畢業(yè)論文求方陣的冪的方法與技巧

1、哈爾濱學院學士學位論文求方陣的冪的方法與技巧學院： 理學院專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名：學號：指導教師：職 稱：摘 要本篇論文依據(jù)矩陣的一些性質(zhì)，探討了方陣的冪的求解問題。矩陣是從許多實際問題中抽象出來的一個概念，是線性代數(shù)中一個很重要的組成部分，矩陣及其理論廣泛應用于現(xiàn)代科技的各個領(lǐng)域，同時常常涉及到方陣的冪的計算。一般來說求方陣的冪是一個麻煩的事，尤其是當方陣的階數(shù)和方冪的次數(shù)較高時，計算十分麻煩。本文針對不同類型的方陣，總結(jié)了計算方陣高次冪的若干種方法，例如若爾當標準形方法、矩陣乘法的結(jié)合律、遞推法、矩陣分解法、數(shù)學歸納法、矩陣分塊法等方法，并針對其應用進行舉例。關(guān)鍵詞：矩陣的冪；方陣

2、；若爾當標準形AbstractIn this paper, based on some properties of matrix, and probes into the problems of solving the matrix exponential.Matrix is a concept abstracted from many problems,and it is an very important constituent in linear algebra,Matrix and its theory is now widely used in every field of mode

3、rn science and technology,at the same time it always involves calculation method of the power of a matrix .Thus caused the solution square matrix the higher mode power in is not the difficult problem,so this article summarized very many kinds to ask the square matrix the powermethod, including the J

4、ordan normal form method,the matrix multiplication associative law, the recursion law, the matrixresolution, the mathematical induction, the matrix piecemeal law, similar diagonal methodand so on essential commonly used method,and application for power of square matrix for example.Keywords:the power

5、 of matrix; square matrix; jordan standard form目 錄摘要IAbstractII前言3第一章預備知識41.1 矩陣的相關(guān)概念及性質(zhì)41.1.1 矩陣的秩及性質(zhì)41.1.2 矩陣的乘法51.1.3 矩陣的冪51.1.4 若爾當標準形51.1.5 對角化定義61.2 本章小結(jié)6第二章方陣的冪的求解方法與技巧72.1 利用矩陣對角化的方法求方陣的冪72.2 利用若爾當標準形方法求方陣的冪82.3 利用數(shù)學歸納法求方陣的冪102.3.1 什么是數(shù)學歸納法102.4 利用遞推公式方法求方陣的冪122.5 利用二項式法求方陣的高次冪142.6 秩為1的方陣的高

6、次冪的求解152.7 利用Hamiltoor-Caylry定理求方陣的冪172.8 本章小結(jié)17結(jié)論19參考文獻21致謝22前 言矩陣，在數(shù)學上最早來源于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，它的運算是高等代數(shù)領(lǐng)域中的重要問題，其求法原理貫穿于代數(shù)教學的始終?！熬仃嚒边@個詞室友西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這是術(shù)語，從行列式的大量工作中明顯看出，不管行列式的值是否與問題有關(guān)，方陣本身都是可以研究和使用的，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來的。英國數(shù)學家凱利被公認為矩陣論的奠基人。他開始將矩陣作為獨立的數(shù)學對象研究時，許多與

7、矩陣有關(guān)的性質(zhì)已經(jīng)在行列式的研究中被發(fā)現(xiàn)了，這也使得凱利認為矩陣的引進是十分自然的。他說：“我決然不是通過四元數(shù)而獲得矩陣概念的；它或是直接從行列式的概念而來，或是作為一個表達線性方程組的方便方法而來的?！彼麖?858年開始，發(fā)表了矩陣論的研究報告等一系列關(guān)于矩陣的專門論文，研究了矩陣的運算律、矩陣的逆以及轉(zhuǎn)置和特征多項式方程。凱利還提出了凱萊-哈密爾頓定理，并驗證了3×3矩陣的情況，又說進一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國數(shù)學家弗羅貝尼烏斯于1898年給出的。1854年時法國數(shù)學家埃爾米特使用了“正交矩陣”這一術(shù)語，但他的正式定

8、義直到1878年才由費羅貝尼烏斯發(fā)表。1879年，費羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念。至此，矩陣的體系基本上建立起來了。矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過兩個世紀的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨立的一門數(shù)學分支矩陣論。矩陣論作為一種基本工具，在應用數(shù)學與工程技術(shù)學科，如微分方程、概率統(tǒng)計、運籌學、控制論與系統(tǒng)理論等有著廣泛的應用。這些學科無不與矩陣理論發(fā)生緊密的結(jié)合，而在矩陣理論的相關(guān)研究中，常常涉及到方陣高次冪的計算。矩陣的冪運算以矩陣的乘法運算為基礎，而矩陣的冪運算是比較麻煩的，因此，不斷尋找簡便的算法便成為矩陣冪運算方面的重要課題。目前，對于矩陣高次冪的運算問題，有許多人進行

9、過研究，本文在此基礎上，以分類討論的思想，系統(tǒng)全面地介紹了一般n階矩陣及一些特殊矩陣的高次冪的求解方法。 本文針對矩陣高次冪的運算問題，以分類討論的思想，系統(tǒng)的介紹了一些n階矩陣的高次冪的求解方法。對簡單矩陣的低次冪求解直接用矩陣乘法定義求解即可。第一章 預備知識1.1 矩陣的相關(guān)性質(zhì) 矩陣的秩及性質(zhì)（1）在矩陣中，任選r個行和r個列，將位于這r個行和r個行的交叉點上的個元素所構(gòu)成的一個r階行列式 叫做A的一個r階子式，顯然。 如果在矩陣A中，有一個k階子式不為零，而所有的（k1）階子式都為零，則說A的秩等于k，記為.當A的秩等于m時，則稱A為行滿秩陣，顯然有：；

10、當A的秩等于n時，則稱A為列滿秩陣，顯然有：。特別地，當A是n階方陣時，如果，則稱A為滿秩方陣。 【例】證明的秩?！咀C】首先，在A中有一個二階子式：；其次，經(jīng)計算，A的任一個三階子式皆為零，例如：。因此，根據(jù)定義得：。證畢。（2）矩陣的秩有以下幾個性質(zhì)： 性質(zhì)1：設A為n×n矩陣，則的充要條件是：矩陣A的行列式不為零； 性質(zhì)2：對任意矩陣A，其轉(zhuǎn)置矩陣與A有相同的秩，即：； 性質(zhì)3：矩陣B、C的秩，均不小于它們相乘所得的矩陣ABC的秩，即：，； 性質(zhì)4：設A為m×n陣，如果P、Q分別為m階、n階的滿秩方陣，則：，這個性質(zhì)表明

11、，任何矩陣，經(jīng)與一個滿秩方陣相乘后，其秩不變。 1.2 矩陣的相關(guān)概念1.2.1 矩陣的乘法（1）設那么矩陣，其中，稱為與的乘積，記為。（我們要求第二個矩陣的行數(shù)與第一個矩陣的列數(shù)相等）。（2）矩陣乘法有下列以下性質(zhì)：性質(zhì)1：矩陣的乘法適合結(jié)合律設，則。陣的乘法不適合交換律， 即。性質(zhì)2：矩陣的乘法和加法還適合分配律即，。 1.2.2 矩陣的冪個階方陣連乘,稱為方陣的次冪,記為。 規(guī)定。1.2.3 若爾當標準形形式為的矩陣稱為若爾當塊，其中是復數(shù)。由若干個若爾當塊組成的準對角線矩陣稱為若爾當形矩陣，其一般形狀如，其中，并且中有一些可以相等。1.2.4 對角化定義矩陣A是數(shù)域P上的一個

12、n級矩陣，如果存在一個P上的n級可逆矩陣X，使為對角矩陣，則稱矩陣A可對角化。已知結(jié)論：結(jié)論1：如果在n維線性空間V中，線性變換A的特征多項式在數(shù)域P中有n個不同的根，即A有n個不同的特征值，那么A在某組基下的矩陣是對角形的。結(jié)論2：在復數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換A的特征多項式?jīng)]有重根， 那么A在某組基下的矩陣是對角形的。1.3 本章小結(jié)本章介紹了計算方陣高次冪的預備知識，簡單的說明了矩陣的定義、矩陣的相關(guān)性質(zhì)、矩陣的乘法及性質(zhì)、矩陣的冪、若而當標準型、對角化定義等預備知識，熟練地掌握預備知識有助于靈活的計算方陣的高次冪，為下一部分的研究奠定基礎。第二章方陣的冪的求解方法與技巧2.1 利

13、用矩陣對角化的方法求方陣的冪定義1：我們知道，若與階對角陣相似，則可求出一個階可逆陣，使,于是。當一個階矩陣的階數(shù)較大時，可將矩陣分成許多小塊，這些小塊就稱為矩陣的子陣。若階矩陣可分成塊對角陣形式，則可以將高階矩陣的高次冪計算問題轉(zhuǎn)化為簡單子陣的高次冪計算問題，從而達到簡化計算的目的即對于分塊對角矩陣，有，其中均為方陣。例1 已知方陣解由于方陣的特征多項式為所以方陣的特征根為解方程組得對應于特征值的兩個線性無關(guān)的特征向量.解方程組得對應特征值的特征向量為.故方陣可對角化,即存在可逆矩陣于是=例2 設，其中 B= ，C= ，求。解易見A= - ，于是= = = = 上述方法就是把求的方冪的問題就

14、轉(zhuǎn)化為求過度矩陣和對角陣的冪的問題。所以該方法只適用于可對角化的矩陣，而一個矩陣是否可對角化要先判斷階方陣是否有個線性無關(guān)的特征向量。2.2 利用若爾當標準形方法求方陣的冪定理1：設，則 與一個矩陣相似。（即存在階可逆矩陣，使，其中為階塊，即，其中（i=1,2,t）為若當矩陣，則，按照（1）給出的方法計算。則，故有即如果方陣A的若爾當標準形J與可逆矩陣P都已求出，只要計算出即可求出，則求的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換為求。（1） 設為若爾當矩陣時，將分解為對角陣與冪零矩陣的和，利用二項定理去求。即當J=，這時把分解為（）的形式，其中是階單位矩陣，是階冪零矩陣。由于與可交換，因此。因為是冪零矩陣，當時，=0，所以

15、有，于是。例3 設=，求（）。解 ，因為。例4 設=，求。解 的不變因子為，的初等因子為。所以，存在可逆矩陣使。則，所以。特征值，求得屬于的線性無關(guān)向量為，特征值，求得屬于的線性無關(guān)向量為。，所以。因為，其中，所以，則。所以，可見該方法更具有一般性，應用它可計算任何階矩陣的高次冪。2.3 利用數(shù)學歸納法求方陣的冪2.3.1 數(shù)學歸納法1. 第一數(shù)學歸納法一般地，證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當n取第一個值時命題成立。對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設當n=k（,k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n

16、（），命題P(n）都成立。2第二數(shù)學歸納法對于某個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），（1）驗證，時P(n）成立；（2）假設nk時命題成立，并在此基礎上，推出n=k+1命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（），命題P(n）都成立。3倒推歸納法又名反向歸納法（1）驗證對于無窮多個自然數(shù)n命題P(n）成立（無窮多個自然數(shù)可以是一個無窮數(shù)列中的數(shù)，如對于算術(shù)幾何不等式的證明，可以是，k1）；（2）假設P(k+1）（）成立，并在此基礎上，推出P(k）成立，綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（），命題P(n）都成立；4螺旋式歸納法對兩個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），Q(n），（1）驗證時P(n）成立；（2）

17、假設P(k）（）成立，能推出Q(k）成立，假設 Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（），P(n），Q(n）都成立。2.3.2 利用數(shù)學歸納法求方陣的冪該方法的思路是通過計算，等，從中發(fā)現(xiàn)的元素的規(guī)律，再用數(shù)學歸納法證明。例5 已知矩陣，試求（為自然數(shù)）解 可求得,觀察這些矩陣的規(guī)律可以發(fā)現(xiàn), 的第1行元素是展開式的三項元素,而的第1行元素是展開式的前三項，由此推測，的第1行元素應該是的展開式的前三項元素，?，F(xiàn)假設，顯然當時是成立的；則，即時結(jié)論也成立，故由歸納假設法知上述結(jié)論正確。例6 設，求。解 因為，觀察上述規(guī)律，可推得而驗證該結(jié)論是否正確，還需用數(shù)學

18、歸納法來證明，假設時成立，當時, 故時結(jié)論也成立，所以上述結(jié)果正確。例7 設為整數(shù)，求。解 假設則即。2.4 利用遞推公式方法求方陣的冪設階方陣的特征矩陣的伴隨矩陣為，它的逆矩陣就為，因為的每個元素的代數(shù)余子式都是次數(shù)不超過n-1次的多項式，所以設該式中為待定的n階常數(shù)矩陣。同時將展開為的多項式，為，式中為待定常數(shù)。所以可得到，最后整理得：得到。例8 設A=，求。解設，則，則，所以=，同理，即。用該方法在計算方陣的高次冪時，若方陣的較低次冪可以算出，或者從方陣的較低次冪的表達式中能夠明顯發(fā)現(xiàn)其運算規(guī)律性時，則可以利用遞推的方法來求出方陣的高次冪。2.5 利用二項式法求方陣的高次冪定理2：若階矩

19、陣可分解為,且矩陣與的高次冪容易計算，并且 （即與可交換，否則二項展開公式不成立），則有例9 矩陣，將矩陣分解為，其中，則可以驗證矩陣滿足，且，,即與可交換。由二項式展開公式得：所以若階矩陣主對角元素相同，這樣可表示為一個純量矩陣與另一個矩陣之和，即，且的高次冪容易計算，則采用該方法比較直觀。若是主對角線元素不同的某些特殊階矩陣時（如三角陣等），則先考慮將分解為，其中為冪零陣（即對有），或者為秩的矩陣，且，其中常數(shù)等于列向量與行向量內(nèi)積的值。 根據(jù)數(shù)量矩陣與任何矩陣乘法可交換定理，所以利用二項式定理展開得。2.6 秩為1的方陣的高次冪的求解定義2：由于矩陣的秩為1,所以矩陣至少有一行元素不為零

20、,且其余各行元素都屬于它的，于是秩為1的矩陣的一般形式為:設則有 =，即例10 設解 由于例11 已知，求（為自然數(shù)）解 矩陣可分塊為,其中 于是，下面求與，由于，其中， 于是 又有,其中，且， 由二項式展開公式得：故故得到以下結(jié)論：結(jié)論一： 命題1 形如，令，所以，則。結(jié)論二： 命題2 形如=， 所以，且=，則。2.7 利用Hamiltoor-Caylry定理求方陣的冪定理3：Hamiltoor-Caylry設n階矩陣A是其特征多項式的根（零點），即令則例12 已知方陣解 方陣的特征多項式為設則所以將式對求導,再將.得到方程組:解得根據(jù)定理， =2.8 本章小結(jié)本章主要敘述了方陣的冪的幾種具

21、體求解方法及應用舉例，包括矩陣對角化方法、若爾當標準形方法、遞推公式方法、二項式法等內(nèi)容?？芍蠓疥嚨膬绶椒ǘ喾N多樣，針對不同的矩陣可采用對應的方法來求解，在具體的使用過程中要充分的利用方陣的具體特征尋求最佳的計算方法，這樣既能提高運算速率，也能使我們在計算能力方面得到提高。第3章 方法與技巧的其他應用3.1對角矩陣的其他方面的應用3.1.1 求具有線性遞推關(guān)系( 組) 的數(shù)列的通項式與極限例13 設數(shù)列滿足，求.解 將遞推關(guān)系組，改寫成下列矩陣形式：.記,由求得的特征值，對應的特征向量為取,則,從而有，因此可得的通項為：，且=. 注：文獻中令，利用壓縮映射原理說明的存在性，但并未求，也并未求

22、出的通項式.上述方法不僅可以方便的求出,而可以得到數(shù)列的通項式.例14已知，證明 存在且相等，并求出極限值.證明 將遞推關(guān)系組化簡為，再改寫為矩陣形式： 記,由，求得的特征值為，對應的特征向量為取則,于是：，從而有 ，故.矩陣對角化也可求可化為具有線性遞推關(guān)系的數(shù)列的通項與極限.例15 設.解 有已知得，令，則,因而.記,由求得的特征值為，對應的特特征向量為 取，則，從而有，于是得：，故例16 設 ，求.解 令，則可化簡為，在改寫為矩陣形式.記，由求得的特征值為，對應的特征向量為，取，則 從而得，故=. 上述兩個例子表明：可經(jīng)過化簡及變量代換將一些具有非線性遞推關(guān)系的數(shù)列求極限問題轉(zhuǎn)化為具有線

23、性遞推關(guān)系的數(shù)列極限問題，再利用本文所介紹的方法即可很方便求解.3.1.2 求解行列式的值例17 計算階行列式的值解 按第一列展開的=，改寫為矩陣形式記,則=.由求得的特征值為，對應的特征向量為取=，則,從而有=，故得.例18 設階實對稱矩陣滿足，且的秩為，試求行列式的值.解 設,是對應于特征值的特征向量，因為，則,從而有，因為，所以即；又因為是實對稱矩陣，所以相似于對角矩陣，的秩為，故存在可逆矩陣,使得，其中是階單位矩陣，從而結(jié) 論本文引言中介紹了矩陣的發(fā)展背景及研究意義，第一部分介紹了矩陣的秩及其相關(guān)性質(zhì)、矩陣的乘法、矩陣的冪、若而當標準型以及矩陣對角定義化。第二部分總結(jié)了一些矩陣高次冪的

24、計算方法，如：利用矩陣對角化、利用若而當標準型、利用數(shù)學歸納法、利用遞推公式法、利用二項式法等方法進行了探討。顯然文章給出的計算方法并不獨立存在有些需要配合使用。在具體求解一個方陣的高次冪時，根據(jù)方陣的不同特征采用不同的計算方法是求方陣高次冪的關(guān)鍵。上述介紹的幾種方法不一定是最簡單的，也不是獨立存在的，有時還需要相互配合使用，對于具體問題還應具體分析?？傊诜疥嚫叽蝺绲那蠼膺^程中要充分運用矩陣的特征尋求的最佳計算方法，這對于溝通矩陣各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡單的計算方法的能力需要在實踐中逐步提高，總而言之，方陣的高次冪的計算作為線性代數(shù)課程教學實踐中的疑難點，需要我們在總結(jié)已有的基礎上，不斷地發(fā)散思維靈活運用各種方法，才能既快速又準確的計算方陣的高次冪。參考文獻1余躍玉.階方陣高次冪的計算方法J.四川文理學院學報，2011，21（2）：22-242北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)M.北京：科學出版社，20083劉愛蘭.矩陣高次冪的計