數(shù)碼相機(jī)的定位全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模A題一等獎(jiǎng)

1、數(shù)碼相機(jī)的定位摘要本文運(yùn)用相機(jī)標(biāo)定模型確定了相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，利用本質(zhì)矩陣標(biāo)定雙目相機(jī)，快速找出了相機(jī)的相對(duì)位置關(guān)系；利用MATAB軟件和圖像處理進(jìn)行編程求解；通過對(duì)圖像的預(yù)處理和灰度質(zhì)心法對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，得出模型的精度。針對(duì)問題一，根據(jù)數(shù)碼相機(jī)的特點(diǎn)，提出了一個(gè)新的標(biāo)定方法，建立相機(jī)標(biāo)定模型，確定了靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，為問題二的計(jì)算提供了一個(gè)好的算法。針對(duì)問題二，我們利用問題一建立的模型和方法運(yùn)用MATLAB編程精確的計(jì)算了靶標(biāo)上五個(gè)圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)。ABCDEx86.2453110.8411168.2104155.171273.2152y50.009950.

2、797652.6354134.09100.2646針對(duì)問題三，我們引入了灰度質(zhì)心法及像差模型對(duì)前述問題的模型的穩(wěn)定性和坐標(biāo)值精度進(jìn)行檢驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)兩種模型的中心坐標(biāo)值的誤差值在03個(gè)像素區(qū)間內(nèi)，說明前述模型的計(jì)算結(jié)果的精度很高，通過像差模型得出其徑向畸變系數(shù)趨于無窮小，認(rèn)為前述模型有很好的穩(wěn)定性。針對(duì)問題四，我們提出了一種改進(jìn)的的立體攝像機(jī)標(biāo)定方法，通過雙目匹配點(diǎn)，線性地求解本質(zhì)矩陣，快速找出攝像機(jī)的相對(duì)位置關(guān)系。關(guān)鍵詞：雙目定位 系統(tǒng)定標(biāo) 灰度質(zhì)心法 像差模型 本質(zhì)矩陣1. 問題重述數(shù)碼相機(jī)定位在交通監(jiān)管（電子警察）等方面有廣泛的應(yīng)用。所謂數(shù)碼相機(jī)定位是指用數(shù)碼相機(jī)攝制物體的相片確定物體表面某

3、些特征點(diǎn)的位置。最常用的定位方法是雙目定位，即用兩部相機(jī)來定位。對(duì)物體上一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是對(duì)雙目定位，精確地確定兩部相機(jī)的相對(duì)位置就是關(guān)鍵，這一過程稱為系統(tǒng)標(biāo)定。標(biāo)定的一種做法是：在一塊平板上畫若干個(gè)點(diǎn)， 同時(shí)用這兩部相機(jī)照相，分別得到這些點(diǎn)在它們像平面上的像點(diǎn)，利用這兩組像點(diǎn)的幾何關(guān)系就可以得到這兩部相機(jī)的相對(duì)位置。然而，無論在物平面或像平面上我們都無法直接得到?jīng)]有幾何尺寸的“點(diǎn)”。實(shí)際的做法是在物平面上

4、畫若干個(gè)圓（稱為靶標(biāo)），它們的圓心就是幾何的點(diǎn)了。而它們的像一般會(huì)變形，如圖1所示，所以必須從靶標(biāo)上的這些圓的像中把圓心的像精確地找到，標(biāo)定就可實(shí)現(xiàn)。 圖 1 靶標(biāo)上圓的像有人設(shè)計(jì)靶標(biāo)如下，取1個(gè)邊長為100mm的正方形，分別以四個(gè)頂點(diǎn)（對(duì)應(yīng)為A、C、D、E）為圓心，12mm為半徑作圓。以AC邊上距離A點(diǎn)30mm處的B為圓心，12mm為半徑作圓，用一位置固定的數(shù)碼相機(jī)攝得其像。請你們：（1） 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo), 這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面；（2） 對(duì)由圖2、圖3分別給出的靶標(biāo)及其像，計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心在像平面上的像坐標(biāo)

5、, 該相機(jī)的像距（即光學(xué)中心到像平面的距離）是1577個(gè)像素單位(1毫米約為3.78個(gè)像素單位)，相機(jī)分辨率為1024768；（3） 設(shè)計(jì)一種方法檢驗(yàn)?zāi)銈兊哪Ｐ?，并?duì)方法的精度和穩(wěn)定性進(jìn)行討論；（4） 建立用此靶標(biāo)給出兩部固定相機(jī)相對(duì)位置的數(shù)學(xué)模型和方法。2. 模型假設(shè)1、假設(shè)拍攝靶標(biāo)的像的數(shù)碼照相機(jī)的光學(xué)系統(tǒng)在制造和安裝過程中產(chǎn)生的各種畸變誤差很小，可忽略不計(jì)；2、假設(shè)拍攝靶標(biāo)的相機(jī)的焦距是固定的，且相機(jī)的焦距等于像距；3、設(shè)像面中心相對(duì)光軸與像面的焦點(diǎn)在 方向和 方向的偏移為0；4、假設(shè)像面的傾斜程度為0。3. 符號(hào)說明問題一：世界坐標(biāo)系坐標(biāo)的表示：圖像坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示：像坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示

6、：光心坐標(biāo)系坐標(biāo)表示：焦距：33階的旋轉(zhuǎn)矩陣:位移向量：圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的橫坐標(biāo)：圖像坐標(biāo)系原點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的縱坐標(biāo)：像素坐標(biāo)系在方向相鄰像素間的距離:像素坐標(biāo)系在方向相鄰像素間的距離:數(shù)碼相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣：數(shù)碼相機(jī)的外部參數(shù)矩陣：數(shù)碼相機(jī)的投影矩陣問題二：靶標(biāo)上A圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)：靶標(biāo)上B圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)：靶標(biāo)上C圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)：靶標(biāo)上D圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)：靶標(biāo)上D圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)：靶標(biāo)上A圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)：靶標(biāo)上B圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)：靶標(biāo)上C圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像坐

7、標(biāo)：靶標(biāo)上D圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)：靶標(biāo)上E圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)問題三：i ： 表示坐標(biāo)點(diǎn)底數(shù)， ： 表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置坐標(biāo)n ： 表示圖像的像素個(gè)數(shù) ： 表示第i個(gè)像素的坐標(biāo) ： 表示第i個(gè)像素的灰度值 ： 表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量x0，y0 ： 表示全部n個(gè)離散質(zhì)點(diǎn)的重心坐標(biāo)（注：問題四的符號(hào)說明已在問題中給出）4. 問題分析計(jì)算機(jī)視覺是一門新興的學(xué)科。隨著計(jì)算機(jī)硬件、軟件、圖像采集、處理技術(shù)的迅速發(fā)展，計(jì)算機(jī)視覺的理論和技術(shù)已被廣泛地應(yīng)用于醫(yī)學(xué)圖像處理、機(jī)器人技術(shù)、文字識(shí)別、工業(yè)檢測、軍事勘察、地面勘察和現(xiàn)場檢測等。計(jì)算機(jī)視覺在多種測量中的應(yīng)用是一種定量分析系統(tǒng)，有確定

8、的精度要求。一般運(yùn)用于現(xiàn)場不可到達(dá)、現(xiàn)場復(fù)雜不便直接測量、保留現(xiàn)場狀態(tài)以便測量、補(bǔ)測和事后重構(gòu)現(xiàn)場等場合。這主要是由于數(shù)碼相機(jī)有如下幾個(gè)特點(diǎn)：有較多像素的CCD；可以根據(jù)測量的需要選擇不同的像素大??；可直接與計(jì)算機(jī)進(jìn)行通訊；可選定多種焦距進(jìn)行頂焦距拍攝。上述特點(diǎn)，給圖像采集和圖像處理帶來了許多方便之處。在應(yīng)用計(jì)算機(jī)視覺的測量系統(tǒng)中，無論是采用攝像機(jī)還是數(shù)碼相機(jī)作為原始圖像的采集設(shè)備，都必須進(jìn)行系統(tǒng)標(biāo)定。系統(tǒng)標(biāo)定是應(yīng)用計(jì)算機(jī)視覺進(jìn)行現(xiàn)場測量和圖像處理的第一步，也是關(guān)鍵的一步。標(biāo)定矩陣的精度直接影響到最終的測量精度。我們運(yùn)用數(shù)碼相機(jī)成像的幾何模型，并將次模型分解成內(nèi)、外參數(shù)矩陣。根據(jù)數(shù)碼相機(jī)的特點(diǎn)

9、，提出了一種新的標(biāo)定方法。這種方法是先求解有較高精度的內(nèi)部參數(shù)矩陣，在此基礎(chǔ)上再來求解外部參數(shù)矩陣，由此獲得高精度的內(nèi)、外參數(shù)矩陣。5. 模型的建立與求解5.1 問題一 建立數(shù)學(xué)模型和算法以確定靶標(biāo)上圓的圓心在該相機(jī)像平面的像坐標(biāo)，這里坐標(biāo)系原點(diǎn)取在該相機(jī)的光學(xué)中心，x-y平面平行于像平面。問題的分析本題要求我們通過建立合適的模型以確定靶標(biāo)上的圓的圓心在相機(jī)平面的像的像坐標(biāo)。數(shù)碼相機(jī)是將空間三維圖像轉(zhuǎn)換為平面二維圖像的傳感設(shè)備，我們先建立空間三維物體坐標(biāo)點(diǎn)與二維圖像坐標(biāo)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立數(shù)碼相機(jī)的幾何模型。通過此模型可以求出空間特征點(diǎn)的圖像坐標(biāo)值。相機(jī)的定標(biāo)主要是確定數(shù)碼相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)。外部參

10、數(shù)用來把目標(biāo)的世界坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為數(shù)碼相機(jī)坐標(biāo)系。內(nèi)部參數(shù)用來確定數(shù)碼相機(jī)的內(nèi)部幾何與光學(xué)系統(tǒng)。5.1.2模型的建立和求解數(shù)碼相機(jī)圖像拍攝實(shí)際上是一個(gè)光學(xué)成像過程?？梢詫⒋诉^程分為三個(gè)步驟、隸屬于四個(gè)坐標(biāo)系。這四個(gè)坐標(biāo)系分別為：（1）世界坐標(biāo)系根據(jù)自然環(huán)境所選定的坐標(biāo)系，坐標(biāo)值用表示。（2）圖像坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)在CCD圖像平面的中心，X軸，Y軸分別為平行于圖像平面的倆條垂直邊，坐標(biāo)值用（x,y）表示。（3）像素坐標(biāo)系坐標(biāo)系在CCD圖像平面的左上角，X軸，Y軸分別平行于圖像坐標(biāo)系的X軸和Y軸，坐標(biāo)值用（u,v）來表示，且為離散的整數(shù)值。（4）光心坐標(biāo)系以相機(jī)的光心為坐標(biāo)系點(diǎn)，X軸，Y軸分別為平行于圖像

11、坐標(biāo)系的X軸和Y軸，相機(jī)的光軸為Z軸，坐標(biāo)值用表示。3個(gè)步驟是分別將世界坐標(biāo)系中的信息轉(zhuǎn)換到光心光標(biāo)系，再有光心坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到圖像坐標(biāo)系，最后有圖像坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到像素坐標(biāo)系。光學(xué)光學(xué)成像的理論模型為針孔模型。根據(jù)這個(gè)模型有光心坐標(biāo)系向圖像坐標(biāo)系的過程符合中心影射或透視投影，可用齊次坐標(biāo)與矩陣表示其中，是光心坐標(biāo)系中空間點(diǎn)P的坐標(biāo)，是對(duì)應(yīng)圖像坐標(biāo)系中P點(diǎn)的坐標(biāo)，f是相機(jī)的焦距?？捎谬R次坐標(biāo)與矩陣到光心坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：其中，R為旋轉(zhuǎn)矩陣，t為位移向量， 元素為0的列向量。由圖像坐標(biāo)到像素坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為其中，是圖像坐標(biāo)系圓點(diǎn)在像素坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，（dx,dy）分別是像素坐標(biāo)系在X方向和Y方向相鄰

12、像素間的距離。將式代入的可將式簡化成N為式4右邊地1項(xiàng)即相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)矩陣，M為式4右邊第2項(xiàng)即相機(jī)外部參數(shù)，Q為投影矩陣。5.2問題二的分析 問題分析：本題要求我們利用問題一建立的模型或方法來精確計(jì)算靶標(biāo)上五個(gè)圓的圓心在靶標(biāo)圖上的像的坐標(biāo)。由相機(jī)的像距及相機(jī)的分辨率等信息估計(jì)出相機(jī)的內(nèi)部參數(shù)，然后基于圓的特征性質(zhì)以及透視投影的光學(xué)原理在靶標(biāo)和其像上采集六對(duì)坐標(biāo)點(diǎn)。代入模型計(jì)算出投影矩陣后便可計(jì)算靶標(biāo)上圓的圓心的像點(diǎn)坐標(biāo)。問題求解具體計(jì)算過程如下：首先建立相應(yīng)坐標(biāo)系，使靶標(biāo)及其像圖坐標(biāo)化。如圖5.1所示。對(duì)于靶標(biāo)建立如下的三維坐標(biāo)體系。靶標(biāo)上所有點(diǎn)的世界坐標(biāo)為0.12mm /mm 100mm1

13、3mm /mm 0 圖5.1 世界三維坐標(biāo)系對(duì)于靶標(biāo)在像平面的像圖，建立如圖二維坐標(biāo)系為了高精度提取像圖上與靶標(biāo)上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)值，將圖像網(wǎng)格化處理。 圖5.2 圖像像素坐標(biāo)圖我們在A、B、C、D五個(gè)圓像上采集六對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)值（其中在A 、B、C、D上采一個(gè)點(diǎn)，E上采集倆個(gè)點(diǎn) ），六對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)在附錄中給出。 然后將六對(duì)點(diǎn)代入模型求得參數(shù)如下：f=417.1958; dx=0.2646; dy=0.2646;已知靶標(biāo)上A、B、C、D、E圓的圓心坐標(biāo)為：A（13，113）、B（43，113）、C（113，113）、D（113，13）、E（13，13）靶標(biāo)上圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像素坐標(biāo)為：靶標(biāo)上

14、圓圓心在成像平面上對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)為：5.3模型的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蜋z驗(yàn)的方法說明由問題一中建立的數(shù)碼相機(jī)像坐標(biāo)標(biāo)定的模型，我們通過數(shù)碼相機(jī)的內(nèi)部和外部參數(shù)計(jì)算出了問題二中各圓的像坐標(biāo)值。但我們并未知道問題二中所計(jì)算得出的像坐標(biāo)值的精確度到底有多高，以及數(shù)碼相機(jī)的一階畸變系數(shù)的大小。因此我們對(duì)問題一中提出的模型得到的像坐標(biāo)值進(jìn)行檢驗(yàn)，通過對(duì)各種傳統(tǒng)標(biāo)定方法、自標(biāo)定方法和基于主動(dòng)視覺的標(biāo)定方法的學(xué)習(xí)，我們采用了一種灰度質(zhì)心法和像差模型相結(jié)合檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)檢驗(yàn)方法。 要使用灰度質(zhì)心模型對(duì)前述問題的模型進(jìn)行檢驗(yàn)，首先，我們在matlab下對(duì)題目所給圖騙進(jìn)行了灰度處理（灰度處理程序見附件三）；其次，通過其他方式確定圖像

15、中圓或者橢圓的內(nèi)中心點(diǎn)附近的像素點(diǎn)坐標(biāo)值，最后即可運(yùn)用灰度模型進(jìn)行求解灰度質(zhì)心法在高等數(shù)學(xué)中，我們都知道平面上n個(gè)離散的質(zhì)點(diǎn)，它們的質(zhì)量重心坐標(biāo)可以表示為： (1) (2)考慮到圓或者橢圓的中心對(duì)稱性，其密度均勻的圓或者橢圓上的中心是重合的，其中將（1）、（2）式中的點(diǎn)質(zhì)量用點(diǎn)的灰度值替換，質(zhì)量重心變成了灰度重心，由此圓形或者橢圓形光斑的中心也可以通過求取光斑在像平面上上網(wǎng)灰度重心來得到。 原始圖像結(jié)果在matlab中進(jìn)行灰度處理后，把其明暗對(duì)比度加深，得到被測特征點(diǎn)成像的特征區(qū)域成圓形或者橢圓形的光斑，設(shè)各圓形或者橢圓形光斑所占像素?cái)?shù)量為，于是灰度質(zhì)心法計(jì)算各圓形或者橢圓形光斑中心的坐標(biāo)可表

16、示為； (3) .(4)根據(jù)上面的模型，第一中方式我們采用的是：通過一種計(jì)算機(jī)軟件對(duì)圖像的像素坐標(biāo)進(jìn)行多點(diǎn)的坐標(biāo)取值，根據(jù)這些坐標(biāo)值運(yùn)用matlab軟件編程(程序見附件三)求出其圖像中心點(diǎn)在像素坐標(biāo)系的值，然后運(yùn)用灰度質(zhì)心法中 (3)、(4)關(guān)系式，把各像素坐標(biāo)值帶入相應(yīng)的程序中，求出畸變下的像素坐標(biāo)值，求的各圖像的像素坐標(biāo)值如下表所示： 表5.1各圓和橢圓圖像的像素坐標(biāo)ABCDEX325.1000418.8000641.3529584.0714282.7000Y189.2632195.1500207502.8571502.8500（注：表中個(gè)坐標(biāo)值的單位是像素）其對(duì)應(yīng)的像坐標(biāo)值有題目所購的換

17、算關(guān)系的出： 表5.2 各圖像的像坐標(biāo)值A(chǔ)BCDEXc86.0053110.7937169.6701110.793774.7884Yc50.069651.627054.7619133.0291133.0310（注：表中個(gè)坐標(biāo)值的單位是毫米）從表中，我們經(jīng)過與問題二中求解的值進(jìn)行對(duì)比可以得出：問題一中所建立的模型的求解的值精度較高。 但在攝像機(jī)模型中全面考慮的話，我們還需要引入鏡頭產(chǎn)生的徑向畸變和且想畸變在攝像機(jī)攝像過程中對(duì)成像效果的影響，因此我們建立了一個(gè)關(guān)于畸變參數(shù)求解的模型像差數(shù)學(xué)模型。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： .(5) .(6)式中： -畸變坐標(biāo) -徑向畸變系數(shù) -切向畸變系數(shù)由上述數(shù)學(xué)關(guān)系式

18、，我們通過在matlab下編程(程序見附件三)的到了各畸變系數(shù)的值，下表所示： 表5.3徑向、切向畸變系數(shù)k1k2k3k4-Inf-Inf-2.5289e-006-1.4292e-006有上述各表可以知道，通過該模型對(duì)像素坐標(biāo)值和像坐標(biāo)值以及畸變系數(shù)的計(jì)算的到的結(jié)果值，和問題一建立模型計(jì)算得出的數(shù)值進(jìn)行比較后，得出其精度很高，像素坐標(biāo)的各坐標(biāo)值的誤差值B在像素點(diǎn)這樣一個(gè)小區(qū)間里。所以說明攝像機(jī)的攝像精度較高。而畸變系數(shù)的值較小，有此認(rèn)為攝像機(jī)在不同角度對(duì)物體進(jìn)行攝像時(shí)，其圖像的畸變較小，圖像不會(huì)產(chǎn)生嚴(yán)重失真。通過模型的檢驗(yàn)，我們認(rèn)為問題一的模型適合運(yùn)用在定點(diǎn)攝像的場所，比如，公路電子監(jiān)控、室內(nèi)

19、攝像的場所。5.4一種改進(jìn)的立體數(shù)碼相機(jī)標(biāo)定方法對(duì)于物體上的一個(gè)特征點(diǎn)，用兩部固定于不同位置的相機(jī)攝得物體的像，分別獲得該點(diǎn)在兩部相機(jī)像平面上的坐標(biāo)。只要知道兩部相機(jī)精確的相對(duì)位置，就可用幾何的方法得到該特征點(diǎn)在固定一部相機(jī)的坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，即確定了特征點(diǎn)的位置。于是根據(jù)這一方法我們建立了雙目模型并利用本質(zhì)矩陣標(biāo)定雙目攝像機(jī)，解決了兩部固定相機(jī)的相對(duì)位置。雙目模型的建立(5.12)在雙目攝像機(jī)系統(tǒng)中，每個(gè)攝像機(jī)都分別符合圖所描述的成像模型 。而通過單個(gè)攝像機(jī)模型，可以分別知道左、右攝像機(jī)的圖像點(diǎn)與3維世界坐標(biāo)的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即及的對(duì)應(yīng)關(guān)系已分別知道。而雙目標(biāo)定所需要解決的問題是兩個(gè)攝像機(jī)坐標(biāo)系

20、之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,即Pc1=(xc1,yc1,zc1)與Pc2= ( xc2，yc2，z c2)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 。而由于它們分別屬于3維直角坐標(biāo)系，因此它們之間的轉(zhuǎn)換包含有旋轉(zhuǎn)以及平移的關(guān)系，形如 其中，旋轉(zhuǎn)矩陣R以及平移向量T就是雙目標(biāo)定所要求的內(nèi)容。 圖5.3 雙目攝像機(jī)模型 本質(zhì)矩陣的基本原理1）、符號(hào)說明1. 對(duì)左攝像機(jī)成像平面的2維坐標(biāo)，對(duì)應(yīng)于攝像機(jī)坐標(biāo)系的點(diǎn)，將其改寫為其次向量的形式；同理，對(duì)右攝像機(jī)，；2. 把3維的世界坐標(biāo)亦記作齊次向量的形式；3. 世界坐標(biāo)到成像平面的 2維坐標(biāo)的變換都是線性的 ，因此可以把左右攝像機(jī)的針孔成像過程寫成以下的矩陣形式：，其中，A1,A2都是34

21、的矩陣4. 為下面討論方便起見，把Ai看作是一個(gè)方陣與一個(gè)向量的組合，即 和，其中Mi 是3的方陣，Ti 是31的向量；5. 向量，定義運(yùn)算定義表示兩個(gè)矩陣只相差一個(gè)比例因子，即為實(shí)數(shù)。不難看出，這樣定義的符號(hào)“”滿足交換性和傳遞性。2）、本質(zhì)矩陣及其性質(zhì)使用符號(hào)說明中的記號(hào)方法，把左右攝像機(jī)成像平面的坐標(biāo)分別記為向量形式， 文獻(xiàn)9指出，必然存在一個(gè)33的方陣Q，使得矩陣Q被稱為本質(zhì)矩陣。如何利用Q求解兩臺(tái)攝像機(jī)的相對(duì)位置呢？下面先考察本質(zhì)矩陣的性質(zhì)。定理1：若左右攝像機(jī)的投影矩陣分別是=和，那么相應(yīng)于這兩臺(tái)攝像機(jī)的本質(zhì)矩陣為。由這個(gè)定理知道，本質(zhì)矩陣Q可以分解為一個(gè)滿秩的方陣R與一個(gè)反對(duì)稱矩

22、陣S的乘積，即。以下的定理表明，這樣的分解幾乎是唯一的（最多相差一個(gè)尺度因子）。定理2：若一個(gè)33的方陣Q能夠有兩種的分解方法，其中Si是非零反對(duì)稱矩陣，Ri是滿秩的方陣，那么必然有，并且，如果，那么，是某個(gè)3維的向量。定理3：若左右攝像機(jī)的相對(duì)位置固定，A1,A2和A1,A2對(duì)應(yīng)于相同的本質(zhì)矩陣Q當(dāng)且僅當(dāng)存在著一個(gè)滿秩的44的方陣H，使得P1HP1且P2HP2.以上三條定理的詳細(xì)證明可以參考文獻(xiàn)8和9.利用本質(zhì)矩陣標(biāo)定雙目攝像機(jī)上一節(jié)的定理反映了一個(gè)事實(shí)：兩臺(tái)攝像機(jī)的相對(duì)位置關(guān)系與本質(zhì)矩陣幾乎是等價(jià)的。即給定了兩臺(tái)攝像機(jī)的相對(duì)位置關(guān)系R和T，就給定了本質(zhì)矩陣Q，兩臺(tái)攝像機(jī)的旋轉(zhuǎn)平移關(guān)系R和T

23、也幾乎確定了，最多像差一個(gè)比例常數(shù)因子，“幾乎”的意思就是R和T的確定關(guān)系還需要標(biāo)定一個(gè)比列因子K。 有參考文獻(xiàn)【】給出了一個(gè)方便的通過Q求解R和T的方法，即先把Q進(jìn)行特征值分解的，根據(jù)上街定理1得到， , 其中, ,而t是把平移矩陣T的三個(gè)元素看成向量。 如此，我們確定了旋轉(zhuǎn)矩陣和平移關(guān)系的基本形勢R，T。而R，T與R，T相差一個(gè)比列因子k，即R=kR，T=kT，k的標(biāo)定可以借助世界坐標(biāo)中已知距離的兩個(gè)點(diǎn)和。 本質(zhì)矩陣的求解 本小節(jié)給出一種新的本質(zhì)矩陣的求解方法。與已有的算法相比，新方法顯得更為容易理解和實(shí)現(xiàn)。本質(zhì)矩陣Q的定義本身就是求解的依據(jù)。假設(shè)是左右眼匹配點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)成的向量，記和，滿足展

24、開，得 ()其中，q11，q12，q13,.,q33為矩陣Q的九個(gè)元素，也是要求接的未知數(shù)。一般地，可以帶入九個(gè)匹配點(diǎn)的坐標(biāo)組成方程組來求解。但根據(jù)線性代數(shù)理論，這是一個(gè)齊次方程組，當(dāng)系數(shù)矩陣的行列式為零時(shí)，有無窮多解。若找到一個(gè)特解Q0。那么通解的形式是Q=。下面我們只需要找到這樣的一個(gè)特解Q0令q33=1.則（）變?yōu)?.()則方程組不再是齊次的，而存在唯一的解。下面是用最小二乘法來求得方程組的解。 在左右眼找到N個(gè)匹配點(diǎn)和，i=1，k，N代入式（），得到一個(gè)過約束方程組其中，A是的系數(shù)矩陣，q-（q11，q12q13，.,q33）是一個(gè)的解向量，過約束方程組的解 如此，就求得了Q的一個(gè)特解

25、Q0，Q=。這里，是一個(gè)特定的常數(shù)，它的確定可以結(jié)合的待定常數(shù)k一起進(jìn)行。具體標(biāo)定步驟 1. 利用傳統(tǒng)的方法分別對(duì)左右兩臺(tái)攝像機(jī)的內(nèi)部參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定?？刂泣c(diǎn)通過精確打印的靶標(biāo)圖案提取，該圖案沿著平行于光軸方向多次放置，精確記下各次放置的位置。 2.把已完成單目標(biāo)定的兩臺(tái)攝像機(jī)安裝到時(shí)間系統(tǒng)中，固定。 3.分別在左右影像中確立匹配像素度，列出方程，并按照和5.4.4接觸本質(zhì)矩陣Q,匹配點(diǎn)的位置沒有嚴(yán)格要求，但力求均勻分布。同時(shí)，因?yàn)榉匠痰那蠼庥昧俗钚《朔?，所以匹配點(diǎn)的數(shù)量越多，方程的解越精確。為了精確的在圖像上提取匹配點(diǎn)，建議使用一種被廣泛采用的類似于靶標(biāo)的圖案的擺放位置。控制點(diǎn)的分布根據(jù)兩臺(tái)攝

26、像機(jī)的基線長度而定，盡可能的遍布攝像機(jī)的公共視角。4.根據(jù)的原理求出兩臺(tái)攝像機(jī)的相對(duì)位置R和T。待定比列因子k。5.最后，標(biāo)定比列因子k。具體做法是先設(shè)定兩個(gè)表定點(diǎn)，測出他們的距離d0;其次，通過R和T求出其在攝像機(jī)坐標(biāo)系下的距離d，因?yàn)镽和T是k的線性函數(shù)，所以d也是k的線性函數(shù)，即。解一個(gè)一次的線性方程（f（k）=k0）即可得到比例因子k。6模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn) 參考文獻(xiàn)：附件：1問題二的MATLAB算法程序：f=417.1958; %焦距dx=0.2646;%水平方向上的點(diǎn)距dy=0.2646;%垂直方向上的點(diǎn)距u0=512;v0=384;Zc=417.1958A=322,146,1;462

27、,190,1;677,209,1;574,536,1;287,462,1;242,502,1%像素坐標(biāo)值B=13,125,0,1;55,113,0,1;125,113,0,1;113,1,0,1;13,25,0,1;1,13,0,1%與像素坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)的世界坐標(biāo)值Q=(Zc*A)/B %系數(shù)的確定D1=Q*13,113,0,1;43,113,0,1;113,113,0,1;113,13,0,1;13,13,0,1/417.1958 %像素坐標(biāo)的個(gè)像素坐標(biāo)值D=Q*13,113,0,1;43,113,0,1;113,113,0,1;113,13,0,1;13,13,0,1/(417.1958*3.

28、78) %像坐標(biāo)中各坐標(biāo)點(diǎn)的值D1=326.0413 418.9795 635.8352 586.5473 276.7535 189.0375 192.0148 198.9619 506.8640 496.9396 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000D =86.2543 110.8411 168.2104 155.1712 73.2152 50.0099 50.7976 52.6354 134.0910 131.46550.2646 0.2646 0.2646 0.2646 0.26462.灰度質(zhì)心法的MATLAB程序%灰度處理附件三（1）a=imread(1

29、.jpg);a=rgb2gray(a);imhist(a,256);imshow(a);b=imadjust(a,0/255,150/255,);figure,imshow(b);figure,imhist(b,256);%方式一附件三（2）%AX=305,319,334,348,286,303,320,336,353,283,303,319,336,351,303,319,333,399,319,333;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XA=Sx/(K*Pxy)Y=158,159,159,159,175,166,167,190,190,190,190,192

30、,206,207,209,209,223,223,224;Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);Ya=Sy/(N*Pxy)XA =325.1000YA =189.2632%BX=416,429,398,415,429,449,384,401,415,432,449,385,399,415,430,447,401,416,444,422;Y=159,159,173,176,176,175,190,189,192,190,189,207,207,207,207,209,223,221,223,231;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XB=Sx/(K

31、*Pxy)Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);YB=Sy/(N*Pxy)XB=418.8000YB=195.1500%CX=638,653,624,639,655,672,608,622,639,655,670,607,622,638,653,622,639,653,642;Y=177,176,192,190,190,191,206,209,209,206,206,223,224,223,221,240,240,240,248;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XC=Sx/(K*Pxy)Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);YC

32、=Sy/(N*Pxy)XC=641.3529YC=207%DX=573,605,607,560,576,591,608,560,574,591,608,557,576,591;Y=478,478,478,494,495,495,497,512,511,511,511,526,526,528;K=length(X);Pxy=1;Sx=sum(X.*Pxy);XD=Sx/(K*Pxy)Sy=sum(Y.*Pxy);N=length(Y);YD=Sy/(N*Pxy)XD = 584.0714YD =502.8571%E%X=272,288,305,255,369,388,305,319,254,269,288,303,269,286,320;%Y=478,480,477,495,495,497,494,495,511,509,509,511,528,526,497;%K=length(X);%Pxy=1;%Sx=sum(X.*Pxy);%XE=Sx/(K*Pxy)%Sy=sum