矩陣分析（課堂PPT）

1、為為 的的矩陣多項式矩陣多項式。 定義：定義： 已知已知 和關(guān)于變量和關(guān)于變量 的多項的多項式式Ax1110( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnf Aa AaAa Aa In nAC那么我們稱那么我們稱第六章第六章 矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 112rAAAA設(shè)12kkkkrAAAA12()()( )()rf Af Af Af A設(shè)設(shè) 為一個為一個 階矩陣，階矩陣， 為其為其Jordan標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形，則形，則nAJ111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP于是有于是有11101111110111101112( )()()()()(

2、)( (),(),()nnnnnnnnnnnnrf Aa AaAa Aa Ia PJPaPJPa PJPa IP a JaJa Ja I PPf J PPdiag f Jf Jf JP我們稱上面的表達(dá)式為我們稱上面的表達(dá)式為矩陣多項式矩陣多項式 的的Jordan表示表示。其中。其中( )f A11()nnPJPPJ P1()(1,2, )1iiiiiiiddJir111111( )iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc 1010()110iiiiiiiiiiiddJEH注1(1)111222( )()iiikkiiidkddkkkikikikiJEHEcHcHcH2H

3、 是把中的向上平移一行，類推之。1111000001100( )iiiinnndk dkkkik kik kikkknkkinkkkiinkkk kiknkkikd daa ca caa Ja ca(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff112( (),(),()rPdiag f Jf Jf JP(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff總結(jié):設(shè)1APJP1110( )nnnnf Aa AaAa Aa I308316205A解：解：首先求出矩陣的首先求出矩陣的

4、的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 及其相似變換矩陣及其相似變換矩陣( )f AAJP例例 已知多項式已知多項式與矩陣與矩陣43( )21f xxxx求求 。100011001J041130020P130121002102P那么有那么有3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102ffff1( )( )f APf J P( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)fffffffff350722715418037 定義：定義：已知已知 和關(guān)于變量和關(guān)于變量 的多的多項式項式1110( )nnnnf xa xaxa xan

5、nACx( )f x( )n nf AO( )f xA為矩陣為矩陣 的一個的一個零化多項式零化多項式。如果如果 滿足滿足 ，那么稱，那么稱n nAC( )f( )n nf AO定理：定理：已知已知 ， 為其特征多項式為其特征多項式，則有，則有我們稱此定理為我們稱此定理為Hamilton-Cayley定理定理。證明：1APJP112( (),(),()rPdiag f Jf Jf JP(1)1( )( )( )(1)!( )( )( )( )iiidiiiiiiiid dfffdff Jff1110( )nnnnf Aa AaAa Aa Ii 是特征根，其重數(shù)（代數(shù)重復(fù)度）id故(1)()()(

6、)0idiiifff ()0if J( )0f A最小多項式的性質(zhì)：最小多項式的性質(zhì)：已知已知 ，那么，那么定義：定義：已知已知 ，在，在 的零化多項式中，的零化多項式中，次數(shù)最低且首項系數(shù)為次數(shù)最低且首項系數(shù)為1的零化多項式稱為的零化多項式稱為 的的最小多項式最小多項式，通常記為，通常記為 。AA( )mn nACn nACA( )m（2）矩陣的任何一個零化多項式均能被）矩陣的任何一個零化多項式均能被（1）矩陣）矩陣 的最小多項式是唯一的。的最小多項式是唯一的。整除。整除。（3）相似矩陣有相同的最小多項式。）相似矩陣有相同的最小多項式。11iiiiiiddJ例例 1 ：已知一個已知一個Jor

7、dan塊塊考慮考慮Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項式。標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的最小多項式。如何求一個矩陣的最小多項式如何求一個矩陣的最小多項式?首先我們首先我們解：解：注意到其特征多項式為注意到其特征多項式為，則由上面的定理可知其最小多項式，則由上面的定理可知其最小多項式一定具有如下形狀一定具有如下形狀( )()idif( )m( )()kim1ikdikd其中其中 。但是當(dāng)。但是當(dāng) 時時求其最小多項式。求其最小多項式。()()001000010000iikiiiddm JJIO 因此有因此有( )()idim同理同理若若00011,2,1iiiddJir12rddd對應(yīng)初等因子0()id12rJJJJ有

8、有0( )()rdm結(jié)論：A的最小多項式是A的最后的一個不變因子。12= diag(,)rAA AA12( ),( ),( )rmmm12,rA AAA12( ),( ),( )rmmm12( ),( ),( )rmmm即為即為 的最小公倍式的最小公倍式多項式為多項式為 的最小多項式，則的最小多項式，則 的最小的最小 ， 分別為子塊分別為子塊例例 2 ：已知對角塊矩陣已知對角塊矩陣?yán)?3 ：求下列矩陣的最小多項式求下列矩陣的最小多項式308(1)316205232(2)1822143AB126(3)10311431000300(4)00300005CD 解：解： （1）首先求出）首先求出 標(biāo)

9、準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形308316205IAIA 211(1) 2(1)所以其最小多項式為所以其最小多項式為 。（2）標(biāo)準(zhǔn)形）標(biāo)準(zhǔn)形2321822143B211(1)(3)IB從而其最小多項式為從而其最小多項式為 。2(1)(3)210001000(1)IC（3）126103114 C2(1)故其最小多項式為故其最小多項式為 。3100030000300005D2(5)(3)（4）此矩陣本身就是一個）此矩陣本身就是一個Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形，所以其最小多項式所以其最小多項式 。定義：定義：設(shè)設(shè) ， 為為 的的 個互不相同的特征值，個互不相同的特征值， 為其最小多項為其最小多項式且有式且有n nAC12

10、,r r( )mA1212( )() ()()rdddrm2：矩陣函數(shù)及其計算矩陣函數(shù)及其計算其中其中 11(1,2, ),riiidirdm( )f x(1)(),(),(),1,2,idiiifffir( )f xAm1( )(3)(4)f xxx例：例：設(shè)設(shè)定義定義。存在，則稱函數(shù)存在，則稱函數(shù) 在矩陣在矩陣 的的譜上有譜上有下列下列 個值個值如果函數(shù)如果函數(shù) 具有足夠高階的導(dǎo)數(shù)并且具有足夠高階的導(dǎo)數(shù)并且又已知又已知836320422AA2( )(2)(1)m511(2),(1),(1)2636fff并且并且容易求得矩陣容易求得矩陣 的最小多項式為的最小多項式為顯然顯然 不存在，所以在不

11、存在，所以在 的譜上無定義。的譜上無定義。( )f xA310030001BB2( )(1)(3)m(3)fB所以所以 在在 的譜上有定義。但是如果取的譜上有定義。但是如果取容易求得矩陣容易求得矩陣 的最小多項式為的最小多項式為（1）設(shè)）設(shè) ，如果，如果 有定義，那有定義，那么么 是否也有定義？是否也有定義？An nAC( )f A()Tf An nAC( )f A1()f An nAC1212( )() ()()rdddrm定義：定義：設(shè)矩陣設(shè)矩陣 的最小多項式為的最小多項式為如果上述說法正確，請予以證明；如果如果上述說法正確，請予以證明；如果上述說法不正確，請舉反例加以說明。上述說法不正確

12、，請舉反例加以說明。定義，那么定義，那么 是否也有定義？是否也有定義？（2）設(shè)）設(shè) 且且 可逆，如果可逆，如果 有有標(biāo)準(zhǔn)形，標(biāo)準(zhǔn)形， 為其相似變換矩陣且使得為其相似變換矩陣且使得函數(shù)函數(shù) 在矩陣在矩陣 的譜上有定義，如果的譜上有定義，如果存在多項式存在多項式 且滿足且滿足( )f xA( )g x( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiifgirkd( )( )f Ag An nACJAP定理：定理：設(shè)設(shè) ， 為矩陣為矩陣 的的Jordan則定義則定義矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)為為A1APJP ，如果函數(shù)，如果函數(shù) 在矩陣在矩陣 的譜的譜上有定義，那么上有定義，那么( )f x1112( )

13、( )( )( (), (), ()rf Ag APg J PPdiag g Jg Jg JP其中其中(1)11( )( )( )( )2!(1)!( )( )1( )2!( )( )iiidiiiiiiiiiid dggggdgg Jggg (1)11( )( )( )( )2!(1)!( )( )( )1( )2!( )( )iiidiiiiiiiiiiid dffffdfg Jf Jfff 我們稱此表達(dá)式為我們稱此表達(dá)式為矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 的的Jordan表示表示。( )f A例例 1 ：設(shè)設(shè)126103114A ( )f A,sinAtAeeAJP變換矩陣變換矩陣解：首先求出其解：首先

14、求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 與相似與相似求求 的的Jordan表示并計算表示并計算100011001J122110011P從而從而 的的Jordan表示為表示為( )f A( )xf xe(1),(1)fe fe1( )( )122(1)001021100(1)(1)11201100(1)113(1)2(1)2(1)6(1)(1)(1)(1)3(1)(1)(1)(1)3(1)f APf J Pffffffffffffffff當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得從而有從而有當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得于是有于是有( )txf xe(1),(1)ttfefte26034Aeeeeeeeee (12 )26

15、(1)3(13 )ttttAttttttt eteteetet etetetet e當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得( )f xsinx(1)1,(1)1fsinfcos12121611113111131sincoscosCossinAcossincoscoscoscossincos同樣可得同樣可得例例 2 ：設(shè)設(shè)308316205A( )f A, in,cos2tAesAAJP相似變換矩陣相似變換矩陣解：首先求出其解：首先求出其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 與與求求 的的Jordan表示并計算表示并計算100011001J041130020P從而從而 的的Jordan表示為表示為( )f A1(

16、)( )3012041( 1)0011300( 1)( 1)00202000( 1)102( 1)4( 1)08( 1)3( 1)( 1)6( 1)2( 1)0( 1)4( 1)f APf J Pfffffffffffff當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得( )txf xe(1),(1)ttfefte40836204ttttAttttteteteeteetetete于是有于是有( )f xsin x( 1)0,( 1)ff 故故當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得408306204sin A 類似可求得類似可求得2043cos032202A定理：定理：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 與函數(shù)與函數(shù) 在矩陣在矩陣 的的譜上都有定義，那么譜上

17、都有定義，那么 的充分的充分必要條件是必要條件是 與與 在在 的譜上的值的譜上的值完全相同。完全相同。( )f x( )g xA( )f x( )( )f Ag A( )f x( )g xAn nAC1212( )() ()()rdddrm12,r rA特征值且特征值且其中其中 為矩陣為矩陣 的的 個互異個互異設(shè)矩陣設(shè)矩陣 的最小多項式為的最小多項式為 如何尋找多項式如何尋找多項式 使得使得 與所求與所求的矩陣函數(shù)的矩陣函數(shù) 完全相同？根據(jù)計算方法中完全相同？根據(jù)計算方法中的的Hermite插值多項式定理可知，在眾多的多插值多項式定理可知，在眾多的多項式中有一個次數(shù)為項式中有一個次數(shù)為 次的多

18、項式次的多項式11(1,2, ),riiidirdm( )p x( )p A( )f A1m 121210( )mmmmp xaxaxa xa( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiipfirkd且滿足條件且滿足條件這樣，多項式這樣，多項式121210( )mmmmp xaxaxa xa1210,mmaaa a( )( )()(),1,2, ;1,2,1kkiiipfirkd121210( )mmmmf AaAaAa Aa I( )f A為為矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 的多項式表示的多項式表示。確定出來。則我們稱確定出來。則我們稱關(guān)系式關(guān)系式中的系數(shù)中的系數(shù) 完全可以通過完全可以通過例例 1

19、 ：設(shè)設(shè)100020003A, in,cos44tAesAA( )(1)(2)(3)m xxxx( )f A解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為求求 的多項式表示并且計算的多項式表示并且計算這是一個這是一個3次多項式，從而存在一個次數(shù)為次多項式，從而存在一個次數(shù)為2 的多項式的多項式2210( )p xa xa xa(1)(1), (2)(2), (3)(3)pfpfpf210210210(1)(2)42(3)93faaafaaafaaa于是可得于是可得且滿足且滿足解得解得012(3)3 (2)3 (1)1(3 (3)8 (2)5 (1)21( (3)2 (2)

20、(1)2afffafffafff 2210(1)00( )0(2)000(3)ff Aa Aa Aa Iff所以其多項式表示為所以其多項式表示為當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得( )txf xe23(1),(2),(3)tttfefefe23000000ttAtteeee( )4f xsinx22(1),(2)1,(3)22fff當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得于是有于是有故有故有2002sin01042002A2002cos00042002A類似地有類似地有例例 2 ：設(shè)設(shè)100021002A( )f A, in,cos4tAesAA2( )(1)(2)m xxx這是一個這是一個3次多項式，從而存在一個次數(shù)為次

21、多項式，從而存在一個次數(shù)為2解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為求求 的多項式表示并且計算的多項式表示并且計算的多項式的多項式2210( )p xa xa xa(1)(1), (2)(2),(2)(2)pfpfpf21021021(1)(2)42(2)4faaafaaafaa于是有于是有且滿足且滿足0122(2)3 (2)4 (1)3(2)4 (2)4 (1)(2)(2)(1)afffafffafff 解得解得2210(1)00( )0(2)(2)00(2)ff Aa Aa Aa Ifff所以其多項式表示為所以其多項式表示為當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得( )txf x

22、e22(1),(2),(2)tttfefefte22200000ttAttteeetee( )f xsin x(1)0,(2)0,(2)fff當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得于是有于是有故有故有000sin00000A2002cos0044000A類似地有類似地有例例 3 ：設(shè)設(shè)200010001A( )f A( )(1)(2)m xxx, in,cos22tAesAA的多項式的多項式這是一個這是一個2次多項式，從而存在一個次數(shù)為次多項式，從而存在一個次數(shù)為1解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為解：容易觀察出該矩陣的最小多項式為求求 的多項式表示并且計算的多項式表示并且計算10( )p xa xa且滿足且

23、滿足(1)(1), (2)(2)pfpf1010(1)(2)2faafaa01(2)2 (1)(2)(1)affaff 解得解得于是有于是有所以其多項式表示為所以其多項式表示為10( )2 (1)(2)02 (2)2 (1)0(1)0(2)(1)02 (2)(1)f Aa Aa Ifffffffff( )txf xe2(1),(2)ttfefe從而可得從而可得 當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得222220220002tttttAttttteeeeeeeeee當(dāng)當(dāng) 時，可得時，可得( )2f xsinx(1)1,(2)0ff202sin0102101A故有故有同樣可以得到同樣可以得到102s0002102

24、coA110011001A( )f A求求 的多項式表示并且計算的多項式表示并且計算練習(xí)練習(xí) ：設(shè)設(shè), in,cos4tAesAA定義：定義：設(shè)設(shè) ，一元函數(shù)，一元函數(shù) 能夠展開能夠展開成關(guān)于成關(guān)于 的冪級數(shù)的冪級數(shù)n nAC( )f xx0( )kkkf xc xRA( )AR譜半徑譜半徑 時，我們將收斂矩陣冪級數(shù)時，我們將收斂矩陣冪級數(shù)并且該冪級數(shù)地收斂半徑為并且該冪級數(shù)地收斂半徑為 。當(dāng)矩陣。當(dāng)矩陣 的的0kkkc x的和定義為矩陣函數(shù)，一般記為的和定義為矩陣函數(shù)，一般記為 ，即，即( )f A0( )kkkf Ac Ax 21112!xnexxxn 因為當(dāng)因為當(dāng) 時，有時，有35211

25、1in3!5!1( 1)(21)!nnsxxxxxn 2421112!4!1( 1)(2 )!nncosxxxxn 當(dāng)當(dāng) 時，有時，有1x 123(1)1( 1)nnxxxxx 11x 23111ln(1)231( 1)1nnxxxxxn n nAC( )AR所以對于任意的矩陣所以對于任意的矩陣 ，當(dāng)，當(dāng)當(dāng)當(dāng) 時，有時，有2112!AneIAAAn352111sin3!5!1( 1)(21)!nnAAAAAn 時，我們有時，我們有123()( 1)nnIAIAAAA 24211cos2!4!1( 1)(2 )!nnAIAAAn 2341111ln()2341( 1)nnIAAAAAAn 由此可

26、以得到一些簡單的推論：由此可以得到一些簡單的推論：2(1)(2)(3)cossin,1n nOn nAAAAiAeIe eeeIeAiAi221(4)cos()21(5)sin()2(6)sin()sin(7)cos()cos(8)sincos1iAiAiAiAAeeAeeiAAAAAA 第五節(jié)：第五節(jié)：021 2102201(1)!( 1)(2)sin(21)!( 1)(3)cos(2 )!Atk kkkkkkkkkkeA tkAtAtkAtA tk這里我們主要討論兩種特殊矩陣函數(shù)的這里我們主要討論兩種特殊矩陣函數(shù)的性質(zhì)，即性質(zhì)，即定理：定理：設(shè)設(shè) ，那么當(dāng)，那么當(dāng) 時，時，我們有我們有,n

27、 nA BC22(1)(2)sin()sincoscossin(3)sin22sincos(4)cos()coscossinsin(5)cos2cossinA BABBAee ee eABABAAAAAABABABAAAABBA證明：首先證明第一個等式證明：首先證明第一個等式2222322311()2!11()2!1()()2!1(33)3!ABnne eIAAAnIAAAnIABAABBABAA BABB2311()()()2!3!A BIABABABe現(xiàn)在證明第二個等式現(xiàn)在證明第二個等式()()1sin()()21()211()()2211()()22sincoscossini A Bi