平面向量(命題人越秀區(qū)教育發(fā)展中心

1、三、平面向量（命題人：越秀區(qū)教育發(fā)展中心 余建煒）一、平面向量的實(shí)際背景與基本概念 B AC O F D E圖11（人教版P85例2） 如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與、相等的向量。變式1：如圖1，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出 B AC O F D E 圖2圖中與、共線的向量。解：變式2：如圖2，設(shè)O是正六邊形的中心，分別寫出圖中與的模相等的向量以及方向相同的向量。解：二、平面向量的線性運(yùn)算2.（人教版第96頁(yè)例4） D CA B如圖，在平行四邊形ABCD中，a ，b ，你能用a，b表示向量 ，嗎？變式1：如圖，在五邊形ABCDE中， D E C A Ba ，b ，c ，d ，試

2、用a ，b ， c ， d表示向量和.解：( a + b + d ) D C OA B( d + a + b +c )變式2：如圖，在平行四邊形ABCD中，若，a ，b則下列各表述是正確的為（ ）A B Ca + b D(a + b)正確答案：選D變式3：已知=a，=b, =c,=d, 且四邊形ABCD為平行四邊形，則（ ）A. a+b+c+d=0 B. ab+cd=0C. a+bcd=0 D. abc+d=0正確答案：選A變式4：在四邊形ABCD中，若，則此四邊形是()A平行四邊形B菱形C梯形 D矩形正確答案：選C變式5：已知a、b是非零向量，則|a|=|b|是(a+b)與(ab)垂直的（

3、）A充分但不必要條件 B必要但不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件正確答案：選C變式6：在四邊形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共線，則四邊形ABCD為（ ）A.平行四邊形B.矩形C.梯形D.菱形【解析】 =8a2b=2，.四邊形ABCD為梯形.正確答案：選C變式7：已知菱形ABCD，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上（不包括端點(diǎn)A、C），則等于（ ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1)D.(),(0,)【解析】 由向量的運(yùn)算法則=+，而點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，所以與同向，且|,=(+),(0,1).正確答案：選 A變式8：已知D、E、F分別是ABC的邊

4、BC、CA、AB的中點(diǎn)，且=，=，=,則下列各式： = = + = + +=其中正確的等式的個(gè)數(shù)為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4正確答案：選B3（人教版第98頁(yè)例6） ba如圖，已知任意兩個(gè)非零向量a 、b ，試作a + b，a + 2b，a + 3b，你能判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系嗎？為什么？變式1：已知a + 2b，2a + 4b，3a + 6b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零向量) ，證明：A、B、C三點(diǎn)共線證明：a + 2b，2a + 4b， 所以，A、B、C三點(diǎn)共線變式2：已知點(diǎn)A、B、C在同一直線上，并且a + b，a + 2b，a + 3b (其中a 、b是兩個(gè)任意非零

5、向量) ，試求m、n之間的關(guān)系解：a + b ，a + 2b由A、B、C三點(diǎn)在同一直線上可設(shè)，則 所以 即 為所求4（人教版第102頁(yè)第13題） D C E FA B已知四邊形ABCD，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：變式1：已知任意四邊形ABCD的邊AD和BC的中點(diǎn)分別為E、F，求證：.證明：如圖，連接EB和EC ， 由和可得， （1） 由和可得， （2）（1）+（2）得， （3）E、F分別為AD和BC的中點(diǎn)，代入（3）式得，三、平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.（人教版第109頁(yè)例6）已知a = (4，2)，b = (6，y)，且a / b ，求 y 變式1：與向量

6、a = (12，5) 平行的單位向量為（ ）A BC 或 D 或正確答案：選C變式2：已知a，b，當(dāng)a+2b與2ab共線時(shí)，值為 （ ）A1 B2 C D正確答案：選D變式3：已知A(0,3) 、B(2,0) 、C(1,3) 與方向相反的單位向量是( )A(0,1) B(0,1) C (1,1) D(1,1) 正確答案：選A 變式4：已知a = (1，0)，b = (2，1) 試問：當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)， kab與a+3b平行, 平行時(shí)它們是同向還是反向？ 解：因?yàn)?kab ，a+3b由已知得， 解得 ，此時(shí)，kab ，a+3b，二者方向相反2.（人教版第110頁(yè)例8）設(shè)點(diǎn)P是線段上的一點(diǎn)，、的坐標(biāo)

7、分別為，(1) 當(dāng)點(diǎn)P是線段上的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 當(dāng)點(diǎn)P是線段的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求P的坐標(biāo)變式1：已知兩點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)是 （ ）A B C D正確答案：選BOAPQBab變式2：如圖，設(shè)點(diǎn)P、Q是線段AB的三等分點(diǎn)，若a，b，則 ， (用a、b表示)四、平面向量的數(shù)量積5（人教版第116頁(yè)例3）已知|a|6，|b| 4且a與b的夾角為，求 (a + 2b)·(ab) 變式1：已知那么與夾角為A、 B、 C、 D、正確答案：選C變式2：已知向量a和b的夾角為60°，| a | 3，| b | 4，則（2a b）·a等于 （A）15 （B）12 （C）6

8、（D）3正確答案：選B變式3：在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，則·等于（ ）A.2B.2C.±2D.±4正確答案：選C變式4：設(shè)向量與向量的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解：，故，解之 另有，解之，2.（人教版第116頁(yè)例4）已知|a|3，|b| 4且a與b不共線，k為何實(shí)數(shù)時(shí)，向量a + kb 與ab互相垂直？變式1：已知ab ，|a|2，|b| 3，且向量3a + 2b與kab互相垂直，則k的值為（ ）A B C D1正確答案：選B變式2：已知|a|1，|b| 且（ab）a，則a與b夾角的大小為 45º 解：2.（人教版第119頁(yè) 第

9、11題）已知a = (4，2)，求與向量a 垂直的單位向量的坐標(biāo)變式1：若i = (1,0), j =(0,1)，則與2i+3j垂直的向量是 ( )A3i+2j B2i+3j C3i+2j D2i3j正確答案：選C變式2：已知向量，若與垂直，則實(shí)數(shù)=（ ）A1B1C0D2 正確答案：選B變式3：若非零向量互相垂直，則下列各式中一定成立的是（ ）ABCD正確答案：選B變式4：已知向量a（3，4），b（2，x）， c（2，y）且ab，ac求|bc|的值解： ab， 3x80 x b（2， ） ac， 64y0 y c（2， ）而bc （2，）（2，）（0，）， |bc| （人教版第118頁(yè)例5）已

10、知A (1，2)，B (2，3)，C (，5)，試判斷的形狀，并給出證明變式1：是所在的平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則 一定為（ ）A正三角形 B等腰直角三角形 C直角三角形 D斜三角形正確答案：選C變式2：已知A、B、C三點(diǎn)不共線，O是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，若0，則O是ABC的（ ）A 重心 B 垂心 C 內(nèi)心D 外心正確答案：選A變式3：已知，則ABC一定是（ ）A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形正確答案：選B變式4：四邊形中， （1）若，試求與滿足的關(guān)系式；（2）滿足（1）的同時(shí)又有，求的值及四邊形的面積。 解： （1） 則有 化簡(jiǎn)得： （2） 又 則 化簡(jiǎn)有： 聯(lián)立解得 或 則四邊形為對(duì)角線互相垂直的梯形當(dāng) 此時(shí)當(dāng) 此時(shí) 五、平面向量應(yīng)用舉例（人教版第121頁(yè) 例1）題目意圖：用平面向量的方法證明平面幾何命題：平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于其兩條鄰邊的平方和的兩倍變式1：如圖，矩形ABCD內(nèi)接于半徑為r的圓O，點(diǎn)P是圓周上任意一點(diǎn)，求證：PA2+PB2+PC2+PD2=8r2. 證明： ， ， ， ， 以上各式相加可證變式2：已知ABC中，若，求證：ABC為正三角形. 證明：， ， 又， ，故 ， 知a=b， 同理可知b=c ， 故a=b=c ， 得證變式3