一元二次方程的認(rèn)識

1、【例題1】【基礎(chǔ)、提高】判斷下列方程是否一元二次方程：【例題 2】(1)x3 x20(2)0x22x 3 0【例題 3 (3)3x2 40(4)x22x 3y 4y2【例題 4 】(5) -2 0(6) jxl 4x 1 x 1【分析】(1)不是。因?yàn)樽罡叽螖?shù)是3【分析】(2)不是。因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)是 0【分析】(3)是的。符合一元二次方程的定義【分析】(4)不是。含有兩個未知數(shù)【分析】(5)不是。不是整式方程【分析】(6)不是。不是整式方程【分析】【精英】判斷下列關(guān)于x的方程何時為一元二次方程：【分析】(1)mx3x2 0(2)0x2 2mx 3 0【分析】(3)(m21)x2 40(4)x

2、2 2x (4 m 3n)y(m 5n)y2【分析】(1)當(dāng)m 0時。最高次數(shù)是2,是一元二次方程?！痉治觥?2)不是。因?yàn)槎雾?xiàng)的系數(shù)是 0【分析】(3)當(dāng)m2 1 0,即m 1時，符合一元二次方程的定義【分析】(4)這里出現(xiàn)了 x、y兩個未知數(shù)比較特殊，如果未知數(shù) y前的系數(shù)均為0,那么就符合一元二次方程的定義。4m 3n。，解得m 0,即當(dāng)m、n均為0時，其 m 5n 0n 0為一元二次方程?！纠}5】【基礎(chǔ)】方程x(x 1) 2x 1化成一元二次方程的一般式是【分析】x2 x 1 0【分析】【提高、精英】把方程(x狗(x畫(x 1)2 0化為一元二次方程的一般形式是_【分析】原方程化為

3、x2 5 x2 2x 1 0 ,整理得到2x2 2x 4 0 0【分析】注意：不能寫為x2 x 2 0,因?yàn)閮蓚€方程的系數(shù)是不一樣的?！纠}6】【基礎(chǔ)、提高】方程x2 2x 1 x(x 1)是一元二次方程嗎？【分析】一個方程是一元二次方程，必須滿足兩個條件：它是整式方程，方程中含有一個未知數(shù)且含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2。判斷一個只含一個未知數(shù)的整式方程是不是 一元二次方程時，通常應(yīng)先將這個方程整理成所含各項(xiàng)的次數(shù)不同的形式，再觀 察含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是否為2。由于本題所討論的這個方程經(jīng)整理后為3x 1 0,其中含未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是1 ,所以它不是一元二次方程，而是一元 一次方程?！痉治觥俊揪?/p>

4、英】已知方程2xab xab ab 0是關(guān)于x的一元二次方程，則對應(yīng)a、b的值有()【分析】A.2組B.3組C.4組D.5組ab 2a b2a b2ab1ab0、【分析】本題有5種情況：，這5個萬程組都ab 2a b1a b0ab2a b 2有解，且各不相同，所以選Do【例題7】指出方程(1 2x)(x 2) 3x2 1,(ax b)(bx a) 0(ab 0)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)?！痉治觥吭匠炭勺冃螢閤 22x24x3x21,整理，得5x2 3x 1 0,所以，二次項(xiàng)系數(shù)是5 , 一次項(xiàng)系數(shù)是3 ,常數(shù)項(xiàng)是1?！痉治觥吭匠炭勺冃螢閍bx2(a2b2)xab0 ,所以，二次項(xiàng)系

5、數(shù)是ab, 一次項(xiàng)系數(shù)是a2 b2,常數(shù)項(xiàng)是ab?！纠}8】【基礎(chǔ)】關(guān)于x的方程(a2 1)x2 (a 1)x 3 0當(dāng)a 時是一元二次方程，當(dāng)a時是一元一次方程?！痉治觥慨?dāng)a2 1 0即a 1時，原方程為一元二次方程?！痉治觥慨?dāng)a2 1 0而a 1 0時，即a 1時，原方程為一元一次方程。2【分析】【提圖】萬程(a 1)xa 1 2ax 3 0是關(guān)于x的一元二次方程，則a的值為【分析】由題意可得：a2 1 2,且a 1 0,解得a 1【分析】【精英】當(dāng)m 時，關(guān)于x的方程(m2 4)x2 (m2 2m)x 4 m 0是一元二次方程；當(dāng)m 時，這個方程是一元一次方程?！痉治觥坑梢辉畏匠痰亩?/p>

6、義，二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，即 m2 4 0,可得m 2。若原方程是一元一次方程，則二次項(xiàng)的系數(shù)等于零，且一次項(xiàng)系數(shù)不為零；即2 m2 m2m00【例題9 【基礎(chǔ)】已知關(guān)于x的一元二次方程(m 2)x2 3x m 4 0有一個根是0,求m的 值?！痉治觥堪褁 0代入方程(m 2)x2 3x m 4 0中，得到m 4 0,解得m 4 ,再將m 4代入原方程，得到2x2 3x 0 ,為一元二次方程，所以m 4 o【分析】【提高、精英】已知x 1是一元二次方程(a 2)x2 (a2 3)x a 1 0的一個根，則【分析】a 【分析】將x 1代入方程，得(a 2) (a2 3) a 1 0,解得a 2

7、,但應(yīng)有a 2 0 ,因此【例題10】根據(jù)題意，列出方程(不求解)【例題11】(1) 一個矩形花園，面積為100cm2,長比寬多4cm,求花園的長和寬【例題12】(2)有一個矩形，面積為54m2,若將它的一邊剪短5m,另一邊剪短2m ,恰好變 為一個正方形，求這個正方形的邊長。【例題13】(3) 一個直角三角形的斜邊長 7cm, 一條直角邊比另一條直角邊長 4cm,求兩條 直角邊的長度。【分析】(1)設(shè)長方形的寬為xcm ,其方程為x(x 4) 100【分析】(2)設(shè)正方形的邊長為xm ,其方程為(x 5)(x 2) 54【分析】(3)設(shè)直角三角形的較短的直角邊的長為 xcm,其方程為x2 (

8、x 4)2 72【例題14】若方程x2 2ax 1 0的一個根與它的倒數(shù)相等，則a的值為【分析】一個數(shù)與它的倒數(shù)相等的數(shù)是1,因此方程x2 2ax 1 0的根是1或1,分別代入得到【分析】 a 1。【例題15】【基礎(chǔ)】已知2是關(guān)于x的方程3x2 2a 0的一個解，求a2 2a 1的值。2【分析】 把x 2代入方程中得3 22 2a 0 ,解得a 3,將a 3代入a2 2a 1,得到 22a 2a 1 14【分析】【提高、精英】已知a是方程x2 2008x 1 0的一個根，求a2 2007a 等的值。a 1【分析】因?yàn)閍是所說方程的根，所以a2 2008a 1 0 ,故a2 2008a 1 ,由

9、此得到2,2200820081 a a 1【分析】 a 2007a (2008 a 1) 2007a a 1 - a2 1(2008 a 1) 1a a(2008a 1) a 1分析 2007a【分析】溫馨提示：求a 1 1也可用下面的方法：因a 0,將a2 2008a 1 0兩邊同除以a,a11易得到一a 2008，故 a1 a 1 ( a 2008) 2007。aa【例題16】若方程x2bx 1 0與方程x2x b 0至少有一個相同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù) b的值?！痉治觥考俣ㄟ@個相同的實(shí)數(shù)根為x x。，則將它代入兩個方程，得到兩個關(guān)于設(shè)、b的等式，視它們?yōu)殛P(guān)于x0、b的方程組，即可求出b的值?！?/p>

10、分析】 設(shè)x %是兩個方程相同的根，則有【分析】x02 bx0 1 0 , x02 x0 b 0。(*)【分析】兩式相減，得(b 1)x0 1 b 0 ,即(b 1)(x0 1) 0,所以b 1或1 o【分析】 當(dāng)b 1時，兩個方程都是x2 x 1 0。這個方程無實(shí)根，故b 1不合題意?！痉治觥慨?dāng)X0 1時，代入(* )式中任何一式，都可以解得b 2,所以b 2【例題17 (2006年浙江省競賽題)兀二次方程ax2 bx c 0 (a 0)中，若a、b都是偶數(shù),)B.沒有整數(shù)根D .沒有實(shí)數(shù)根c是奇數(shù)，則這個方程(【例題18】A.有整數(shù)根【例題19】C.沒有有理數(shù)根【分析】 Bo假設(shè)有整數(shù)根，

11、不妨設(shè)它的根是2k或2k 1 (k為整數(shù))，分別代入原方程得方 程兩邊的奇偶性不同的矛盾結(jié)果，所以排除 A；若a、b、c分別取4, 8, 3,則排除C,D 。故選B【例題20】【基礎(chǔ)、提高】方程(x 1)(x 3) 0的根是【分析】x 1 0或x 3 0,所以x 1或x 3?！痉治觥俊揪ⅰ?2007年數(shù)學(xué)周報(bào)杯競賽題)已知三個關(guān)于x的一元二次方程222ax2 bx c 0 , bx2 cx a 0 , cx2 ax b 0恰有一個公共實(shí)數(shù)根，則亙一 J的 bc ca ab值為【分析】設(shè)x0是它們的一個公共實(shí)數(shù)根，則ax。2bx。c 0 ,bx。2c%a 0,cx。2a%b 0。把三個式子相加

12、，并整理得(a b c)(x02x0 1) 0。因?yàn)?x02(x00,所以222a b c 0。于是里 bc ca ab333333a b c a b (a b)abcabc3ab(a b)。3abc【練習(xí)1】【基礎(chǔ)】下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是(B. (x a)(x a) (x b)(x 2b)_,2 _ 2 _ _D . (a1)x2x 3 0【練習(xí) 2】A. (a 1)x2 (a 3)x 3 0【練習(xí)3】C.Ux4 6x2 1 02【分析】D【分析】【提高、精英】下列方程x2 2 0 x(2x 1) (x 1)(2x 3)(x 1)(x 2) 0 x2 (石1)x 1 02x2 -

13、 1 0其中是一元二次方程的有x【分析】 【練習(xí)4】判斷下列方程是不是一元二次方程.如果不是，請說出為什么.【練習(xí) 5 (1) 2x2 3x 1 0 ；一4 1 ； 1 x2 0 ； 5x2 0 ；x 3【練習(xí)6】(5) x2 y 0 ( xft y都是未知數(shù))；(x 3)2 (x 3)2;【練習(xí)7 mx2 3x 2 0 ( m是系數(shù))；【練習(xí)8】(8) (a2 1)x2 (2a 1)x 5 a 0 ( x是未知數(shù)).【分析】是分式方程，是二元方程，整理后是一元一次方程，當(dāng)m 0時是一元二次方程，當(dāng)m 0時是一元一次方程，因?yàn)閍2 1 0永遠(yuǎn)成立，所以無論a為何值, 方程(a2 1)x2 (2

14、a 1)x 5 a 0都是一元二次方程.，是一元二次方程.【練習(xí)9】【基礎(chǔ)】關(guān)于x的方程(a2 1)x2 2x 1 0當(dāng)a,它是一元二次方程?！痉治觥?a 1【分析】【提高】m為何值時，方程x2 mx(2x m 1) 0是一元二次方程，當(dāng)m為何值時，此方程是一元一次方程?！痉治觥吭匠炭梢曰癁?1 2m)x2 (m2 m)x 0,當(dāng)1 2m 0時，方程為一元二次方程，即m 1;當(dāng)122m 0時，方程為一元一次方程，即m L2 m m 02【分析】【精英】方程(m 2)x|m 3mx 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，求二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)的積?！痉治觥縌 (m 2)x網(wǎng)3mx 1 0是關(guān)

15、于x的一元二次方程，【分析】 m應(yīng)滿足m 2 ，則m 2 m 2 0【分析】當(dāng)m 2時，原方程為4x2 6x 1 0,所以二次項(xiàng)系數(shù)為4, 一次項(xiàng)系數(shù)為6,常數(shù)項(xiàng)為1,因此它們的積威4 6 1 24?！揪毩?xí)10】【基礎(chǔ)、提高】若一元二次方程(m 2)x2 3(m2 15)x m2 4 0的常數(shù)項(xiàng)為零，則 m的值為.【分析】由題意得到：m 4 0,解得m 2 om 2 0【分析】【精英】若x2ab 3xab 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，求a、b的化【分析】分以下幾種情況考慮：【分析】2ab2,ab2,此時a4 ,b2;33【分析】2ab2,ab1 ,此時a1 ,b0 ;【分析】ab2 ,2ab

16、1 ,此時a1 ,b1 .【練習(xí)11】若關(guān)于x的一元二次方程(m 揚(yáng)x2 3x m2 2 0有一個根為0,求m的值?！痉治觥?把x 0代入方程得m2 20, m 夜，而m72時，m72 0不合題意，舍去。所以，mJ2。【練習(xí)12】已知關(guān)于x的方程ax2 bx c 0有一個根為1 ,另一個根為1 ,則 a b c , a b c , a c 【分析】把x 1代入得a b c 0,把x 1代入得a b c 0 ,兩式相加得2a 2c 0 ,即a c 0?！揪毩?xí)13 若a(a 0)是方程y2 by a 0的一個根，則a b的值為【分析】 把y a代入方程得，a2 ab a 0,因?yàn)閍 0,所以a b 1 0,即a b 1?！揪毩?xí)14 已知一兀二次方程ax2 bx c0的一個根是1 ,且ab滿足 b 4a 2 42 a 3,試求方程1 y2 c 0