極限與探索性問題的解題技巧

1、第九講 極限與探索性問題的解題技巧【命題趨向】綜觀2007年全國各套高考數學試題，我們發(fā)現對極限的考查有以下一些知識類型與特點：1數學歸納法客觀性試題主要考查學生對數學歸納法的實質的理解，掌握數學歸納法的證題步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用)解答題大多以考查數學歸納法內容為主，并涉及到函數、方程、數列、不等式等綜合性的知識，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬于中高檔難度的題目數學歸納法是高考考查的重點內容之一.類比與猜想是應用數學歸納法所體現的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用數學歸納法的一種主要思想方法. 在由n=k時命題成立，證明

2、n=k+1命題也成立時，要注意設法化去增加的項，通常要用到拆項、組合、添項、減項、分解、化簡等技巧，這一點要高度注意2. 數列的極限客觀性試題主要考查極限的四則運算法則、無窮遞縮等比數列所有項和等內容，對基本的計算技能要求比較高，直接運用四則運算法則求極限解答題大多結合數列的計算求極限等，涉及到函數、方程、不等式知識的綜合性試題，在解題過程中通常用到等價轉化，分類討論等數學思想方法，是屬于中高檔難度的題目.數列與幾何：由同樣的方法得到非常有規(guī)律的同一類幾何圖形，通常相關幾何量構成等比數列，這是一類新題型3函數的極限此部分為新增內容，本章內容在高考中以填空題和解答題為主應著重在概念的理解，通過考

3、查函數在自變量的某一變化過程中，函數值的變化趨勢，說出函數的極限利用極限的運算法則求函數的極限進行簡單的運算利用兩個重要極限求函數的極限函數的連續(xù)性是新教材新增加的內容之一.它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一起.在高考中，必將這一塊內容溶入到函數內容中去，因而一定成為高考的又一個熱點.4.在一套高考試題中，極限一般分別有1個客觀題或1個解答題，分值在5分12分之間5.在高考試題中，極限題多以低檔或中檔題目為主，一般不會出現較難題，更不會出現難題，因而極限題是高考中的得分點6.注意掌握以下思想方法 極限思想：在變化中求不變，在運動中求靜止的思想； 數形結合思想，如用導數的幾何意義及用導數求單

4、調性、極值等.此類題大多以解答題的形式出現，這類題主要考查學生的綜合應用能力，分析問題和學生解決問題的能力，對運算能力要求較高【考點透視】1理解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題2了解數列極限和函數極限的概念3掌握極限的四則運算法則；會求某些數列與函數的極限4了解函數連續(xù)的意義，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數有最大值和最小值的性質【例題解析】考點1 數列的極限1.數列極限的定義：一般地，如果當項數n無限增大時，無窮數列an的項an無限地趨近于某個常數a（即|ana|無限地接近于0），那么就說數列an以a為極限.注意：a不一定是an中的項.2.幾個常用的極限：C=C（C為常數）;=0;

5、qn=0（|q|1）.3.數列極限的四則運算法則：設數列an、bn，當an=a, bn=b時， （an±bn）=a±b; 例1. ( 2006年湖南卷）數列滿足:,且對于任意的正整數m,n都有,則 ( )A. B. C. D.2考查目的本題考查無窮遞縮等比數列求和公式和公式 的應用.解答過程由和得故選A.例2（2006年安徽卷）設常數，展開式中的系數為，則_.考查目的本題考查利用二項式定理求出關鍵數, 再求極限的能力.解答過程 ，由，所以，所以為1.例3. （2007年福建卷理）把展開成關于的多項式，其各項系數和為，則等于( )（ ）ABCD2考查目的本題考查無窮遞縮等比數

6、列求和公式和公式 的應用.解答過程 故選D例4. (2007年天津卷理)設等差數列的公差是2，前項的和為，則思路啟迪：由等差數列的公差是2，先求出前項的和為和通項解答過程 故填3小結:1.運用數列極限的運算法則求一些數列的極限時必須注意以下幾點：（1）各數列的極限必須存在；（2）四則運算只限于有限個數列極限的運算.2.熟練掌握如下幾個常用極限：（1） C=C（C為常數）;（2） （）p=0（p0）;（3） =（kN *,a、b、c、dR且c0）;（4） qn=0（|q|1）.例5. (2007年重慶卷理)設正數a, b滿足則（ ）（A）0（B）（C）（D）1解:故選B 小結:重視在日常學習過程

7、中運用化歸思想.考點2 函數的極限1.函數極限的概念：（1）如果f（x）=a且f（x）=a,那么就說當x趨向于無窮大時，函數f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當x時，f（x）a.（2）一般地，當自變量x無限趨近于常數x0（但x不等于x0）時，如果函數f（x）無限趨近于一個常數a,就說當x趨近于x0時，函數f（x）的極限是a,記作f（x）=a,也可記作當xx0時，f（x）a.（3）一般地，如果當x從點x=x0左側（即xx0無限趨近于x0時，函數f（x）無限趨近于常數a,就說a是函數f（x）在點x0處的左極限，記作f （x）=a.如果從點x=x0右側（即xx0）無限趨近于x0時，函數f

8、 （x）無限趨近于常數a,就說a是函數 f （x）在點x0處的右極限，記作f（x）=a.2.極限的四則運算法則：如果f （x）=a, g（x）=b,那么f（x）±g（x）=a±b; f（x）·g（x）=a·b; =（b0）.例6(2007年江西卷理) =( ) A等于0 B等于l C等于3 D不存在考查目的本題主要考查利用同解變形求函數極限的能力.解答過程 故選B例7(2007年四川卷理) ( )（A）0（B）1（C）（D）考查目的本題主要考查利用分解因式同解變形求函數極限的能力.解答過程 故選D例8.若f （x）=在點x=0處連續(xù)，則f （0）=_.思

9、路啟迪：利用逆向思維球解.解答過程：f（x）在點x=0處連續(xù)，f （0）=f （x）,f （x）= = =.答案: 例9.設函數f （x）=ax2+bx+c是一個偶函數,且f （x）=0,f （x）=3,求這一函數最大值.思路啟迪：由函數f （x）=ax2+bx+c是一個偶函數,利用f （x）=f （x）構造方程,求出b的值.解答過程：f （x）=ax2+bx+c是一偶函數,f （x）=f （x）,即ax2+bx+c=ax2bx+c.b=0.f （x）=ax2+c.又f （x）= ax2+c=a+c=0, f（x）=ax2+c=4a+c=3,a=1,c=1.f （x）=x2+1.f （x）ma

10、x=f（0）=1.f （x）的最大值為1.例10.設f（x）是x的三次多項式，已知=1.求的值（a為非零常數）.解答過程：由于=1,可知f（2a）=0. 同理f（4a）=0. 由，可知f（x）必含有（x2a）與（x4a）的因式，由于f（x）是x的三次多項式，故可設f（x）=A（x2a）（x4a）（xC）.這里A、C均為待定的常數.由=1,即=A（x4a）（xC）=1,得A（2a4a）（2aC）=1,即4a2A2aCA=1. 同理，由于=1,得A（4a2a）（4aC）=1,即8a2A2aCA=1. 由得C=3a,A=,因而f（x）=（x2a）（x4a）（x3a）.=（x2a）（x4a）=

11、3;a·（a）=.例11 a為常數，若（ax）=0,則a的值是_.思路啟迪：先對括號內的的式子變形.解答過程：（ax）= =0,1a2=0.a=±1.但a=1時，分母0,a=1.考點3.函數的連續(xù)性及極限的應用1.函數的連續(xù)性.一般地，函數f（x）在點x=x0處連續(xù)必須滿足下面三個條件：（1）函數f（x）在點x=x0處有定義；（2）f（x）存在；（3）f（x）=f（x0）.如果函數y=f（x）在點x=x0處及其附近有定義，而且f（x）=f（x0）,就說函數f（x）在點x0處連續(xù).2.如果f（x）是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數，那么f（x）在閉區(qū)間a,b上有最大值和最小值.3.若

12、f（x）、g（x）都在點x0處連續(xù),則f（x）±g（x）,f（x）·g（x）,（g（x）0）也在點x0處連續(xù).若u（x）在點x0處連續(xù),且f（u）在u0=u（x0）處連續(xù),則復合函數fu（x）在點x0處也連續(xù).例12.f（x）在x=x0處連續(xù)是f（x）在x=x0處有定義的_條件.A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分又不必要思路啟迪：說明問題即可.解答過程：f（x）在x=x0處有定義不一定連續(xù).答案：A例13.f（x）=的不連續(xù)點為( )A.x=0 B.x=（k=0,±1,±2,）C.x=0和x=2k（k=0,±1,±2

13、,） D.x=0和x=（k=0,±1,±2,）思路啟迪：由條件出發(fā)列方程解之.解答過程：由cos=0,得=k+（kZ）,x=.又x=0也不是連續(xù)點,故選D答案：D例14. 設f（x）=當a為_時,函數f（x）是連續(xù)的.解答過程：f（x）= （a+x）=a, f（x）=ex=1,而f（0）=a,故當a=1時, f（x）=f（0）,即說明函數f（x）在x=0處連續(xù),而在x0時,f（x）顯然連續(xù),于是我們可判斷當a=1時, f（x）在（,+）內是連續(xù)的.小結：分段函數討論連續(xù)性,一定要討論在“分界點”的左、右極限,進而斷定連續(xù)性.例15.已知函數f（x）=函數f（x）在哪點連續(xù)(

14、 )A.處處連續(xù) B.x=1 C.x=0 D.x=思路啟迪：考慮結果的啟發(fā)性.解答過程：f（x）= f（x）=f（）.答案：D例16.拋物線y=b（）2、x軸及直線AB:x=a圍成了如圖（1）的陰影部分,AB與x軸交于點A,把線段OA分成n等份,作以為底的內接矩形如圖（2）,陰影部分的面積為S等于這些內接矩形面積之和當n時的極限值,求S的值.思路啟迪：先列出式子.解答過程：S=b·（）2+b·（）2+b·（）2+b·（）22·=·ab=·ab=ab.例17.如圖，在邊長為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的內切圓，圓O2與圓O

15、1外切，且與AB、BC相切,圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無限繼續(xù)下去,記圓On的面積為an（nN*）. （1）證明an是等比數列；（2）求（a1+a2+an）的值.解答過程：（1）證明:記rn為圓On的半徑，則r1=tan30°=l.=sin30°=,rn=rn1（n2）.于是a1=r12=,=（）2=,an成等比數列.（2）解：因為an=（）n1·a1（nN*）,所以（a1+a2+an）=.例18. 一彈性小球自h0=5 m高處自由下落,當它與水平地面每碰撞一次后速度減少到碰前的,不計每次碰撞時間,則小球從開始下落到停止運動所經過的路程和時間

16、分別是多少?解答過程：設小球第一次落地時速度為v0,則有v0=10（m/s）,那么第二,第三,第n+1次落地速度分別為v1=v0,v2=（）2v0,vn=（）nv0,小球開始下落到第一次與地相碰經過的路程為h0=5 m,小球第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的路程是L1=2×=10×（.小球第二次與地相碰到第三次與地相碰經過的路程為L2,則L2=2×=10×（）4.由數學歸納法可知,小球第n次到第n+1次與地面碰撞經過路程為Ln=10×（）2n.故從第一次到第n+1次所經過的路程為Sn+1=h0+L1+L2+Ln,則整個過程總路程為S=Sn+1

17、=5+10×=5+10=20.3（m）,小球從開始下落到第一次與地面相碰經過時間t0=1（s）.小球從第一次與地相碰到第二次與地相碰經過的時間t1=2×=2×,同理可得tn=2×（）n,tn+1=t0+t1+t2+tn,則t=tn+1=1+2×=8（s）.考點4.新考題例19（2007年遼寧卷理）（本小題滿分12分）已知數列、與函數、，滿足條件： （I）若，且存在，求的取值范圍，并求（用表示）（II）若函數在上是增函數，證明對任意的，考查目的本小題主要考查數列的定義，數列的遞推公式，等比數列，函數，不等式等基礎知識，考查運用數學歸納法解決問題的

18、能力. 解答過程（）解法一：由題設知，可得 由是等比數列，其首項為，于是 又 解法二：由題設知，可得 由，公比為的等比數列. 由 所以 解法三：由題設知，即 ， 于是有 得，得 由 所以的等比數列，于是 又 說明：數列an通項公式的求法和結果的表達形式均不唯一，其他過程和結果參照以上評分標準. （）證明：因為 下面用數學歸納法證明 （1）當，得 即，結論成立. （2）假設n = k時結論成立，即為增函數，得 ， 進而得 這就是說當n = k +1時，結論也成立. 根據（1）和（2）可知，對任意的例20.(2006年廣東卷）已知公比為的無窮等比數列各項的和為9，無窮等比數列各項的和為.()求數列

19、的首項和公比；()對給定的,設是首項為，公差為的等差數列.求數列的前10項之和；()設為數列的第項，求，并求正整數，使得存在且不等于零.(注：無窮等比數列各項的和即當時該無窮數列前n項和的極限)考查目的本題考查運用等比數列的前n項和公式，從已知的條件入手列方程組求出等比數列的公比和首項.解答過程 ()依題意可知,()由()知,所以數列的的首項為,公差,即數列的前10項之和為155.() =，=當m=2時，=，當m>2時，=0，所以m=2.【專題訓練與高考預測】一.選擇題 1.下列極限正確的個數是=0（0）;qn=0;=1 ; C=C（C為常數）A.2B.3會 C.4 D.都不正確2.下列

20、四個命題中正確的是A.若an2A2，則anA B.若an0，anA，則A0C.若anA，則an2A2 D.若（anb）0，則anbn3.f（x）=f（x）=a是f（x）在x0處存在極限的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.f（x）=下列結論正確的是( )A.=f（x） B.=2，不存在C.f （x）=0, 不存在 D.f （x）f （x）5.下列圖象表示的函數在x=x0處連續(xù)的是( )A. B. C. D.6.若f（x）在定義域a,b上有定義,則在該區(qū)間上( )A.一定連續(xù) B.一定不連續(xù) C.可能連續(xù)也可能不連續(xù) D.以上均不正確7.已知，如果bc0，那么=( )A、 15 B、 C、 D、8.若r為實常數，則集合A、恰有一個元素B、恰有兩個元素 C、恰有三個元素 D、無數多個元素9. （C）A1 B1 C D10. 已知，下面結論正確的是（ ）A.在處連續(xù) B. C. D.二.填空題11.四個函數:f（x）=;g（x）=sinx;f（x）=|x|;f（x）=ax3+bx2+cx+d.其中在x=0處連續(xù)的函數是_.（把你認為正確的代號都填上）12.下四個命題:f（x）=在0,1上連續(xù);若f（x）是（a,b）內的連續(xù)函數,則f（x）在（a,b）內有最大值和最小值;=4;若f（x）=則f（x）=0.其中正確命題的序號