數(shù)學(xué)建模停車場(chǎng)設(shè)計(jì)問題

1、案例16 停車場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)隨著城市車輛的增加，停車位的需求量也越來越大，停車?yán)щy已逐漸成為市民們頭疼的問題。要解決停車難問題，除了盡可能的增加停車場(chǎng)以外，對(duì)停車場(chǎng)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)也能在一定程度上緩解這一供需矛盾。停車場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)就是在停車場(chǎng)大小確定的情況下，對(duì)停車區(qū)域進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以便容納更多的車輛。本文的目的就是希望分析一下這一情況，找出緩解停車?yán)щy的有效辦法。假設(shè)某公共場(chǎng)所附近有一塊空地，如果不考慮建設(shè)地下或多層結(jié)構(gòu)，我們?cè)撊绾斡行У脑O(shè)計(jì)停車位置呢？一般來說，想盡可能的把車塞進(jìn)停車場(chǎng)，最好的辦法就是以垂直?？康姆绞綄④囈惠v擠一輛地排成行，但是這樣停放的后果就是車輛不能自由出入，只有后進(jìn)入的車輛

2、全部先出去了，先進(jìn)入的車才可以離開停車場(chǎng)，顯然不符合實(shí)際的需求。因而，為了使汽車能夠自由地出入停車場(chǎng)，必須設(shè)立一定數(shù)量具有足夠?qū)挾鹊耐ǖ溃⑶颐總€(gè)通道都應(yīng)該有足夠大的“轉(zhuǎn)彎半徑”， 而通道越寬越多，就會(huì)使得容納的車輛數(shù)越少。所以我們的問題就是要確定在滿足車輛能夠自由進(jìn)出的實(shí)際需求下，如何進(jìn)行停車位置和車行通道的設(shè)計(jì)，才能夠停放更多的車輛，從而做到既方便停車又能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益。我們先來看看生活中非貨運(yùn)車輛大小的種類。根據(jù)實(shí)際調(diào)查和經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這類車輛一般可分為小轎車，中型客車和大型客車三類。其中小轎車約占九成，大型客車約占一成，而中型客車一般不多于1%。根據(jù)這樣的情況，我們可以免去對(duì)中型客車的

3、車位設(shè)計(jì)，即便有中型客車停車的需要，可以使用大型車的車位，這也符合現(xiàn)實(shí)生活中絕大多數(shù)停車場(chǎng)的車位設(shè)計(jì)情況。我們?cè)O(shè)小轎車所占的比例為,大型客車所占的比例為，當(dāng)然現(xiàn)實(shí)中也有不少全為小轎車設(shè)計(jì)的停車場(chǎng)，例如小區(qū)的地下車庫。再來看看車位的大小。根據(jù)實(shí)際的調(diào)查，城市內(nèi)比較普通的小轎車長(zhǎng)度一般不超過4.7米，寬度一般不超過1.7米，而一般大型客車長(zhǎng)度不超過12米，寬度不超過2.2米。另外，經(jīng)實(shí)際考察可知，停車場(chǎng)中標(biāo)志線的寬度大約為0.1米，所以我們可以假設(shè)停車場(chǎng)中停放轎車需要的車位長(zhǎng)米，寬米，這其中包括了0.1米的標(biāo)志線寬度和至少0.3米的汽車間的橫向間距。設(shè)停放大客車需要長(zhǎng)米，寬米，其中包括0.1米的標(biāo)

4、志線寬度和必要的汽車之間的橫向間距。考慮到汽車從通車道駛?cè)胲囄灰话愕棉D(zhuǎn)彎，所以車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑也是停車場(chǎng)設(shè)計(jì)所要考慮的重要參數(shù)。所謂最小轉(zhuǎn)彎半徑，就是汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到汽車外側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離。根據(jù)實(shí)際調(diào)查，可設(shè)小轎車的最小轉(zhuǎn)彎半徑為米，與此同時(shí)，汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到汽車內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離為米，如圖1所示。 圖1對(duì)于大客車，我們?cè)O(shè)其最小轉(zhuǎn)彎半徑為米，與此同時(shí)，大型車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向中心到內(nèi)側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軌跡間的最小距離為米。本文的目的就是討論應(yīng)當(dāng)整體設(shè)計(jì)車位的排布。對(duì)于給定的停車場(chǎng)，我們的目標(biāo)就是盡可能多地增加車位數(shù)，或者說，使每輛車占據(jù)的停車場(chǎng)面積盡可能小。一 僅有一種車型的局部

5、車位位置大型客車和小轎車在停車時(shí)占地面積相差很大，一般都是分區(qū)停泊的?，F(xiàn)在，讓我們先來看看只限于停放小轎車的簡(jiǎn)單情況，并且先不考慮停車場(chǎng)的實(shí)際大小，只是來研究一下應(yīng)當(dāng)如何給出局部設(shè)計(jì)，才能使每輛車占據(jù)的停車場(chǎng)地面積最小。對(duì)于每一個(gè)車位，為了便于該車位上的小轎車自由進(jìn)出，必須有一條邊是靠通道的，設(shè)該矩形停車位的長(zhǎng)邊與通道的夾角為，其中便是車輛垂直從通道駛?cè)胲囄?，就是車輛從通道平行駛?cè)胲囄?，即平時(shí)所說的平行泊車。為了留出通道空間和減少停車面積，顯然，我們可以假設(shè)該通道中的所有車位都保持著和該車位相同的角度平行排列，如圖2所示。西東圖2上圖中，小轎車是自東向西行駛順時(shí)針轉(zhuǎn)彎角度駛?cè)胲囄坏摹Ｎ覀儊砭唧w

6、研究一下小轎車駛?cè)胲囄坏那闆r，見圖3，其中為最小轉(zhuǎn)彎半徑，為通道的最小寬度。我們假定小轎車的最外端在半徑為的圓周上行駛，且此時(shí)轎車的最內(nèi)端在半徑為的圓周上隨之移動(dòng)，然后以角度進(jìn)入停車位，所以通道的最小寬度。在保證車輛能夠自由進(jìn)出的前提下，本著要求通道寬度盡量小的原則，我們來看一下一排車位之間的各個(gè)數(shù)據(jù)，見圖4。 圖3LRW圖4每輛車均以角度停放，用表示小轎車停車位寬度，表示小轎車停車位長(zhǎng)度（這里的最上方并沒有取到最上端是考慮到車身以外的小三角形區(qū)域可以留給對(duì)面停車位使用），表示停車位末端的距離，易見他們分別是停車角的函數(shù)，且有現(xiàn)在按照?qǐng)D4所示，計(jì)算一下每輛車占據(jù)的停車場(chǎng)面積.考慮最佳排列的極限

7、情況，假設(shè)該排車位是無限長(zhǎng)的，可以忽略該排車位兩端停車位浪費(fèi)掉的面積，因?yàn)樗鼈儽黄骄矫總€(gè)車位上去的公攤面積很小，可以不計(jì)。從車輛所占的停車位來看，它占據(jù)的面積為，另外，它所占的通道的面積為?？紤]到通道對(duì)面（也就是圖4的下部）也可以有類似的一排車位可以相互借用此通道，所以可以對(duì)占用的通道面積減半，于是我們得到： （1）我們的目標(biāo)就是求出的最小值。將米，米，米，米代人（1）式，可得，所以當(dāng)，即時(shí)，達(dá)到最小，且平方米。需要說明的是，當(dāng)時(shí)車位與車道平行，此時(shí)每輛車都得采用平行泊車的方式進(jìn)入車位，這是現(xiàn)實(shí)生活中馬路邊的停車位常見的情況，在一般的停車場(chǎng)中幾乎很少看到。平行泊車對(duì)駕駛員的技術(shù)要求較高，所以

8、我們不考慮這樣的情況。事實(shí)上，即便要計(jì)算在這種情況下每單位車輛所占據(jù)的停車場(chǎng)面積也不困難，只不過對(duì)于平行泊車，所要求的每個(gè)車位的長(zhǎng)和寬不應(yīng)再是上面所說的和，特別是停車位的長(zhǎng)度將變得更長(zhǎng)（否則，停泊的車輛將無法進(jìn)出），其所要求的行車道的最小寬度也得足夠大，以便能讓泊車車輛通過，車位圖形需按小轎車路線重新繪制，讀者可以自行計(jì)算并得到這些數(shù)據(jù)，計(jì)算結(jié)果表明，平行泊車是每輛車所占的平均面積明顯地大于19.18平方米。上述對(duì)車位的局部分析表明，當(dāng)停車位與通道夾角時(shí)，可以使每單位車輛占據(jù)停車場(chǎng)的面積達(dá)到最小。二 僅有一種車型的全局車位排列上面的局部分析告訴我們，如果保持一排車位方向一致，且與單向通道的夾角

9、為，可使單位車輛占據(jù)的面積最小，此時(shí)寬度為的單向通道分別提供給其兩邊的停車位使用。在通道兩邊都各安排一排小轎車車位時(shí)，考慮到路線的單行性質(zhì)，通道兩邊的停車位角度應(yīng)該相對(duì)，如圖5所示。圖5對(duì)每一排停車位，其一邊為通道，另一邊則可以是另一排停車位或者是停車場(chǎng)的邊緣。所以停車排數(shù)最多只能是通道數(shù)的兩倍，即： （2）另一方面，如果按照一排停車位，一條通道，一排停車位這樣三排一組的形式加以組合，依次排列，確實(shí)也可以達(dá)到。即（2）式中的等號(hào)是可以成立的。此時(shí)，車位數(shù)可以達(dá)到停車位位置的最大值，排列情況同樣可以見圖5.圖5顯示，在每排車位數(shù)相當(dāng)大或者說，在不考慮整個(gè)停車場(chǎng)四角浪費(fèi)的那些面積時(shí)，我們可以使每單

10、位車輛占用的停車場(chǎng)面積最小，并且對(duì)于小轎車來說，此最小值在車位角度時(shí)達(dá)到。我們?cè)賮碛?jì)算一下停泊車輛均為大型客車時(shí)的最佳角度，將模型（1）修改為： （3）并且將相應(yīng)數(shù)據(jù)代人（3）得到：， 取使，即，求得當(dāng)，此時(shí)每單位大型客車占據(jù)的停車場(chǎng)面積最小，每輛車占據(jù)的面積為（平方米）。綜上所述，對(duì)于只有一種車型的足夠大的停車場(chǎng)，按照現(xiàn)有的車輛尺寸大小計(jì)算，我們將采用圖5的排列方式設(shè)計(jì)停車位。對(duì)于小轎車，設(shè)計(jì)車位角度為，單位車輛占據(jù)的停車場(chǎng)面積為19.18平方米。對(duì)于大型客車，設(shè)計(jì)的車位角度為，單位車輛占據(jù)的停車場(chǎng)面積為50.66平方米。三 兩種車型的停車場(chǎng)設(shè)計(jì)的理想情況對(duì)于兩種車型，即小轎車和大型客車同時(shí)

11、存在的情況，如果對(duì)于足夠大的停車場(chǎng)地，我們可以根據(jù)的比例要求，計(jì)算出所需的小轎車車位排數(shù)和大型客車車位排數(shù)，以及每排的停車數(shù)目。根據(jù)第二部分的討論，我們可以按一排停車位，一行通車道，一排停車位這樣三排為一組的方式組合出停車場(chǎng)的結(jié)構(gòu)，設(shè)小轎車有組，大型客車有組，每組的一排長(zhǎng)度為G米。根據(jù)第一部分，對(duì)于小轎車的停車位置寬度（米），而對(duì)于大型客車，其停車位置的寬度（米）。所以，對(duì)于小轎車，每一組可以停放的車輛數(shù)目為，該停車場(chǎng)中總共可以停放輛小轎車，而對(duì)于大型客車，同樣可以得總車位數(shù)為。根據(jù)的比例要求，我們可以得到。綜上所述，對(duì)于足夠大的停車場(chǎng)地，我們可以用一排停車位，一條通車道，一排停車位為一組的形

12、式來平行設(shè)計(jì)車位，大體結(jié)構(gòu)可參見圖5.至于小轎車組和大型客車組的比例，可以按照近似于6.77：1的形式，例如，取近似值7：1，13：2，20：3,27：4，34：5等比例建造。四 具體停車場(chǎng)車位設(shè)計(jì)上面我們討論的都是理想情況，現(xiàn)實(shí)中很多停車場(chǎng)的占地面積并不一定很大，而且從圖5的設(shè)計(jì)安排來看，理想情況下的每一組車位都必須為車輛能夠自由進(jìn)出而設(shè)置一個(gè)入口和一個(gè)出口，這樣的設(shè)計(jì)既不經(jīng)濟(jì)也不安全。特別是對(duì)于某些收費(fèi)的停車場(chǎng)或者要重點(diǎn)考慮安全設(shè)施的停車場(chǎng)，將不得不在眾多的出入口設(shè)置收費(fèi)點(diǎn)或關(guān)卡而增加成本，這顯然不是最好的安排，那么對(duì)于一個(gè)具體形狀和面積給定的停車場(chǎng)，我們將根據(jù)前面理想情況的討論做出改進(jìn)，

13、以得到更合理的設(shè)計(jì)規(guī)劃。圖6為某公共場(chǎng)所附設(shè)的停車場(chǎng)，它是一個(gè)長(zhǎng)90米，寬45米的矩形區(qū)域，該矩形區(qū)域的四個(gè)角落有照明燈設(shè)置，其占據(jù)矩形角上的形狀為邊長(zhǎng)2.5米正方形，見圖6的星號(hào)區(qū)域。區(qū)域南邊，西邊，北邊是圍墻，東邊是馬路，這是可以作為停車場(chǎng)出入口的唯一的一條邊。根據(jù)對(duì)當(dāng)?shù)貙?shí)際情況的調(diào)查，該停車場(chǎng)位設(shè)計(jì)應(yīng)考慮5至6個(gè)大型客車車位，其余都作為小轎車車位設(shè)計(jì)?，F(xiàn)在我們就按照上述要求來對(duì)這塊停車場(chǎng)進(jìn)行車位的具體安排。北45590圖690米的停車場(chǎng)長(zhǎng)邊可以當(dāng)作足夠長(zhǎng)的邊來看待，我們將90米為一排來設(shè)計(jì)小轎車的車位，即每排車位與矩形的長(zhǎng)邊平行。在理想情況下，根據(jù)第一部分討論可知，最佳設(shè)計(jì)下的車位長(zhǎng)度為

14、：（米）停車場(chǎng)通道寬度為：（米），所以，理想情況下的一組（即兩排車位中間加一條行通車道）的寬度約為：（米）于是，45米寬可以考慮安置三組這樣的車位，如圖6的，和。在小轎車的總體布局確定下來后，我們?cè)賮砭唧w確定大型客車的車位?？紤]到大型車的轉(zhuǎn)彎半徑比較大，借用專門為小轎車車位設(shè)計(jì)的通道是肯定不行的。相對(duì)來說，大型客車停車位只占總停車位的很小一部分，在設(shè)計(jì)停車場(chǎng)的位置市，為了節(jié)省面積以增加車位數(shù)，應(yīng)該將所有大客車位置放在一塊，同樣以矩形并排的形式放置。大客車在停車場(chǎng)中的停放方式也可以采用直角停放的停車方式，并按照其特殊的位置設(shè)置特殊寬度的通道。另外考慮到其進(jìn)出上的困難情況，一般可安置在停車場(chǎng)的出口

15、部分，例如，將其安排在東邊靠馬路處（注：東邊臨街，沒有圍墻），且垂直東邊的馬路橫向占用小轎車的車位設(shè)置6個(gè)大型客車車位，大客車可直接由馬路開進(jìn)停車位，見圖6的右邊6個(gè)橫向車位。剩下的事情就是得解決出入口問題了，由于只能在東邊設(shè)置出入口，并且，三組區(qū)域?yàn)橄嗷ツ芙柚鷮?duì)方區(qū)域的車位排列位置設(shè)置，通道形式方向應(yīng)該間隔，即向東，向西，向東，或者向西，向東，向西。為此，必須在停車場(chǎng)的最西邊設(shè)置南北走向的一排通道，以便讓，區(qū)車位的車輛都能夠換向出入，具體可以參照?qǐng)D6的設(shè)置。最后，考慮到既然在最西邊已經(jīng)設(shè)置了南北走向的一排通道，我們可以在該通道的西邊設(shè)置一排車位，此時(shí)該車位設(shè)計(jì)的車輛出入可以占用南北通道，所以

16、這排車位的設(shè)計(jì)是最合理的，如圖6中的區(qū)域.根據(jù)如上的分析，我們對(duì)該停車場(chǎng)的車位大致設(shè)計(jì)成圖6.東邊的中部為入口，北部和南部為出口，這樣，即使在車輛較多的時(shí)候不至于難以駛出，通道方向也如圖6所示。大型客車的車位已經(jīng)確定為6個(gè)，小轎車車位的個(gè)數(shù)我們將根據(jù)，的車位角度進(jìn)行變化。由于東西走向的通道和南北走向通道已經(jīng)是垂直拐彎，所以毫無疑問，區(qū)域的車位將垂直排列，去掉兩邊照明燈設(shè)置后西邊寬度為40米，正好可以設(shè)置16個(gè)車位（2.5米寬和5米長(zhǎng)），垂直于西邊。我們可以計(jì)算出西邊通道的寬度為（米）?？紤]到對(duì)稱性質(zhì)，我們?cè)O(shè)橫向的6排的小轎車位個(gè)數(shù)分別是，個(gè)，并建立如下的小轎車車位個(gè)數(shù)模型： （4）將公式，和數(shù)

17、據(jù),，分別代人（4）式，化簡(jiǎn)后可得： （5）對(duì)于模型（5），如直接利用計(jì)算機(jī)編程求解會(huì)遇到一些麻煩，先是涉及的變化，然后又涉及和。為此，我們先用微積分知識(shí)來討論一下。對(duì)于第一個(gè)限制條件，設(shè)，易求得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有唯一的駐點(diǎn)，所以在內(nèi)的最大值為于是，的取值范圍應(yīng)限制在區(qū)間內(nèi)，容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)時(shí)，都為嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，這是求上面模型解的關(guān)鍵所在。只要求出和的解集的交集，然后選取該交集中最大的即可，記此最大的為，取和模型的解就得到了（式中表示取整運(yùn)算）。利用數(shù)值計(jì)算或者計(jì)算機(jī)編程容易求出的解集為，的解集為，于是，取所以最后得到小轎車車位數(shù)目應(yīng)該為170個(gè)，區(qū)域的停車位方位角可取左右。五 結(jié)束語停車場(chǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)實(shí)際上是一個(gè)比較復(fù)雜的非線性整數(shù)規(guī)劃問題。我們從最理想的情況出發(fā)，建立了一個(gè)一般停車場(chǎng)大致可以參考的布局和模型，然后又給出了一個(gè)具體的案例分析來