概率論課后習(xí)題答案

1、習(xí)題四1.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1) (2) (3) 2.已知100個(gè)產(chǎn)品中有10個(gè)次品，求任意取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望、方差.【解】設(shè)任取出的5個(gè)產(chǎn)品中的次品數(shù)為X，則X的分布律為X012345P故 3.設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X -1 0 1Pp1 p2 p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.【解】因,又,由聯(lián)立解得4.袋中有N只球，其中的白球數(shù)X為一隨機(jī)變量，已知E（X）=n，問從袋中任取1球?yàn)榘浊虻母怕适嵌嗌?？【解】記A=從袋中任取1球?yàn)榘浊?，則 5

2、.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】 故 6.設(shè)隨機(jī)變量X，Y，Z相互獨(dú)立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.（1） U=2X+3Y+1；（2） V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X -2Y），D（2X -3Y）.【解】(1) (2) 8.設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試確定常數(shù)k，并求E（XY）.【解】因故k=2.9.設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求E（XY）.【解】方

3、法一：先求X與Y的均值 由X與Y的獨(dú)立性，得 方法二：利用隨機(jī)變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨(dú)立，故聯(lián)合密度為于是10.設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為fX（x）= fY（y）=求（1） E（X+Y）;（2） E（2X -3Y2）.【解】 從而(1)(2)11.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）=求（1） 系數(shù)c;（2） E（X）;（3） D（X）.【解】(1) 由得.(2) (3) 故 12.袋中有12個(gè)零件，其中9個(gè)合格品，3個(gè)廢品.安裝機(jī)器時(shí)，從袋中一個(gè)一個(gè)地取出（取出后不放回），設(shè)在取出合格品之前已取出的廢品數(shù)為隨機(jī)變量X，求E（X）和D（X）.【解】設(shè)隨機(jī)變量X表示在取得合格品以前已取出

4、的廢品數(shù)，則X的可能取值為0，1，2，3.為求其分布律，下面求取這些可能值的概率，易知 于是，得到X的概率分布表如下：X0123P0.7500.2040.0410.005由此可得 13.一工廠生產(chǎn)某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）服從指數(shù)分布，概率密度為f（x）=為確保消費(fèi)者的利益，工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞可以調(diào)換.若售出一臺設(shè)備，工廠獲利100元，而調(diào)換一臺則損失200元，試求工廠出售一臺設(shè)備贏利的數(shù)學(xué)期望.【解】廠方出售一臺設(shè)備凈盈利Y只有兩個(gè)值：100元和 -200元 故 (元).14.設(shè)X1，X2，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，記，S2=.

5、（1） 驗(yàn)證=， =；（2） 驗(yàn)證S2=；（3） 驗(yàn)證E（S2）=2.【證】(1) (2) 因 故.(3) 因,故同理因,故.從而 15.對隨機(jī)變量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)= -1,計(jì)算：Cov（3X -2Y+1，X+4Y -3）.【解】 (因常數(shù)與任一隨機(jī)變量獨(dú)立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余類似).16.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=試驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】設(shè). 同理E(Y)=0.而 ,由此得,故X與Y不相關(guān).下面討論獨(dú)立性，當(dāng)|x|1時(shí)， 當(dāng)|y|1時(shí)，.顯然故X和Y不是相互獨(dú)立的.17.

6、設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的分布律為XY -1 0 1 -1011/8 1/8 1/81/8 0 1/81/8 1/8 1/8驗(yàn)證X和Y是不相關(guān)的，但X和Y不是相互獨(dú)立的.【解】聯(lián)合分布表中含有零元素，X與Y顯然不獨(dú)立，由聯(lián)合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表X -101 PY -101 PXY -101 P由期望定義易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.從而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相關(guān)系數(shù)性質(zhì)知XY=0,即X與Y的相關(guān)系數(shù)為0，從而X和Y是不相關(guān)的.又從而X與Y不是相互獨(dú)立的.18.設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)

7、域上服從均勻分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如圖，SD=，故（X，Y）的概率密度為題18圖從而同理而 所以.從而 19.設(shè)（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求協(xié)方差Cov（X，Y）和相關(guān)系數(shù)XY.【解】 從而同理 又 故 20.已知二維隨機(jī)變量（X，Y）的協(xié)方差矩陣為，試求Z1=X -2Y和Z2=2X -Y的相關(guān)系數(shù).【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.從而 故 21.對于兩個(gè)隨機(jī)變量V，W，若E（V2），E（W2）存在，證明：E（VW）2E（V2）E（W2）.這一不等式稱為柯西許瓦茲（Couchy -Schwarz）不等式.【證】令顯然 可見此關(guān)于t的二

8、次式非負(fù)，故其判別式0，即 故22.假設(shè)一設(shè)備開機(jī)后無故障工作的時(shí)間X服從參數(shù)=1/5的指數(shù)分布.設(shè)備定時(shí)開機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動關(guān)機(jī)，而在無故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī).試求該設(shè)備每次開機(jī)無故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F（y）. 【解】設(shè)Y表示每次開機(jī)后無故障的工作時(shí)間，由題設(shè)知設(shè)備首次發(fā)生故障的等待時(shí)間XE(),E(X)=5.依題意Y=min(X,2).對于y<0,f(y)=PYy=0.對于y2,F(y)=P(Xy)=1.對于0y<2,當(dāng)x0時(shí)，在(0,x)內(nèi)無故障的概率分布為PXx=1 -e -x,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1 -e -y/5.23.已知甲

9、、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望；（2）從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值為0，1，2，3，Z的概率分布為, Z=k0123Pk因此，(2) 設(shè)A表示事件“從乙箱中任取出一件產(chǎn)品是次品”，根據(jù)全概率公式有 24.假設(shè)由自動線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（,1），內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品.銷售每件合格品獲利，銷售每件不合格品虧損，已知銷售利潤T（單位：元）與銷售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系T=問：平均直徑取何值時(shí)，銷售一

10、個(gè)零件的平均利潤最大？ 【解】 故得 兩邊取對數(shù)有解得 (毫米)由此可得，當(dāng)u=10.9毫米時(shí)，平均利潤最大.25.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=對X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于/3的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望.（2002研考）【解】令 則.因?yàn)榧?所以,從而26.兩臺同樣的自動記錄儀，每臺無故障工作的時(shí)間Ti(i=1,2)服從參數(shù)為5的指數(shù)分布，首先開動其中一臺，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺自動開啟.試求兩臺記錄儀無故障工作的總時(shí)間T=T1+T2的概率密度fT(t)，數(shù)學(xué)期望E（T）及方差D（T）. 【解】由題意知：因T1,T2獨(dú)立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).當(dāng)t<

11、;0時(shí)，fT(t)=0;當(dāng)t0時(shí)，利用卷積公式得故得由于Ti E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=.又因T1,T2獨(dú)立，所以D（T）=D（T1+T2）=.27.設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0，方差為1/2的正態(tài)分布，求隨機(jī)變量|X -Y|的方差. 【解】設(shè)Z=X -Y，由于且X和Y相互獨(dú)立，故ZN（0，1）.因 而 ，所以 .28.某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p(0<p<1)，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)，即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求E（X）和D（X）. 【

12、解】記q=1 -p,X的概率分布為PX=i=qi -1p,i=1,2,，故又 所以 題29圖29.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在點(diǎn)（0，1），（1，0）及（1，1）為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布.（如圖），試求隨機(jī)變量U=X+Y的方差. 【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2E(XY) -E(X)·E(Y).由條件知X和Y的聯(lián)合密度為 從而因此同理可得 于是 30.設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間 -2,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量X= Y=試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）. 【解】（1） 為求X和Y的聯(lián)合概率分布，就要計(jì)算（X

13、，Y）的4個(gè)可能取值( -1, -1),( -1,1),(1, -1)及(1,1)的概率.Px= -1,Y= -1=PU -1,U1 PX= -1,Y=1=PU -1,U>1=P=0,PX=1,Y= -1=PU> -1,U1.故得X與Y的聯(lián)合概率分布為.(2) 因,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相應(yīng)為, .從而 所以31.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)=，（ -<x<+）(1) 求E（X）及D（X）；（2） 求Cov(X,|X|),并問X與|X|是否不相關(guān)？（3） 問X與|X|是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) (2) 所以X與|X|互不相關(guān).(3) 為判斷|X|

14、與X的獨(dú)立性，需依定義構(gòu)造適當(dāng)事件后再作出判斷，為此，對定義域 -<x<+中的子區(qū)間（0,+）上給出任意點(diǎn)x0，則有所以故由得出X與|X|不相互獨(dú)立.32.已知隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)XY= -1/2，設(shè)Z=.（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2） 求X與Z的相關(guān)系數(shù)XZ；（3） 問X與Z是否相互獨(dú)立，為什么？ 【解】(1) 而所以 (2) 因 所以 (3) 由，得X與Z不相關(guān).又因，所以X與Z也相互獨(dú)立.33.將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次數(shù).試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由條件知X+

15、Y=n，則有D（X+Y）=D（n）=0.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=,從而有 所以 故= -1.34.設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù). 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX -101P0.080.720.2所以E（XY）= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)·E(Y)=0.12 -0.6×0.2=0從而 =035.對于任意兩事件A和B，0<P(A)<1，0<P(B)<

16、;1,則稱=為事件A和B的相關(guān)系數(shù).試證：（1） 事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是=0；（2） |1. 【證】（1）由的定義知，=0當(dāng)且僅當(dāng)P(AB) -P(A)·P(B)=0.而這恰好是兩事件A、B獨(dú)立的定義，即=0是A和B獨(dú)立的充分必要條件.(2) 引入隨機(jī)變量X與Y為 由條件知，X和Y都服從0 -1分布，即 從而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)·P(),D(Y)=P(B)·P(),Cov(X,Y)=P(AB) -P(A)·P(B)所以，事件A和B的相關(guān)系數(shù)就是隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù).于是由二元隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)可

17、得|1.36. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為fX(x)=令Y=X2，F(xiàn)（x,y）為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)，求：(1) Y的概率密度fY(y)；(2) Cov(X,Y);(3). 解： (1) Y的分布函數(shù)為.當(dāng)y0時(shí)， ，；當(dāng)0y1時(shí)，；當(dāng)1y<4時(shí)， ；當(dāng)y4時(shí)，.故Y的概率密度為(2) , , ,故 Cov(X,Y) =.(3) .37.習(xí)題五1.一顆骰子連續(xù)擲4次，點(diǎn)數(shù)總和記為X.估計(jì)P10<X<18.【解】設(shè)表每次擲的點(diǎn)數(shù)，則 從而 又X1,X2,X3,X4獨(dú)立同分布. 從而 所以 2. 假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達(dá)到在76%與

18、84%之間的概率不小于90%，問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？【解】令而至少要生產(chǎn)n件，則i=1,2,n,且X1，X2，Xn獨(dú)立同分布，p=PXi=1=0.8.現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n268.96, 故取n=269.3. 某車間有同型號機(jī)床200部，每部機(jī)床開動的概率為0.7，假定各機(jī)床開動與否互不影響，開動時(shí)每部機(jī)床消耗電能15個(gè)單位.問至少供應(yīng)多少單位電能才可以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).【解】要確定最低的供應(yīng)的電能量，應(yīng)先確定此車間同時(shí)開動的機(jī)床數(shù)目最大值m，而m要滿足200部機(jī)床中同時(shí)開動的機(jī)床數(shù)目不超過m的概率為95%,于是我們只要供應(yīng)15m單位電能就可

19、滿足要求.令X表同時(shí)開動機(jī)床數(shù)目，則XB（200，0.7）, 查表知 ,m=151.所以供電能151×15=2265（單位）.4. 一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk（k=1，2，20），設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間（0，10）上服從均勻分布.記V=，求PV105的近似值.【解】易知:E(Vk)=5,D(Vk)=,k=1,2,20由中心極限定理知，隨機(jī)變量于是 即有 PV>1050.3485. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木柱中隨機(jī)地取出100根，問其中至少有30根短于3m的概率是多少？【解】設(shè)100根中有X根短于3m，則XB（100，

20、0.2）從而 6. 某藥廠斷言，該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8.醫(yī)院檢驗(yàn)員任意抽查100個(gè)服用此藥品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受這一斷言，否則就拒絕這一斷言.（1） 若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8，問接受這一斷言的概率是多少？（2） 若實(shí)際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7，問接受這一斷言的概率是多少？【解】令(1) XB(100,0.8)， (2) XB(100,0.7)， 7. 用Laplace中心極限定理近似計(jì)算從一批廢品率為0.05的產(chǎn)品中，任取1000件，其中有20件廢品的概率.【解】令1000件中廢品數(shù)X，則p=0.05,n=1000

21、,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故 8. 設(shè)有30個(gè)電子器件.它們的使用壽命T1，T30服從參數(shù)=0.1單位：（小時(shí)）-1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個(gè)損壞第二個(gè)立即使用，以此類推.令T為30個(gè)器件使用的總計(jì)時(shí)間，求T超過350小時(shí)的概率.【解】 故9. 上題中的電子器件若每件為a元，那么在年計(jì)劃中一年至少需多少元才能以95%的概率保證夠用（假定一年有306個(gè)工作日，每個(gè)工作日為8小時(shí)）.【解】設(shè)至少需n件才夠用.則E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.從而即故所以需272a元.10. 對于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會的家長

22、人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、1 名家長、2名家長來參加會議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會議的家長數(shù)相與獨(dú)立，且服從同一分布.（1） 求參加會議的家長數(shù)X超過450的概率？（2） 求有1名家長來參加會議的學(xué)生數(shù)不多于340的概率.【解】（1） 以Xi(i=1,2,400)記第i個(gè)學(xué)生來參加會議的家長數(shù).則Xi的分布律為Xi012P0.050.80.15易知E（Xi=1.1）,D(Xi)=0.19,i=1,2,400.而,由中心極限定理得于是 (2) 以Y記有一名家長來參加會議的學(xué)生數(shù).則YB(400,0.8)由拉普拉斯中心極限定理得11.

23、 設(shè)男孩出生率為0.515，求在10000個(gè)新生嬰兒中女孩不少于男孩的概率？【解】用X表10000個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，則XB（10000，0.515）要求女孩個(gè)數(shù)不少于男孩個(gè)數(shù)的概率，即求PX5000. 由中心極限定理有12. 設(shè)有1000個(gè)人獨(dú)立行動，每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計(jì)，在一次行動中：（1）至少有多少個(gè)人能夠進(jìn)入？（2）至多有多少人能夠進(jìn)入？【解】用Xi表第i個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體（i=1,2,1000）.令 Sn=X1+X2+X1000.(1) 設(shè)至少有m人能夠進(jìn)入掩蔽體，要求PmSn10000.95，事件由中心極限定理知：從而 故 所以 m=900-

24、15.65=884.35884人(2) 設(shè)至多有M人能進(jìn)入掩蔽體，要求P0SnM0.95.查表知=1.65,M=900+15.65=915.65916人.13. 在一定保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)一個(gè)人死亡的概率為0.006,死亡者其家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)得1000元賠償費(fèi).求：（1） 保險(xiǎn)公司沒有利潤的概率為多大；（2） 保險(xiǎn)公司一年的利潤不少于60000元的概率為多大？【解】設(shè)X為在一年中參加保險(xiǎn)者的死亡人數(shù)，則XB（10000，0.006）.(1) 公司沒有利潤當(dāng)且僅當(dāng)“1000X=10000×12”即“X=120”.于是所求概率為 (2) 因

25、為“公司利潤60000”當(dāng)且僅當(dāng)“0X60”于是所求概率為 14. 設(shè)隨機(jī)變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P|X-Y|6的估計(jì). （2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以15. 某保險(xiǎn)公司多年統(tǒng)計(jì)資料表明，在索賠戶中，被盜索賠戶占20%，以X表示在隨機(jī)抽查的100個(gè)索賠戶中，因被盜向保險(xiǎn)公司索賠的戶數(shù).（1） 寫出X的概率分布；（2） 利用中心極限定理，求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.（1988研考）【解】（1） X可看作100次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中，被盜戶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，而在每次試驗(yàn)中被盜戶出現(xiàn)的概率是0.2，因此，XB(

26、100,0.2)，故X的概率分布是(2) 被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率即為事件14X30的概率.由中心極限定理，得 16. 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50千克，標(biāo)準(zhǔn)差為5千克，若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說明每輛車最多可以裝多少箱，才能保障不超載的概率大于0.977.【解】設(shè)Xi（i=1,2,n）是裝運(yùn)i箱的重量（單位：千克），n為所求的箱數(shù)，由條件知，可把X1，X2，Xn視為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而n箱的總重量Tn=X1+X2+Xn是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量之和，由條件知： 依中心極限定理，當(dāng)n較大時(shí)，,故箱數(shù)n取決于條件 因此可從解出n<98.0199,即最多可裝98箱.習(xí)題六1.設(shè)總體XN（60，152），從總體X中抽取一個(gè)容量為100的樣本，求樣本均值與總體均值之差的絕對值大于3的概率.【解】=60,2=152,n=100即 2.從正態(tài)總體N（4.2，52）中抽取容量為n的樣本，若要求其樣本均值位于區(qū)間（2.2,6.2）內(nèi)的概率不小于0.95，則樣本容量n至少取多大？【解】 則(0