橢圓和雙曲線練習(xí)題及答案解析

1、第二章 圓錐曲線與方程一、選擇題1設(shè)P是橢圓1上的點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF1|PF2|等于()A4 B5 C8 D10解析：選D根據(jù)橢圓的定義知，|PF1|PF2|2a2×510，故選D.2已知ABC的頂點(diǎn)B，C在橢圓y21上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則ABC的周長(zhǎng)是()A2 B6 C4 D12解析：選C由于ABC的周長(zhǎng)與焦點(diǎn)有關(guān)，設(shè)另一焦點(diǎn)為F，利用橢圓的定義，|BA|BF|2，|CA|CF|2，便可求得ABC的周長(zhǎng)為4.3命題甲：動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A，B的距離之和|PA|PB|2a(a0，常數(shù))；命題乙：P點(diǎn)軌跡是橢圓則命題甲是命題乙

2、的()A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分又不必要條件解析：選B利用橢圓定義若P點(diǎn)軌跡是橢圓，則|PA|PB|2a(a0，常數(shù))，故甲是乙的必要條件反過來，若|PA|PB|2a(a0，常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a|AB|時(shí)，P點(diǎn)軌跡是線段AB；當(dāng)2a|AB|時(shí)，P點(diǎn)無軌跡，故甲不是乙的充分條件綜上，甲是乙的必要不充分條件4如果方程1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(3，) B(，2) C(，2)(3，) D(6，2)(3，)解析：選D由a2a60，得所以，所以a3或6a2.5已知P為橢圓C上一點(diǎn)

3、，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點(diǎn)，且|F1F2|2，若|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)為|F1F2|，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1或1C.1 D.1或1解析：選B由已知2c|F1F2|2，得c.由2a|PF1|PF2|2|F1F2|4，得 a2.b2a2c29.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或1.6橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A(±13,0) B(0，±10) C(0，±13) D(0，±)解析：選D由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±)7已知橢圓C：1

4、(ab0)的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點(diǎn)若AF1B的周長(zhǎng)為4，則C的方程為()A.1 B.y21 C.1 D.1解析：選A由橢圓的性質(zhì)知，|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a，又AF1B的周長(zhǎng)|AF1|AF2|BF1|BF2|4，a.又e，c1.b2a2c22，橢圓的方程為1.8已知橢圓1與橢圓1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓1的短軸長(zhǎng)與橢圓1的短軸長(zhǎng)相等，則()Aa225，b216 Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225 Da225，b29解析：選D因?yàn)闄E圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓1的短軸長(zhǎng)為6，所以a225，b29.9已知橢圓1

5、(ab0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，點(diǎn)B在橢圓上，且BFx軸，直線AB交y軸于點(diǎn)P.若2，則橢圓的離心率是()A. B. C. D.解析：選D2，|2|.又POBF，即，e.10過橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，若F1PF260°，則橢圓的離心率為()A. B. C. D.解析：選B法一：將xc代入橢圓方程可解得點(diǎn)Pc，±，故|PF1|，又在RtF1PF2中F1PF260°，所以|PF2|，根據(jù)橢圓定義得2a，從而可得e.法二：設(shè)|F1F2|2c，則在RtF1PF2中，|PF1|c，|PF2|c.所以|PF1|PF2|2c2a，

6、離心率e.11已知雙曲線的a5，c7，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.1 B.1C.1或1 D.0或0解析：選C由于焦點(diǎn)所在軸不確定，有兩種情況又a5，c7，b2725224.12已知m，nR，則“m·n0”是“方程1表示雙曲線”的()A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件解析：選C若方程1表示雙曲線，則必有m·n0；當(dāng)m·n0時(shí)，方程1表示雙曲線所以“m·n0”是“方程1表示雙曲線”的充要條件13已知定點(diǎn)A，B且|AB|4，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|3，則|PA|的最小值為()A. B. C. D5解析：選C如圖所示，點(diǎn)P是

7、以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上的點(diǎn)，當(dāng)P在M處時(shí)，|PA|最小，最小值為ac2.14雙曲線1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，雙曲線上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離是12，則點(diǎn)P到焦點(diǎn)F2的距離是()A17 B7 C7或17 D2或22解析：選D依題意及雙曲線定義知，|PF1|PF2|10，即12|PF2|±10，|PF2|2或22，故選D.15焦點(diǎn)分別為(2,0)，(2,0)且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()Ax21 B.y21 Cy21 D.1解析：選A由雙曲線定義知，2a532，a1.又c2，b2c2a2413，因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.16下列雙曲線中離心率為的是()A.1

8、 B.1 C.1 D.1解析：選B由e得e2，則，即a22b2.因此可知B正確17中心在原點(diǎn)，實(shí)軸在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)在直線3x4y120上的等軸雙曲線方程是()Ax2y28 Bx2y24 Cy2x28 Dy2x24解析：選A令y0得，x4，等軸雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，c4，a2c2×168，故選A.18(廣東高考)若實(shí)數(shù)k 滿足0k5 ，則曲線 1與曲線 1的()A實(shí)半軸長(zhǎng)相等 B. 虛半軸長(zhǎng)相等 C離心率相等 D. 焦距相等解析：選D由0k5易知兩曲線均為雙曲線，且焦點(diǎn)都在x軸上，由于165k16k5，所以兩曲線的焦距相等19雙曲線1的離心率e(1,2)，則k的取值范圍是

9、()A(10,0) B(12,0) C(3,0) D(60，12)解析：選B由題意知k0，a24，b2k.e21.又e(1,2)，114，12k0.20(天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線平行于直線l：y2x10，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線l上，則雙曲線的方程為()A.1 B.1 C.1 D.1解析：選A由題意可知，雙曲線的其中一條漸近線yx與直線y2x10平行，所以2且左焦點(diǎn)為(5,0)，所以a2b2c225，解得a25，b220，故雙曲線的方程為1.二、填空題21橢圓1的焦距是2，則m的值是_解析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1.m41，m5.當(dāng)

10、橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a24，b2m，c24m1，m3.答案：3或522已知橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：法一：依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，且可知左焦點(diǎn)為F(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：依題意，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：123橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點(diǎn)P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_資*源%庫 解析：如圖，當(dāng)P在y軸上時(shí)PF1F2的面積最大，.co

11、m×8b12，b3.又c4，a2b2c225.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：124與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為4的橢圓方程是_解析：橢圓9x24y236可化為1，因此可設(shè)待求橢圓為1.又b2，故m20，得1.答案：125橢圓1的離心率為，則m_.解析：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，m3；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，m.綜上，m3或m.答案：3或26已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為， 且過P(5,4)，則橢圓的方程為_解析：e，5a25b2a2即4a25b2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0)，an橢圓過點(diǎn)P(5,4)，1.解得a245.橢圓的方程為1.答案：127設(shè)m是常數(shù)，若點(diǎn)F(0,

12、5)是雙曲線1的一個(gè)焦點(diǎn)，則m_.解析：由點(diǎn)F(0,5)可知該雙曲線1的焦點(diǎn)落在y軸上，所以m0，且m952，解得m16.答案：1628經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)和Q(6，7)，且焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_設(shè)雙曲線的方程為mx2ny21(mn0)，則解得故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：129已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且·0，|PF1|·|PF2|2，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_解析：解析：由題意可設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)由·0，得PF1PF2.根據(jù)勾股定理得|PF1|2|PF2|2(2c)2，即|PF1|2|PF2|220.根

13、據(jù)雙曲線定義有|PF1|PF2|±2a.兩邊平方并代入|PF1|·|PF2|2得202×24a2，解得a24，從而b2541，所以雙曲線方程為y21.答案：y2130若雙曲線1的漸近線方程為y±x，則雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_解析：由漸近線方程為y±x±x，得m3，所以c，又焦點(diǎn)在x軸上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)答案：(±，0)31過雙曲線1(a0，b0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M，N兩點(diǎn)，以MN為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為_解析：由題意知，ac，即a2acc2a2，c2ac2a20，

14、e2e20，解得e2或e1(舍去)答案：232雙曲線1的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F平行于雙曲線的一條漸近線的直線與雙曲線交于點(diǎn)B，則AFB的面積為_解析：雙曲線1的右頂點(diǎn)A(3,0)，右焦點(diǎn)F(5,0)，漸近線方程為y±x.不妨設(shè)直線FB的方程為y(x5)，代入雙曲線方程整理，得x2(x5)29，解得x，y，所以B.所以SAFB|AF|yB|(ca)|yB|×(53)×.答案：.三、解答題33設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)設(shè)橢圓C上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)解：由點(diǎn)在橢圓上，得1，又2a4，所以橢圓C的

15、方程為1，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)34已知橢圓的兩焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，P為橢圓上一點(diǎn)，且2.(1)求此橢圓的方程；資*源% 庫Z(2)若點(diǎn)P滿足F1PF2120°，求PF1F2的面積解：(1)由已知得2，*源%庫42a，a2.b2a2c2413，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)在PF1F2中，由余弦定理得2222cos 120°，即42，4(2a)216，12，SPF1F2sin 120°×12×3.35在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為，過點(diǎn)F1的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，

16、且ABF2的周長(zhǎng)為16，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由e知，故，從而，.由ABF2的周長(zhǎng)為|AB|BF2|AF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，得a4，b28.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.36橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)是A(a,0)，其上存在一點(diǎn)P，使APO90°，求橢圓離心率的取值范圍資*源%庫解：設(shè)P(x，y)，由APO90°知，點(diǎn)P在以O(shè)A為直徑的圓上，圓的方程是：2y22，所以y2axx2.又P點(diǎn)在橢圓上，故1.把代入化簡(jiǎn)，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a

17、2.由b2a2c2，得a22c2，所以e.又0e1，e1.即橢圓離心率的取值范圍是.37已知與雙曲線1共焦點(diǎn)的雙曲線過點(diǎn)P，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：已知雙曲線1.據(jù)c2a2b2，得c216925，c5.設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a0，b0)依題意，c5，b2c2a225a2，故雙曲線方程可寫為1.點(diǎn)P在雙曲線上，1.化簡(jiǎn)，得4a4129a21250，Z解得a21或a2.又當(dāng)a2時(shí)，b225a2250，不合題意，舍去，故a21，b224.所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.38已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B分別為橢圓x25y25的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，且三個(gè)內(nèi)角A，B，C滿足關(guān)系式sin Bsin Asin

18、C.Z(1)求線段AB的長(zhǎng)度；(2)求頂點(diǎn)C的軌跡方程解：(1)將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為y21.a25，b21，c2a2b24，則A(2,0)，B(2,0)，|AB|4.(2)sin Bsin Asin C，由正弦定理得|CA|CB|AB|2|AB|4，即動(dòng)點(diǎn)C到兩定點(diǎn)A，B的距離之差為定值動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是雙曲線的右支，并且c2，a1，所求的點(diǎn)C的軌跡方程為x21(x1)3939.已知橢圓方程是1，雙曲線E的漸近線方程是3x4y0，若雙曲線E以橢圓的焦點(diǎn)為其頂點(diǎn)，求雙曲線的方程資*源%庫資*源%庫 解：由已知，得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±，0)和(0，±)因雙曲線以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，即雙曲線過點(diǎn)(±，0)時(shí)，可設(shè)所求的雙曲