因式分解經(jīng)典題及解析

1、2013組卷1 .在學(xué)習(xí)因式分解時(shí)，我們學(xué)習(xí)了提公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)，事實(shí)上，除了這兩種方法外，還有其它方法可以用來因式分解，比如配方法.例如，如果要因 式分解x2+2x-3時(shí)，顯然既無法用提公因式法，也無法用公式法，怎么辦呢？這時(shí)，我們 可以采用下面的辦法：x2+2x - 3=x2+2 XM + 12T - 3=(x+1 )2-22=解決下列問題：(1)填空：在上述材料中，運(yùn)用了 的思想方法，使得原題變?yōu)榭梢岳^續(xù)用平方差公式因式分解，這種方法就是配方法；(2)顯然所給材料中因式分解并未結(jié)束，請(qǐng)依照材料因式分解x2+2x-3;(3)請(qǐng)用上述方法因式分解 x2 - 4x

2、- 5.2 .請(qǐng)看下面的問題：把 x4+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲 ？熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和( x2) 2+ (22) 2的形 式，要使用公式就必須添一項(xiàng) 4x2,隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+4 - 4x2= (x2+2) 2-4x2= (x2+2) 2- (2x) 2= (x2+2x+2) (x2-2x+2)人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲？熱門給出這一解法，就把它叫做 熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲？熱門的做法， 將下列各式因式分解.(1) x4+4y4; (2) x2-2ax- b2- 2ab.3 .下

3、面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2 - 4x+2) (x2-4x+6) +4進(jìn)行因式分解的過程.解：設(shè) x2- 4x=y原式二(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2-4x+4) 2 (第四步)回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的 .A、提取公因式B.平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底 .(填 徹底”或不徹底”) 若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果 .(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式(x2- 2x) (x2- 2x+2) +1進(jìn)行因式分解.4 .找出能使

4、二次三項(xiàng)式 x2+ax- 6可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi))的整數(shù)值a,并且將其進(jìn)行因式分解.5 .利用因式分解說明：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù).6 .已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x2+x+m因式分解以后有一個(gè)因式為(3x-2),試求m的值并將 多項(xiàng)式因式分解.7,已知多項(xiàng)式(a2+ka+25) - b2,在給定k的值的條件下可以因式分解.請(qǐng)給定一個(gè) k值 并寫出因式分解的過程.8 .先閱讀，后解題：要說明代數(shù)式2x2+8x+10的值恒大于0還是恒等于0或者恒小于0,我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過程如下：解：2x2+8x+10=2 (x2+4x+5)(提公因式，得

5、到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次多項(xiàng)式)=2 (x2+4x+22- 22+5)=2 (x+2) 2+1(將二次多項(xiàng)式配方)=2 (x+2) 2+2(去掉中括號(hào))因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式 2 (x+2) 2的值一定是非負(fù)數(shù)，那么 2 (x+2) 2+2的值一定為正數(shù)，所以，原式的值恒大于0,并且，當(dāng)x=-2時(shí)，原式有最小值 2.請(qǐng)仿照上例，說明代數(shù)式- 2x2-8x-10的值恒大于0還是恒小于0,并且說明它的最大值 或者最小值是什么.9 .老師給學(xué)生一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述：甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為 1;丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式；?。哼@個(gè)

6、多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法；若已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式.10 .在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2 (x- 1)(x-9),而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2 (x-2) (x-4),請(qǐng)你判斷正確的二次三項(xiàng)式并進(jìn)行正確的因式分解.11 .觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式(x2+6x+10) (x2+6x+8) +1分解因式的過程：解：設(shè)x2+6x=y,則原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2(1)回答問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？若不徹底，請(qǐng)你直接寫出因式分解的

7、最后結(jié)果：.(2)仿照上題解法，分解因式：(x2+4x+1) (x2+4x-3) +4.12 . (1)寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式(要求：多項(xiàng)式含有字母 m和n,系數(shù)、次數(shù)不限，并能先用提取公因式法再用公式法分解).(2)閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2= (1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x)2 / 91 / 93=(1+X ) 上述分解因式的方法是 ,由到 這一步的根據(jù)是 ； 若分解 1+X+X(X+1) +X(X+1 ) + , - +X(X+1) 2006,結(jié)果是 ； 分解因式：1+x+x (x+1) +

8、x (x+1) 2+ +x (x+1) n (n 為正整數(shù)).13.閱讀下面的材料并完成填空：因?yàn)?x+a) (x+b) =X2+ (a+b) x+ab,所以，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式 x2+px+q的因式解，就是把常數(shù)項(xiàng)q分解成兩個(gè)數(shù)的積且使這兩數(shù)的和等于p,即如果有a, b兩數(shù)滿足 a . b=a+b=p,貝U有 x2+px+q= (x+a) (x+b).如分解因式X2+5X+6 .解：因?yàn)?2M=6, 2+3=5,所以 x2+5x+6= (x+2) (x+3).再如分解因式X2- 5x - 6.解：因?yàn)?M=6, - 6+1= - 5,所以 X2 - 5x - 6=(X-6) (x

9、+1).同學(xué)們，閱讀完上述文字后，你能完成下面的題目嗎？試試看.因式分解：(1)X2+7X+12； (2)x27X+12; (3)x2+4x12;(4)X2-X-12.答案(1) 看下面的問題：把 X4+4分解因式分析：這個(gè)二項(xiàng)式既無公因式可提，也不能直接利用公式，怎么辦呢19世紀(jì)的法國(guó)數(shù)學(xué)家蘇菲 ？熱門抓住了該式只有兩項(xiàng)，而且屬于平方和( X2) 2+ (22) 2的形 式，要使用公式就必須添一項(xiàng) 4x2,隨即將此項(xiàng)4x2減去，即可得x4+4=x4+4x2+4 - 4x2=(X2+2) 2-4x2=(X2+2) 2 (2x) 2=(X2+2X+2) (x2 2x+2)人們?yōu)榱思o(jì)念蘇菲？熱門給

10、出這一解法，就把它叫做 熱門定理”，請(qǐng)你依照蘇菲？熱門的做法， 將下列各式因式分解.(2) x4+4y4; (2) X2 2ax b2 2ab.考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.專題：閱讀型.分析：這是要運(yùn)用添項(xiàng)法因式分解，首先要看明白例題才可以嘗試做以下題目.解答：解：(1) x4+4y4=x4+4x2y2+4y2 - 4x2y2,=(x2+2y2) 2 - 4x2y2,=(x2+2y2+2xy ) (x2+2y2 2xy);(3) x2- 2ax - b2- 2ab,=x 2-2ax+a2 - a2 - b2 - 2ab,=(x - a) 2- ( a+b) 2,=(x a+a+b) (x aa

11、 b),=(x+b) (x- 2a - b).點(diǎn)評(píng)：本題考查了添項(xiàng)法因式分解，難度比較大.2.下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式(x2-4x+2) (x2-4x+6) +4進(jìn)行因式分解的過程.解：設(shè) x2- 4x=y原式二(y+2) (y+6) +4 (第一步)=y2+8y+16 (第二步)=(y+4) 2 (第三步)=(x2-4x+4) 2 (第四步)回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的C .A、提取公因式B.平方差公式C、兩數(shù)和的完全平方公式D.兩數(shù)差的完全平方公式(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底不徹底 .(填 徹底”或 不徹底”)若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果(x-2)

12、4 .(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式( x2- 2x) (x2- 2x+2) +1進(jìn)行因式分解.考點(diǎn)：提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用.專題：閱讀型.分析：(1)完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個(gè)數(shù)積的兩倍的和或差;(4) x2 - 4x+4還可以分解，所以是不徹底.(3)按照例題的分解方法進(jìn)行分解即可.解答：解：(1)運(yùn)用了 C,兩數(shù)和的完全平方公式；(5) x2 - 4x+4還可以分解，分解不徹底；(3)設(shè) x2 - 2x=y .(x2 - 2x) ( x2 - 2x+2) +1 ,=y (y+2) +1,=y2+2y+1 ,=(y+1) 2，=(x2 - 2x+1 ) 2,=(x - 1

13、) ,按照提供的方法和樣式解答點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用公式法分解因式和學(xué)生的模仿理解能力, 即可，難度中等.3 .找出能使二次三項(xiàng)式 x2+ax- 6可以因式分解(在整數(shù)范圍內(nèi))的整數(shù)值a,并且將其進(jìn)行因式分解.考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等.分析：根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)可知：a是-6的兩個(gè)因數(shù)的和，則-6可分成3X(-2), - 3浸，6X(- 1), - 6M,共4種，所以將x2+ax-6分解因式后有4種情 況.解答：解：x2+x - 6= (x+3) (x 2);x2-x-6= (x-3) (x+2);x2+5x - 6= (x+6) (x T);x2 - 5x - 6= (x 6)

14、(x+1 ).點(diǎn)評(píng)：本題考查十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程，常數(shù)-6的不同分解是本題的難點(diǎn).4 .利用因式分解說明：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差一定是4的倍數(shù).考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用.分析：根據(jù)題意設(shè)出兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為2n、2n+2,利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可證出結(jié)論.解答：解：設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)為 2n, 2n+2,則有2 2n+2) 2 - ( 2n) 2,=(2n+2+2n) (2n+2-2n),=(4n+2) 2=4 (2n+1),因?yàn)閚為整數(shù)，所以4 (2n+1)中的2n+1是正奇數(shù)，所以4 (2n+1)是4的倍數(shù)，故兩個(gè)連續(xù)正

15、偶數(shù)的平方差一定能被4整除.點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)出兩個(gè)連續(xù)正偶數(shù)，再用平方差公式對(duì)列出的式子進(jìn)行整理，此題較簡(jiǎn)單.5.已知關(guān)于x的多項(xiàng)式3x2+x+m因式分解以后有一個(gè)因式為(3x-2),試求m的值并將多項(xiàng)式因式分解.考點(diǎn)：因式分解的意義.分析:由于x的多項(xiàng)式3x2+x+m分解因式后有一個(gè)因式是3x- 2,所以當(dāng)x_2時(shí)多項(xiàng)式的值為0,由此得到關(guān)于 m的方程，解方程即可求出 m的值，再把m的值代入3x2+x+m進(jìn)行因式分解，即可求出答案.解答：解：二伙的多項(xiàng)式3x2+x+m分解因式后有一個(gè)因式是3x- 2,2當(dāng)x二用時(shí)多項(xiàng)式的值為0,即 3XIV=0，2+m=0

16、, m= - 2;3x2+x+m=3x 2+x - 2= (x+1 ) (3x - 2);故答案為：m=-2, (x+1) (3x-2).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查因式分解的意義，有公因式時(shí)，要先考慮提取公因式；注意運(yùn)用整體代 入法求解.6,已知多項(xiàng)式(a2+ka+25) - b2,在給定k的值的條件下可以因式分解.請(qǐng)給定一個(gè) k值 并寫出因式分解的過程.考點(diǎn)：因式分解-運(yùn)用公式法.5/93/9專題 ： 開 放型分析：根 據(jù)完全平方公式以及平方差公式進(jìn)行分解因式即可解答：解 ： k= 10，假設(shè) k=10 ，則有(a2+i0a+25) - b2= (a+5) 2b2= (a+5+b) (a+5b).點(diǎn)

17、評(píng)： 此 題主要考查了運(yùn)用公式法分解因式， 正確掌握完全平方公式和平方差公式是解題關(guān)鍵7先閱讀，后解題：要說明代數(shù)式2x2+8x+10 的值恒大于 0 還是恒等于0 或者恒小于0，我們可以將它配方成一個(gè)平方式加上一個(gè)常數(shù)的形式，再去考慮，具體過程如下：解： 2x2+8x+10=2( x2+4x+5 ) (提公因式，得到一個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次多項(xiàng)式)=2 (x2+4x+22- 22+5)=2 (x+2) 2+1 (將二次多項(xiàng)式配方)=2( x+2 ) 2+2(去掉中括號(hào))因?yàn)楫?dāng) x 取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2(x+2) 2 的值一定是非負(fù)數(shù)，那么 2(x+2) 2+2 的值一定為正數(shù)，所以，原式

18、的值恒大于0,并且，當(dāng)x=-2時(shí)，原式有最小值 2.請(qǐng)仿照上例，說明代數(shù)式-2x2-8x-10的值恒大于0還是恒小于0,并且說明它的最大值或者最小值是什 么考點(diǎn) ： 配 方法的應(yīng)用；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方分析： 按 照題目提供的方法將二次三項(xiàng)式配方后即可得到答案解答：解：一2x2- 8x- 10=-2 (x2+4x+5)=-2 (x2+4x+2 2- 22+5)=-2 (x+2) 2+1=-2 (x+2) 2- 2因?yàn)楫?dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，代數(shù)式2 (x+2) 2的值一定是非負(fù)數(shù)，那么- 2 (x+2) 2-2的值一定為負(fù)數(shù)，所以，原式的值恒小于0,并且，當(dāng)x=-2時(shí)，原式有最大值-2.點(diǎn)評(píng)： 此

19、題考查了配方法與完全平方式的非負(fù)性的應(yīng)用 注意解此題的關(guān)鍵是將原代數(shù)式準(zhǔn)確配方8老師給學(xué)生一個(gè)多項(xiàng)式，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)分別給了一個(gè)關(guān)于此多項(xiàng)式的描述：甲：這是一個(gè)三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為 1；丙：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式；?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到公式法；若已知這四位同學(xué)的描述都正確，請(qǐng)你構(gòu)造一個(gè)同時(shí)滿足這個(gè)描述的一個(gè)多項(xiàng)式考點(diǎn)： 提 公因式法與公式法的綜合運(yùn)用專題： 開 放型分析：能 用完全平方公式分解的式子的特點(diǎn)是：三項(xiàng)；兩項(xiàng)平方項(xiàng)的符號(hào)需相同；有一項(xiàng)是兩底數(shù)積的 2 倍解答：解 ：由題意知，可以理解為：甲：這是一個(gè)關(guān)于 x三次三項(xiàng)式；乙：三次項(xiàng)系數(shù)為 1,即三次項(xiàng)為x3;丙

20、：這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式X；?。哼@個(gè)多項(xiàng)式分解因式時(shí)要用到完全平方公式法.故多項(xiàng)式可以為 x (x-1) 2=x (x2-2x+1) =x3-2x2+x.點(diǎn)評(píng)：本題考查了提公因式法和公式法分解因式，是開放性題，根據(jù)描述按照要求列出這個(gè) 多項(xiàng)式.答案不唯一.9.在對(duì)某二次三項(xiàng)式進(jìn)行因式分解時(shí)，甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)而將其分解為2 (x- 1)(x-9),而乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，而將其分解為2 (x-2) (x-4),請(qǐng)你判斷正確的二次三項(xiàng)式并進(jìn)行正確的因式分解.考點(diǎn)：因式分解的應(yīng)用.分析：此題可以先將兩個(gè)分解過的式子還原，再根據(jù)兩個(gè)同學(xué)的錯(cuò)誤得出正確的二次三項(xiàng) 式，最后進(jìn)行因式分解即可.解答：

21、解：2 (x1) (x 9) =2x2- 20x+18 , 2 (x2) (x4) =2x2 12x+16;由于甲同學(xué)因看錯(cuò)了一次項(xiàng)系數(shù)，乙同學(xué)看錯(cuò)了常數(shù)項(xiàng)，則正確的二次三項(xiàng)式為：2x2- 12x+18;再對(duì)其進(jìn)行因式分解：2x2- 12x+18=2 (x-3) 2.點(diǎn)評(píng)：本題考查了因式分解的應(yīng)用，題目較為新穎，同學(xué)們要細(xì)心對(duì)待.10.觀察李強(qiáng)同學(xué)把多項(xiàng)式(x2+6x+10) (x2+6x+8) +1分解因式的過程：解：設(shè)x2+6x=y ,則原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2(1)回答問題：這位同學(xué)的因式分解是否徹底？若不徹底，請(qǐng)你

22、直接寫出因式分解的最后結(jié)果：(x+3) 4(2)仿照上題解法，分解因式：(x2+4x+1) (x2+4x3) +4.考點(diǎn)：因式分解-十字相乘法等.專題：換元法.分析：(1)根據(jù)x2+6x+9= (x+3) 2,進(jìn)而分解因式得出答案即可;(2)仿照例題整理多項(xiàng)式進(jìn)而分解因式得出答案即可.解答：解：(1)這位同學(xué)的因式分解不徹底，原式=(y+10) (y+8) +1=y2+18y+81=(y+9) 2=(x2+6x+9) 2=(x+3) 4.故答案為：(x+3) 4;(2)設(shè) x2+4x=y ,貝U原式二(y+1) (y - 3)+4=y 2 2y+1=(yT) 2=(x +4x 1) .點(diǎn)評(píng)：此

23、題主要考查了因式分解法的應(yīng)用，正確分解因式以及注意分解因式要徹底是解題關(guān)鍵.11. (1)寫一個(gè)多項(xiàng)式，再把它分解因式(要求：多項(xiàng)式含有字母 m和n,系數(shù)、次數(shù)不限， 并能先用提取公因式法再用公式法分解).(2)閱讀下列分解因式的過程，再回答所提出的問題：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2= (1+x) 1+x+x (x+1)=(1+x) 2 (1+x) 3=(1+x) 上述分解因式的方法是提公因式法分解因式，由到 這一步的根據(jù)是同底數(shù)哥的乘法法則； 若分解 1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+ - +x (x+1 ) 2006,結(jié)果是 ( 1+x) 2007 ； 分解因式：1+x+x (x+1) +x (x+1) 2+ - +x (x+1) n (n 為正整數(shù)).考點(diǎn)：因式分解-提公因式法.分析：(1)根據(jù)題目要求可以編出先提公因式后用平方差的式子，答案不唯一；(2)首先通過分解因式，可發(fā)現(xiàn) 中的式子與結(jié)果之間的關(guān)系，根據(jù)所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論可直接得到答案.解答：解：(1) m3- mn2=m (m2n2) =m (m n) (m+n),(2)提公因式法，同底數(shù)