(nèi)不不同同 yUu0223:3如如果果速速度度分分布布滿(mǎn)滿(mǎn)足足)(139. 0)223)(2231()()1(210332)(02xUdxUdyUuUuUFxx 距離起始點(diǎn)距離起始點(diǎn) x 處的剪切應(yīng)力為處的剪切應(yīng)力為)(0 x dxxdFx)(0 dxdUdxxdUdxdFxx 220139. 0)(139. 0)( 因?yàn)榧羟袘?yīng)力同樣可表達(dá)為因?yàn)?/p>

6、剪切應(yīng)力同樣可表達(dá)為: : UfUyuxy23)()(000 兩者應(yīng)當(dāng)相等兩者應(yīng)當(dāng)相等:UvxxCxCUxdxUdUdxdUx65. 4)(:0, 0,06 .2178.10:23139. 0)(220 因因此此可可得得則則時(shí)時(shí)因因?yàn)闉檎砝砜煽傻玫靡氘?dāng)?shù)乩字Z數(shù)引入當(dāng)?shù)乩字Z數(shù):vUxx Re21Re65. 465. 4)( xxUvxx xUxvUxUx330322. 0322. 0)(23)( 代入下式代入下式: :因此作用長(zhǎng)度為因此作用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的平板一側(cè)的單寬阻力是的平板一側(cè)的單寬阻力是: LLUdxxF030644. 0)( 阻力阻力阻力可以用阻力系數(shù)阻力可以用阻力系數(shù)CD乘以和平板

7、單寬面積乘以和平板單寬面積A=L1表示表示:LUCD22 阻力阻力可推得可推得: :xDDULCLULUCRe328. 1328. 1644. 0232 此為層流邊界層阻力系數(shù)表達(dá)式此為層流邊界層阻力系數(shù)表達(dá)式B.湍流邊界層湍流邊界層71)()(: yUuf 速度分布速度分布51512Re074. 0Re037. 0 LDLCLUF 速速度度分分布布如如果果滿(mǎn)滿(mǎn)足足對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)58.2)Re(lg455.0LDC 二、邊界層能量積分方程的建立二、邊界層能量積分方程的建立 對(duì)整個(gè)容積上利用能量守恒關(guān)系：對(duì)整個(gè)容積上利用能量守恒關(guān)系： outin從從1-4界面上進(jìn)入的能量為：界面上進(jìn)入的能量為：xyT

8、yd0 t0 xy1234dxt在在1-2界面上流入的能量：界面上流入的能量： tyuTc 0d在在3-4界面上流出的能量：界面上流出的能量： xyuTxcyuTcttd)d(d00 在在2-3界面上流入的能量：界面上流入的能量：xyuxcTt)dd(0 因此能量積分方程為：因此能量積分方程為： tyTTuxyTay 00)d(0 xy1234dxt二、能量積分方程式的求解二、能量積分方程式的求解 tyTTuxyTay 00)d(sTT tyuxyay 00)d( tyyUuxUya00)d1(同樣假設(shè)邊界層無(wú)量綱過(guò)余溫度分布為三次方多項(xiàng)式同樣假設(shè)邊界層無(wú)量綱過(guò)余溫度分布為三次方多項(xiàng)式32)(

9、)(tttydycyba ssTTTT 令：令：邊界層內(nèi)溫度分布形式為：邊界層內(nèi)溫度分布形式為：3)(2123ttyy 利用邊界條件：利用邊界條件：0 sssTT:0 y022 y :ty 0 y 32)()(tttydycyba 代入能量積分方程代入能量積分方程2803203281203812034343)y(414321434923)y()(21)(231)(21)(23)y)d(1 (342343434222t33634333420t3300t0 xUxUdyyyyyyxUdyyyyxUUuxUyatttttttttttttttttttyttt 3)(21231ttyy 32123 yy

10、uudxhLhLx 01 LxwwxxdxqLTThqTThq0)()(可推得：可推得：3/1Pr1025. 11 t2/1Re64. 4/ xx 進(jìn)一步計(jì)算表面換熱系數(shù)進(jìn)一步計(jì)算表面換熱系數(shù) , 0 xywxyTTTh , 0 xywxyTTTh , 0 xyxyh ssTTTT 3)(2123ttyy 所以：所以：t1 23 xh3/1Pr1025. 11 t2/1Re64. 4/ xx 3/12/1PrRe332. 0 xxNu 3/12/1PrRe664. 0 hlNu2. 主要求解結(jié)果主要求解結(jié)果邊界層中的速度分布：邊界層中的速度分布： 32123 yyuu無(wú)量綱溫度分布：無(wú)量綱溫度

11、分布：321231 ttwyyTTTT 離開(kāi)前緣處的流離開(kāi)前緣處的流動(dòng)邊界層厚度的動(dòng)邊界層厚度的無(wú)量綱表達(dá)式：無(wú)量綱表達(dá)式： xxRe64. 4 局部努塞爾數(shù)局部努塞爾數(shù) ：3/12/1PrRe332. 0 xxxxhNu 平均努賽爾數(shù)：平均努賽爾數(shù)： 3/12/1PrRe664. 0 hlNuB. 布拉修斯布拉修斯(Blasius)精確解法精確解法)( yfUu 1x2x)(1x )(2x )()(2010 xyxy 當(dāng)：當(dāng)：)(),()(),(202101xvyxuxvyxuee 則有：則有：相似解的概念相似解的概念)( yfUu y0y0y UU)(1xve)(2xve(適用于每個(gè)斷適用

12、于每個(gè)斷面面)引入相似參數(shù)引入相似參數(shù)（使偏微分方程變成常微分方程）（使偏微分方程變成常微分方程）0 xy1uu1y 對(duì)任意截面上對(duì)任意截面上x(chóng)方向的速度方向的速度進(jìn)行分析，如果采用無(wú)量綱形進(jìn)行分析，如果采用無(wú)量綱形式，則每個(gè)截面具有相同的分式，則每個(gè)截面具有相同的分布布: : )(xyuu 根據(jù)邊界層動(dòng)量方程式的數(shù)量及分析，可得：根據(jù)邊界層動(dòng)量方程式的數(shù)量及分析，可得：xxyxyRe)( 令：令：xxyRe 得：得： uu 是本問(wèn)題的相似參數(shù)是本問(wèn)題的相似參數(shù)利用流函數(shù)來(lái)表示無(wú)量綱速度利用流函數(shù)來(lái)表示無(wú)量綱速度 fxuyuyuuu11xuf 被稱(chēng)為無(wú)量綱流函數(shù)被稱(chēng)為無(wú)量綱流函數(shù)按照上面的分析

13、，可以將動(dòng)量方程整理成按照上面的分析，可以將動(dòng)量方程整理成 f 與與 的的關(guān)系。利用下面的關(guān)系關(guān)系。利用下面的關(guān)系xyu v ,xxyRe xuf xux Re得：得：)( /1)( fuxuxfxuyffyu xfxuxufxfxuxufxufxxv2)( /21/21)( xfuxu2)( xufuyu )( xufuyu )(22 22yuyuvxuu 33222yyxyxy 021 fff邊界條件為邊界條件為:022233 dfdfdfd0)0(0 fddf 1 ddf布拉修斯采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法求解了這個(gè)非線布拉修斯采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法求解了這個(gè)非線性方程：性方程： 332210

14、! 3! 2)( ccccf將上式取導(dǎo)數(shù)將上式取導(dǎo)數(shù) 342321! 44! 33! 22)( ccccf進(jìn)一步利用邊界條件求出各系數(shù)。且由結(jié)果可得進(jìn)一步利用邊界條件求出各系數(shù)。且由結(jié)果可得邊界層厚度的變化邊界層厚度的變化xxRe0 .5 根據(jù)壁面粘性剪應(yīng)力計(jì)算公式得：根據(jù)壁面粘性剪應(yīng)力計(jì)算公式得：xywufxuyuRe332.0)0(230 進(jìn)一步得局部摩擦阻力系數(shù)計(jì)算式：進(jìn)一步得局部摩擦阻力系數(shù)計(jì)算式：xwfxuCRe1664. 0212 二、溫度場(chǎng)的求解（波爾豪森解）二、溫度場(chǎng)的求解（波爾豪森解）22yTayTvxTu wTTy , 0 TTy ,引入無(wú)量綱過(guò)余溫度引入無(wú)量綱過(guò)余溫度 t

15、TtT22yayvxu 0 , 0 y1 , yxxyRe 與動(dòng)量方程求解方法類(lèi)似，引入相似參數(shù)與動(dòng)量方程求解方法類(lèi)似，引入相似參數(shù))( 21 axxx )( xuyy )(22 xuyy 0)( Pr21)( f , 0 xywxyTTTh 接下來(lái)求解局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)接下來(lái)求解局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)xuyhxxyx , 0, 0dd 2/1, 0ReddxxxxxhNu 在在Pr=Pr=0.615范圍內(nèi)范圍內(nèi)3/1Pr332. 0)0( 3/12/1PrRe332. 0 xxNu xv yu uxuf/)( xuy / 022233 dfdfdfd0)0(0 fddf 1 ddf將速度用流函數(shù)表示

16、：將速度用流函數(shù)表示：將速度用流函數(shù)表示：將速度用流函數(shù)表示：基本思想基本思想：假設(shè)流動(dòng)的假設(shè)流動(dòng)的阻力特性阻力特性與與換熱特性換熱特性有一有一定的關(guān)系，依據(jù)這種關(guān)系就可以在已知阻力系數(shù)定的關(guān)系，依據(jù)這種關(guān)系就可以在已知阻力系數(shù)的情況下推算出與之對(duì)應(yīng)的換熱系數(shù)的情況下推算出與之對(duì)應(yīng)的換熱系數(shù)。二、比擬理論二、比擬理論 以流體外掠等溫平板的湍流換熱為例。以流體外掠等溫平板的湍流換熱為例。根據(jù)邊界層的概念，忽略流動(dòng)方向的擴(kuò)散作用，可以得到邊根據(jù)邊界層的概念，忽略流動(dòng)方向的擴(kuò)散作用，可以得到邊界層內(nèi)界層內(nèi)流動(dòng)流動(dòng)和和換熱換熱的微分方程組，即的微分方程組，即22yuyuvxuu22ytaytvxtu邊

17、界條件為邊界條件為：0 x uu0vtt0y0u0v0ty uu0vtt，無(wú)量綱邊界條件為無(wú)量綱邊界條件為：LuRewwttttlxX lyY uuUuvV引入下列引入下列7個(gè)無(wú)量綱量個(gè)無(wú)量綱量：avPr可以得到邊界層內(nèi)可以得到邊界層內(nèi)流動(dòng)流動(dòng)和和換熱換熱的無(wú)量綱化微分方程組，即的無(wú)量綱化微分方程組，即22Re1YUYUVXUU22PrRe1YYVXU0X1U0V10Y0U0V0Y1U0V1，當(dāng)當(dāng) Pr = 1時(shí)，無(wú)量綱流速時(shí)，無(wú)量綱流速U的方程和無(wú)量綱溫度的方程和無(wú)量綱溫度 的方程具有完全相的方程具有完全相同的形式同的形式，并且其，并且其邊界條件也相同邊界條件也相同，因此因此U和和 應(yīng)該有完

18、全相同的解，應(yīng)該有完全相同的解，即即 yxfU, 00 YYYYU因此，有因此，有000Re2wfYyyUulullcYyuyuu類(lèi)似地，類(lèi)似地，lxlxywYNulhlytttY00)(上式中，上式中，/ 2wfcuuy從而得到從而得到：xfxcNuRe2 實(shí)驗(yàn)測(cè)定平板上湍流邊界層阻力系數(shù)為實(shí)驗(yàn)測(cè)定平板上湍流邊界層阻力系數(shù)為：51Re0592. 0 xfc)10(Re7x54Re0296. 0 xxNu 這就是有名的這就是有名的雷諾比擬雷諾比擬，它成立的前提是它成立的前提是Pr =1。xwwxyttth, 在工程實(shí)踐中，通常在工程實(shí)踐中，通常比較容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得阻力系數(shù)比較容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得阻

19、力系數(shù)c cf f的計(jì)算的計(jì)算公式，而公式，而換熱實(shí)驗(yàn)比較難做換熱實(shí)驗(yàn)比較難做。有了上述換熱和流動(dòng)的比擬關(guān)。有了上述換熱和流動(dòng)的比擬關(guān)系，就不必進(jìn)行換熱實(shí)驗(yàn)，只要由比擬關(guān)系并利用阻力系數(shù)系，就不必進(jìn)行換熱實(shí)驗(yàn)，只要由比擬關(guān)系并利用阻力系數(shù)cf的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，就可得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，就可得到Nu的計(jì)算公式的計(jì)算公式。 平板阻力特性平板阻力特性平板換熱特性平板換熱特性非常有趣的聯(lián)系非常有趣的聯(lián)系 當(dāng)當(dāng) Pr 1時(shí)，需要進(jìn)行修正，于是有時(shí)，需要進(jìn)行修正，于是有 契爾頓柯?tīng)柋颈葦M（修正雷諾比擬）契爾頓柯?tīng)柋颈葦M（修正雷諾比擬）： 式中式中， St 稱(chēng)為斯坦頓數(shù)稱(chēng)為斯坦頓數(shù)（Stanton），），其定義為其定義為 j 稱(chēng)為稱(chēng)為 j因子，在制冷、低溫工業(yè)的換熱器設(shè)計(jì)中因子，在制冷、低溫工業(yè)的換熱器設(shè)計(jì)中應(yīng)用較廣應(yīng)用較廣3/18 . 0PrRe0296. 0 xxNu此時(shí)的準(zhǔn)則方程為此時(shí)的準(zhǔn)則方程為：5131Re0592. 0PrRe2 xfxfxccNuPrRe NuSt)60Pr6 . 0(Pr23/2 jStcf當(dāng)平板長(zhǎng)度當(dāng)平板長(zhǎng)度 l 大于臨界長(zhǎng)度大于臨界長(zhǎng)度 xc 時(shí)時(shí)，平板上的邊界層由層流段和平板上的邊界層由層流段和湍流段組成。其湍流段組成。其N(xiāo)u分別為分別為：31543121PrRe0296. 0PrRe332. 0 xcxcNuxxNuxx湍流，時(shí)