曲線曲面積分競(jìng)賽題整理

1、2011年1. 設(shè) 曲面取上側(cè)為正, 是 在 的部分, 則曲面積分(A) (B) (C) (D) 答: (B) 九、 (7分) 計(jì)算其中為從點(diǎn)沿圓周在第一象限部分到點(diǎn)的路徑.解 令 則 取點(diǎn) 作有向直線段 其方程為 從0變到1).作有向直線段 其方程為 從0變到1). 由曲線、有向直線段和形成的閉曲線記為(沿順時(shí)針方向), 所圍成的區(qū)域記為, 則 十. (8分) 設(shè)（1）有向閉曲線是由圓錐螺線 ：，（從0變到）和有向直線段 構(gòu)成， 其中， ；（2）閉曲線將其所在的圓錐面劃分成兩部分，是其中的有界部分. （）如果 表示一力場(chǎng)，求沿所做的功； （）如果 表示流體的流速，求流體通過流向上側(cè)的流量.

2、(單位從略） 解（）作有向直線段 其方程為 從 變到0).所求沿所做的功為 . （）所在的圓錐面方程為，曲面 上任一點(diǎn)處向上的一個(gè)法向量為 在面上的投影區(qū)域?yàn)? 在極坐標(biāo)系下表示為: 故所求流體通過流向上側(cè)的流量為 . 注: ()的另一解法 應(yīng)用Stokes公式， 可得 . 十一. (8分) 設(shè)函數(shù)在心形線所圍閉區(qū)域上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 是在曲線上的點(diǎn)處指向曲線外側(cè)的法向量(簡(jiǎn)稱外法向), 是沿的外法向的方向?qū)?shù), 取逆時(shí)針方向. () 證明: () 若 求的值. () 證 由方向?qū)?shù)的定義 其中, 是相對(duì)于 x軸正向的轉(zhuǎn)角. 設(shè)是 L的切向量相對(duì)于x軸正向的轉(zhuǎn)角, 則 或 故 () 解 應(yīng)

3、用格林公式 由對(duì)稱性 2010年5、 設(shè)曲面，并取上側(cè)為正，則不等于零的曲面積分為：（ B ）。（A）； （B）；（C）； （D）。十、求，其中曲線L是位于上半平面，從點(diǎn)到的部分。（本題7分）解：，即積分與路徑無關(guān)。但因在點(diǎn)處與無定義，故應(yīng)選積分路徑：從到再到最后到的折線段。于是十一、計(jì)算，其中為由曲面與所圍成的封閉曲面的外側(cè)。（本題7分）解：對(duì)右端的第一個(gè)積分使用高斯公式其中是所圍的空間區(qū)域，1是位于第1卦限的部分。對(duì)于右端的第二個(gè)積分，其中1是平面上的部分上側(cè)，顯然。2是的外側(cè)，所以。2009年10、 設(shè)L為正向圓周在第一象限中的部分，則 。5. 設(shè)L為折線的正向一周，則（ C ）。（A）

4、2sin2； （B）1； （C）0； （D）1。十二、計(jì)算曲面積分，其中為空間區(qū)域邊界曲面的外側(cè)。（本題8分）解：命，。作輔助曲面1為球面的外則，其中 0 << 1。則，其中（1為與1之間的空間區(qū)域）。所以2008年1、 設(shè)函數(shù)在區(qū)域上具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，C為順時(shí)針橢圓，則。2、 5.設(shè)S為球面：，其取外側(cè)為，則兩個(gè)曲面積分全為零的是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。十一、計(jì)算曲線積分，其中曲線C：是從點(diǎn)A(1,0)到點(diǎn)B(1,0)的一條不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的光滑曲線。（本題8分）解：，。作上半圓，逆時(shí)針方向，取r充分小使C1位與曲線C的下部且二者不相交。又在x軸上分別取1

5、到r與r到1兩個(gè)線段l1與l2，于是有，其中D是由所圍成的區(qū)域。從而，2007年1.設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線L：過第二象限內(nèi)的點(diǎn)M和第四象限內(nèi)的點(diǎn)N，為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列積分值為負(fù)的是（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。七、設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且滿足， 求； 計(jì)算，其中L是從原點(diǎn)O到點(diǎn)M（1,3）的任意一條光滑弧。（本題7分）解： 將原等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得到，所以。命：，于是有。 因?yàn)椋?。于是可知I與積分路徑無關(guān)，從而，命：，當(dāng)x = 0,y = 0時(shí)，t = 1；x = 1,y = 3時(shí)，t = 12。故 。十一、計(jì)算，其中為一連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限

6、部分的上側(cè)。（本題7分）解：化為第一類曲面積分求解。設(shè)的單位法向量，則其中。故。2006年1 設(shè)曲面的上側(cè)，則下述曲面積分不為零的是（ B ）（A）； （B）；（C）； （D）。九、計(jì)算，其中L為正向一周。（本題7分）解：因?yàn)長(zhǎng)為，故其中D為L(zhǎng)所圍區(qū)域，故為D的面積。為此我們對(duì)L加以討論，用以搞清D的面積。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，故D的面積為2×1=2。從而。2005年六、設(shè)二元函數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，求。（本題7分）解：注意到：被積函數(shù)，由于此積分與路徑無關(guān)，所以必有，即有，從而有，代入原積分式，得到，即 ，。將上式兩端對(duì)t求導(dǎo)，得到： ，即 ，從而得到 。八、設(shè)S為橢球

7、面的上半部分，點(diǎn)，為S在點(diǎn)P處的切平面，為點(diǎn)到平面的距離，求。（本題7分）解：設(shè)為上任意一點(diǎn)，則的方程為，從而知。由，有，于是 。所以 。2004年十、計(jì)算曲面積分，其中是曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)面，其法線向量與z軸正向的夾角為銳角。（本題7分）解： 旋轉(zhuǎn)曲面的方程為。補(bǔ)充曲面其法線向量與z軸正向相反；和其法線向量與z軸正向相同。設(shè)由曲面所圍空間區(qū)域?yàn)?，則十一、設(shè)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)以任意點(diǎn)為圓心，以任意正數(shù)r為半徑的上半圓L：，恒有。證明：（本題8分）證明：記上半圓周L的直徑為AB，取AB+L為逆時(shí)針方向；又命D為AB+L所包圍的區(qū)域。由格林公式有其中：為某一點(diǎn)。另一方面。于是有，即。命，兩邊取極限，得到，由的任意性知；且，即。類似。2003年1 設(shè)，為在第一卦限中的部分，則有（ C ）（A）； （B）；（C）； （D）。八、設(shè)函數(shù)在x O y平面上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分與路徑無關(guān)，并且對(duì)任意的t恒有，求。（本題7分）解：由曲線積分與路徑無關(guān)知，所以，其中為待定函數(shù)。又；。根據(jù)題設(shè)，有，上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，得到，于是知，即，故。5. 設(shè)，其中：x2+y2+z21，z0則（ D ）（A）； （B）；（C）； （D）。十二、設(shè)C是取正向的圓周，f (x)是正的連續(xù)函數(shù)，證明：（本題8分）證明：由格林公式有，其中D是由 ( x 1 )2 +