必修四 三角函數(shù) 三角恒等變換知識點總結

1、三角函數(shù) 三角恒等變換知識點總結一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐標系內(nèi)討論角：角的頂點在原點，始邊在軸的正半軸上，角的終邊在第幾象限，就說過角是第幾象限的角。若角的終邊在坐標軸上，就說這個角不屬于任何象限，它叫象限界角。（2）與角終邊相同的角的集合：與角終邊在同一條直線上的角的集合： ；與角終邊關于軸對稱的角的集合： ；與角終邊關于軸對稱的角的集合： ；與角終邊關于軸對稱的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示：終邊在坐標軸上角的集合： ；終邊在一、三象限的平分線上角的集合： ；終邊在二、四象限的平分線上角的集合： ；終邊在四個象限的平分線上角的集合： ；（3）區(qū)間角的表示：象限角：第一象限

2、角： ；第三象限角： ；第一、三象限角： ；寫出圖中所表示的區(qū)間角： xyOxyO（4）正確理解角：要正確理解“間的角”= ；“第一象限的角”= ；“銳角”= ；“小于的角”= ；（5）由的終邊所在的象限，通過 來判斷所在的象限。來判斷所在的象限（6）弧度制：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負角的弧度數(shù)為負數(shù)，零角的弧度數(shù)為零；任一已知角的弧度數(shù)的絕對值，其中為以角作為圓心角時所對圓弧的長，為圓的半徑。注意鐘表指針所轉過的角是負角。（7）弧長公式： ；半徑公式： ；扇形面積公式： ；二、任意角的三角函數(shù)：（1）任意角的三角函數(shù)定義：以角的頂點為坐標原點，始邊為軸正半軸建立直角坐標系，在角的終邊上任取一個異

3、于原點的點，點到原點的距離記為，則 ； ； ； ； ； ； 如：角的終邊上一點，則 。注意r>0（2）在圖中畫出角的正弦線、余弦線、正切線；xyOaxyOaxyOayOa比較，的大小關系： 。（3）特殊角的三角函數(shù)值：0sincos三、同角三角函數(shù)的關系與誘導公式：（1）同角三角函數(shù)的關系平方關系sin2+ cos2=1， 1+tan2=， 1+cot2=商數(shù)關系=tan倒數(shù)關系tan·cot=1作用：已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。（2）誘導公式： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；： ， ， ；：

4、 ， ， ；誘導公式可用概括為：2K±,-,±,±,±的三角函數(shù) 奇變偶不變，符號看象限 的三角函數(shù)作用：“去負脫周化銳”，是對三角函數(shù)式進行角變換的基本思路即利用三角函數(shù)的奇偶性將負角的三角函數(shù)變?yōu)檎堑娜呛瘮?shù)去負；利用三角函數(shù)的周期性將任意角的三角函數(shù)化為角度在區(qū)間0o,360o)或0o,180o)內(nèi)的三角函數(shù)脫周；利用誘導公式將上述三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)化銳. （3）同角三角函數(shù)的關系與誘導公式的運用：已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值。注意：用平方關系，有兩個結果，一般可通過已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以討論。求任意角的

5、三角函數(shù)值。步驟：任意負角的三角函數(shù)任意正角的三角函數(shù)0o360o角的三角函數(shù)求值公式三、一公式一0o90o角的三角函數(shù)公式二、四、五、六、七、八、九已知三角函數(shù)值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有無數(shù)多個步驟： 確定角所在的象限；如函數(shù)值為正，先求出對應的銳角；如函數(shù)值為負，先求出與其絕對值對應的銳角；根據(jù)角所在的象限，得出間的角如果適合已知條件的角在第二限；則它是；如果在第三或第四象限，則它是或；如果要求適合條件的所有角，再利用終邊相同的角的表達式寫出適合條件的所有角的集合。如，則 ， ； ；_。注意：巧用勾股數(shù)求三角函數(shù)值可提高解題速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，

6、13）；（8，15，17）；四、三角函數(shù)圖像和性質 1周期函數(shù)定義定義  對于函數(shù)，如果存在一個不為零的常數(shù)，使得當取定義域內(nèi)的每一個值時，都成立，那么就把函數(shù)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期請你判斷下列函數(shù)的周期 y=tan x y=tan |x| y=|tan x| 例 求函數(shù)f(x)=3sin (的周期。并求最小的正整數(shù)k,使他的周期不大于1 注意 理解函數(shù)周期這個概念，要注意不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，如常函數(shù)f(x)c（c為常數(shù)）是周期函數(shù)，其周期是異于零的實數(shù)，但沒有最小正周期 結論：如函數(shù)對于，那么函數(shù)f(x)的周期T=2k; 如函數(shù)對于，那么函數(shù)f(

7、x)的對稱軸是 2圖像 3、圖像的平移對函數(shù)yAsin(xj)k (A0, 0, j0, k0),其圖象的基本變換有： (1)振幅變換（縱向伸縮變換）：是由A的變化引起的A1,伸長；A1,縮短 (2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由的變化引起的1，縮短；1,伸長 (3)相位變換(橫向平移變換)：是由的變化引起的j0,左移；j0，右移(4)上下平移(縱向平移變換): 是由k的變化引起的k0, 上移；k0,下移四、三角函數(shù)公式：倍角公式sin2=2sin·coscos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2兩角和與差的三角函數(shù)關系sin()=sin·coscos&#

8、183;sincos()=cos·cossin·sin半角公式，=積化和差公式sin·cos=sin(+)+sin(-)cos·sin=sin(+)-sin(-)cos·cos=cos(+)+cos(-)sin·sin= -cos(+)-cos(-)升冪公式1+cos=1-cos=1±sin=()21=sin2+ cos2sin=降冪公式sin2cos2sin2+ cos2=1sin·cos=和差化積公式sin+sin= sin-sin=cos+cos=cos-cos= -tan+ cot=tan- cot= -2

9、cot21+cos=1-cos=1±sin=()2三倍角公式：；五、三角恒等變換： 三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創(chuàng)設條件，靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能常用的數(shù)學思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。；問： ； ；等等（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎，通常化切、割為弦，變異名為同名。（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的代換變形有： （4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式有： ； 。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式常用升冪化為有理式，常用升冪公式有： ； ；（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應熟練掌握三角公式的順