必修二高中數(shù)學(xué)立體幾何專題——空間幾何角和距離的計算

1、立體幾何專題：空間角和距離的計算一 線線角1直三棱柱A1B1C1-ABC，BCA=900，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1和A1C1的中點，若BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成角的余弦值。2在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BAD=900，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA面ABCD，PD與底面成300角，（1）若AEPD，E為垂足，求證：BEPD；（2）若AEPD，求異面直線AE與CD所成角的大?。欢€面角1正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1、CD的中點，且正方體的棱長為2，（1）求直線D1F和AB和所成的角；（2）求D1F與平面AED所成的角。2

2、在三棱柱A1B1C1-ABC中，四邊形AA1B1B是菱形，四邊形BCC1B1是矩形，C1B1AB，AB=4，C1B1=3，ABB1=600，求AC1與平面BCC1B1所成角的大小。三二面角1已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中點，（1）證明AB1平面DBC1；（2）設(shè)AB1BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角的大小。2ABCD是直角梯形，ABC=900，SA面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD與面SBA所成的二面角的大?。唬?）求SC與面ABCD所成的角。3已知A1B1C1-ABC是三棱柱，底面是正三角形，A1AC=600，A1AB=45

3、0，求二面角BAA1C的大小。四 空間距離計算（點到點、異面直線間距離）1.在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是BC的中點，DP交AC于M，B1P交BC1于N，（1）求證：MN上異面直線AC和BC1的公垂線；（2）求異面直線AC和BC1間的距離；（點到線，點到面的距離）2點P為矩形 ABCD所在平面外一點，PA面ABCD，Q為線段AP的中點，AB=3，CB=4，PA=2，求（1）點Q到直線BD的距離；（2）點P到平面BDQ的距離；3邊長為a的菱形ABCD中，ABC=600，PC平面ABCD，E是PA的中點，求E到平面PBC的距離。（線到面、面到面的距離）4. 已知斜三棱柱A1B

4、1C1-ABC的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，ABC=900，BC=2，AC=2，且AA1A1C，AA1=A1C，（1）求側(cè)棱AA1與底面ABC所成角的大??；（2）求側(cè)面A1ABB1與底面ABC所成二面角的大??；（3）求側(cè)棱B1B和側(cè)面A1ACC1距離；5正方形ABCD和正方形ABEF的邊長都是1，且平面ABCD、ABFE互相垂直，點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=NB=a（），（1）求MN的長；（2）當(dāng)a為何值時，MN的長最??；立體幾何中的向量問題空間角與距離基礎(chǔ)自測1.已知兩平面的法向量分別為m=（0，1，0），n=（0，1，1），則兩平面所成的二面角為 .答案 45

5、6;或135°2.二面角的棱上有A、B兩點，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2，則該二面角的大小為 .答案 60°3.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分別是CC1、AD的中點，那么異面直線OE和FD1所成角的余弦值等于 .答案 4.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體ABCOABCD，AC的中點E與AB的中點F的距離為 .答案 5.（2008·福建理，6）如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，

6、則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為 .答案 例1 （2008·海南理，18）如圖所示，已知點P在正方體ABCDABCD的對角線BD上,PDA=60°.(1)求DP與CC所成角的大小;(2)求DP與平面AADD所成角的大小.解 如圖所示，以D為原點，DA為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.則=（1，0，0），=(0,0,1).連接BD,BD.在平面BBDD中,延長DP交BD于H.設(shè)=(m,m,1) (m0),由已知,=60°,由·=|cos, ,可得2m=.解得m=,所以=（,1）.(1)因為cos,=,所以,=45°,即DP與CC所成

7、的角為45°.(2)平面AADD的一個法向量是=(0,1,0).因為cos,=,所以,=60°,可得DP與平面AADD所成的角為30°.例2 在三棱錐SABC中，ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC平面ABC，SA=SC=2，M、N分別為AB、SB的中點，如圖所示. 求點B到平面CMN的距離.解 取AC的中點O，連接OS、OB.SA=SC，AB=BC，ACSO，ACBO.平面SAC平面ABC，平面SAC平面ABC=AC，SO平面ABC，SOBO.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則B（0，2，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），M（1，0），N（0，

8、）.=（3，0），=（-1，0，），=（-1，0）.設(shè)n=(x,y,z)為平面CMN的一個法向量，則，取z=1，則x=,y=-,n=（，-，1）.點B到平面CMN的距離d=.例3 （16分）如圖所示，四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，AD=，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動.（1）點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求證：無論點E在BC邊的何處，都有PEAF；（3）當(dāng)BE為何值時，PA與平面PDE所成角的大小為45°.（1）解 當(dāng)點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行.在PBC中，E、F分別為BC、PB

9、的中點，EFPC.又EF平面PAC，而PC平面PAC，EF平面PAC.4分（2）證明 以A為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則P（0，0，1），B（0，1，0），F(xiàn)（0，），D（，0，0）.設(shè)BE=x，則E（x，1，0），·=（x，1，-1）·（0，）=0，PEAF.10分（3）解 設(shè)平面PDE的法向量為m=(p,q,1),由（2）知=（，0，-1），=（x，1，-1）由，得m=.12分而=（0，0，1），依題意PA與平面PDE所成角為45°,sin45°=，=,14分得BE=x=-或BE=x=+（舍去）.故BE=-時，PA與平面PDE所成角為45&

10、#176;.16分1.如圖所示，AF、DE分別是O、O1的直徑，AD與兩圓所在的平面均垂直，AD=8.BC是O的直徑，AB=AC=6，OEAD.（1）求二面角B-AD-F的大小；（2）求直線BD與EF所成的角的余弦值.解 （1）AD與兩圓所在的平面均垂直，ADAB，ADAF，故BAF是二面角BADF的平面角.依題意可知，ABFC是正方形，BAF=45°.即二面角BADF的大小為45°（2）以O(shè)為原點，CB、AF、OE所在直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示），則O（0，0，0），A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），E（0，0，8），F(xiàn)（0，3，0

11、），=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.cos,= =-.設(shè)異面直線BD與EF所成角為，則cos=|cos,|=.即直線BD與EF所成的角的余弦值為.2.已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長為2，側(cè)棱長為4，E、F分別為棱AB、BC的中點.（1）求證：平面B1EF平面BDD1B1；（2）求點D1到平面B1EF的距離.（1）證明 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，2，0），E（2，0），F(xiàn)（，2，0），D1（0，0，4），B1（2，2，4）.=（-，0），=（2，2，0），=（0，0，4），·=0，·=0.EFDB，EFDD1，DD

12、1BD=D，EF平面BDD1B1.又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.（2）解 由（1）知=（2，2，0），=（-，0），=（0，-，-4）.設(shè)平面B1EF的法向量為n,且n=(x,y,z)則n,n即n·=（x，y，z）·（-，0）=-x+y=0，n·=（x，y，z）·（0，-，-4）=-y-4z=0，令x=1,則y=1,z=-,n=(1,1,- )D1到平面B1EF的距離d=.3.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E為PD的中點.（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；（

13、2）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE平面PAC，并求出N點到AB和AP的距離.解 方法一 （1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0），B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E(0，1)，從而=（，1，0），=（，0，-2）.設(shè)與的夾角為，則cos=，AC與PB所成角的余弦值為.（2）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為（x,0,z）,則=（-x，1-z），由NE平面PAC可得，即,化簡得,即N點的坐標(biāo)為（，0，1），從而N點到AB、AP的距離分別為1，.方法二 （1）設(shè)ACBD=O，連接OE，AE，BD，則OEPB，EO

14、A即為AC與PB所成的角或其補角.在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，由余弦定理得cosEOA=,即AC與PB所成角的余弦值為.(2)在平面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F,則ADF=.連接PF,則在RtADF中,DF=,AF=AD·tanADF=.設(shè)N為PF的中點，連接NE，則NEDF.DFAC，DFPA，DF平面PAC，從而NE平面PAC.N點到AB的距離為AP=1，N點到AP的距離為AF=.一、填空題1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中點,則sin,的值等于 .答案 2.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，O是A1C1的中點，則點O到平面

15、ABC1D1的距離為 .答案 3.（2008·全國理，11）已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于 .答案 4.P是二面角AB棱上的一點，分別在、平面上引射線PM、PN，如果BPM=BPN=45°，MPN=60°，那么二面角AB的大小為 .答案 90°5.正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為BB1、CD的中點，則點F到平面A1D1E的距離為 .答案 6.如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，AB=BC=AA1，ABC=90&#

16、176;，點E、F分別是棱AB、BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是 .答案 60°7.如圖所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長都相等，D是A1C1的中點，則直線AD與平面B1DC所成角的正弦值為 .答案 8.正四棱錐SABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是 .答案 30°二、解答題9.如圖所示，在幾何體ABCDE中，ABC是等腰直角三角形，ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點.求AB與平面BDF所成角的正弦值.解 以點B為原點，B

17、A、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1）.=（0，2，1），=（1，-2，0）.設(shè)平面BDF的一個法向量為n=（2，a，b），n，n，即解得a=1，b=-2.n=（2，1，-2）.設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法向量n與的夾角為-，cos（-）=,即sin=,故AB與平面BDF所成角的正弦值為.10.在五棱錐PABCDE中，PA=AB=AE=2a，PB=PE=2a，BC=DE=a，EAB=ABC=DEA=90°.（1）求證：PA平面ABCDE

18、；（2）求二面角APDE的余弦值.（1）證明 以A點為坐標(biāo)原點，以AB、AE、AP所在直線分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則由已知得A（0，0，0），P（0，0，2a），B（2a，0，0），C（2a，a，0），D（a，2a，0），E（0，2a，0）.=（0，0，2a），=（2a，0，0），=（0，2a，0），·=0·2a+0·0+2a·0=0，.同理.又ABAE=A，PA平面ABCDE.（2）解 設(shè)平面PAD的法向量為m=(1,y,z),則m·=0，得a+2ay=0，y=-.又m·=0，得2az=0，z=0.m=（1，

19、-，0）.再設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,1,z),而=（a，0，0），=（a，2a，-2a），則n·=0，得ax=0，x=0.又n·=0，得ax+2a-2az=0，z=1.n=（0，1，1）.令二面角APDE的平面角為，則cos=-=，故二面角APDE的余弦值是.11.如圖所示，在三棱錐PABC中，ABBC，AB=BC=kPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC.（1）若k=1，試求異面直線PA與BD所成角余弦值的大??；（2）當(dāng)k取何值時，二面角OPCB的大小為？解 OP平面ABC，又OA=OC，AB=BC，從而OAOB，OBOP，OAOP，以O(shè)為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz.（1）設(shè)AB=a，則PA=a，PO=a，A（a，0，0），B（0，a，0），C（-a，0，0），P（0，0，a），則D（-a，0，a）.=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，cos,=-,則異面直線PA與BD所成角的余弦值的大小為.（2）設(shè)AB=a，OP=h，OB平面POC，=(0，a，0)為平面POC的一個法向量.不妨設(shè)平面PBC的一個法向量為n=（x