數(shù)學(xué)建模宿舍建設(shè)方案

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)報(bào)告2011 2012學(xué)年度第 一 學(xué)期對(duì)學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的評(píng)價(jià)摘要:就“學(xué)生宿舍設(shè)計(jì)方案的綜合評(píng)價(jià)問(wèn)題”解決方案，運(yùn)用線性加權(quán)綜合法的評(píng)價(jià)模型和基于灰色關(guān)聯(lián)分析的綜合評(píng)價(jià)模型。線性加權(quán)綜合法的評(píng)價(jià)模型，首先進(jìn)行了數(shù)據(jù)處理，通過(guò)宿舍建設(shè)和運(yùn)行的成本以及對(duì)學(xué)生的收費(fèi)來(lái)衡量宿舍方案的經(jīng)濟(jì)性，以評(píng)分的模式來(lái)衡量宿舍方案的舒適性與安全性。經(jīng)濟(jì)性、舒適性和安全性三項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)都化為極大型來(lái)處理，對(duì)其進(jìn)行無(wú)量綱化處理消除各自的度量單位及數(shù)量級(jí)的差別，用極差法確定三項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重系數(shù)，得出方案的最終評(píng)價(jià)值，從而得出四最優(yōu)結(jié)論。關(guān)鍵字:線性加權(quán)綜合 類型一致化處理 無(wú)量綱化處理 灰色關(guān)聯(lián)

2、分析 母序列 子序列 關(guān)聯(lián)度 一、問(wèn)題重述學(xué)生宿舍事關(guān)學(xué)生在校期間的生活品質(zhì), 直接或間接地影響到學(xué)生的生活、學(xué)習(xí)和健康成長(zhǎng)。學(xué)生宿舍的使用面積、布局和設(shè)施配置等的設(shè)計(jì)既要讓學(xué)生生活舒適，也要方便管理, 同時(shí)要考慮成本和收費(fèi)的平衡, 這些還與所在城市的地域、區(qū)位、文化習(xí)俗和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平有關(guān)。因此，學(xué)生宿舍的設(shè)計(jì)必須考慮經(jīng)濟(jì)性、舒適性和安全性等問(wèn)題。 經(jīng)濟(jì)性：建設(shè)成本、運(yùn)行成本和收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)等。 舒適性：人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)等。 安全性：人員疏散和防盜等。通過(guò)建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)綜合考慮經(jīng)濟(jì)性，舒適性，安全性這三項(xiàng)指標(biāo)，來(lái)找出一種最好的宿舍建設(shè)方案。二、問(wèn)題的分析本題來(lái)源我們的實(shí)

3、際，好的宿舍設(shè)計(jì)方案必然有較高的經(jīng)濟(jì)性、舒適性以及安全性，因此需要考慮如下問(wèn)題： 1. 宿舍的建設(shè)和運(yùn)行成本，以及對(duì)學(xué)生的收費(fèi)能夠盡量低； 2. 學(xué)生的人均面積能夠盡量大；3. 學(xué)生宿舍的設(shè)施能夠盡量符合學(xué)生的日常需求，使其使用相對(duì)方便；4. 學(xué)生在宿舍中的生活、學(xué)習(xí)和休息能夠盡量互不干擾；5. 學(xué)生宿舍的采光和通風(fēng)盡量相對(duì)較好； 6. 學(xué)生宿舍在人員疏散時(shí)能夠盡量相對(duì)較為安全；7. 學(xué)生宿舍的防盜性盡量相對(duì)較好；此問(wèn)題評(píng)價(jià)四個(gè)宿舍設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，通過(guò)對(duì)三項(xiàng)指標(biāo)經(jīng)濟(jì)性，舒適性，安全性的考慮來(lái)確定，而經(jīng)濟(jì)性通過(guò)對(duì)其建設(shè)成本和運(yùn)行成本、對(duì)學(xué)生的收費(fèi)加以分析，舒適性通過(guò)對(duì)人均面積、使用方便、互不干擾

4、、采光和通風(fēng)等方面加以分析，而對(duì)安全性而言，主要是考慮人員疏散和防盜的問(wèn)題。三、模型假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明1） 模型假設(shè)1. 假設(shè)題目所給的數(shù)據(jù)真實(shí)可靠；2. 四種設(shè)計(jì)所在城市的地域、區(qū)位、文化習(xí)俗和經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相同；3. 假設(shè)模型一優(yōu)化之前，在經(jīng)濟(jì)上只考慮建設(shè)成本，4種方案價(jià)格均為1000元/；4. 有陽(yáng)臺(tái)，私人衛(wèi)生間，客廳，活動(dòng)室，自習(xí)室，簡(jiǎn)易餐廳、廚房、垃圾間、開水間等設(shè)施對(duì)學(xué)生的舒適程度產(chǎn)生一定影響；5. 假設(shè)模型一優(yōu)化之前，將各種方案中的電梯視為樓梯。6.2） 符號(hào)說(shuō)明1. n種方案的m項(xiàng)指標(biāo)的指標(biāo)值為，其中2. 為無(wú)量化后的指標(biāo)值；3. 為4種方案的第項(xiàng)指標(biāo)值的最大值；4. 為4種方案的第

5、項(xiàng)指標(biāo)值的的最小值；5. 為4種方案的第項(xiàng)指標(biāo)的極差的絕對(duì)值的最大值；6. 為3項(xiàng)指標(biāo)各自所占的權(quán)重系數(shù)；7. 人均建筑面積為；8. 為第種方案的綜合評(píng)價(jià)值；其中；9. 每種方案的宿舍建設(shè)面積10. 每種方案中宿舍容納學(xué)生的總?cè)藬?shù)為；11. 表示第種方案在第項(xiàng)指標(biāo)上的評(píng)價(jià)值四、模型的建立與求解4.1模型一的建立與求解三大指標(biāo)的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備(1) 經(jīng)濟(jì)性宿舍建筑面積的大小應(yīng)該與此樓層學(xué)生人數(shù)相緊密聯(lián)系，在面積固定的情況下，人數(shù)越多，人均面積就越小，所投入的資金就相對(duì)較少，所以先計(jì)算出各種方案的人均建筑面積：；表一 方案一方案二方案三方案四人均建筑面積4.76812.0919.77614.298為了簡(jiǎn)

6、化模型，我們暫且不考慮成本與收費(fèi)的平衡，僅以建設(shè)成本和運(yùn)行成本來(lái)衡量經(jīng)濟(jì)性這一指標(biāo)，假設(shè)宿舍的建設(shè)和運(yùn)行成本總和為對(duì)表一進(jìn)行進(jìn)一步的處理，得到人均所需建設(shè)費(fèi)用為：，在此作為經(jīng)濟(jì)性的衡量值，具體數(shù)據(jù)如下表：表二 方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性476812091977614298(2) 舒適性舒適性應(yīng)與人均面積、使用方便、互不干擾、采光和通風(fēng)等緊密聯(lián)系起來(lái)。而此時(shí)需要建立一種評(píng)判的標(biāo)準(zhǔn)，來(lái)對(duì)這四種宿舍建設(shè)方案的舒適性程度進(jìn)行比較評(píng)價(jià)，我們主要通過(guò)打分的模式來(lái)為各種因素進(jìn)行具體的數(shù)值量化。對(duì)于人均面積，在相對(duì)較小的情況下它的增大對(duì)個(gè)人的影響比較大，而在后來(lái)大到一定的程度時(shí)隨著人均面積的繼續(xù)增大對(duì)個(gè)人

7、的影響程度逐漸變小，所以據(jù)此建立一種人均面積評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：表三 （分）人均面積評(píng)分1020283439434546相應(yīng)方案方案一（4.768）方案三（9.776）方案二（12.091）方案四（14.298）對(duì)于舒適性中使用方便標(biāo)準(zhǔn)的評(píng)價(jià)，主要是看各種宿舍設(shè)計(jì)方案是否有獨(dú)立衛(wèi)生間，有無(wú)開水間，垃圾間，餐廳，陽(yáng)臺(tái)，活動(dòng)室等設(shè)施。對(duì)此我們?cè)谌司娣e的基礎(chǔ)得分上建立了如下的加分模式：表四 （分）加分項(xiàng)有活動(dòng)室有夜間自習(xí)室有簡(jiǎn)易餐廳有垃圾間有開水間有獨(dú)立盥洗室有客廳有陽(yáng)臺(tái)有獨(dú)立衛(wèi)生間加分+6+6+3+3+3+3+6+10+10所以衡量舒適性程度最后的評(píng)分為：人均面積得分+加分項(xiàng)總分；從而可以統(tǒng)計(jì)出這四種宿舍

8、設(shè)計(jì)方案的舒適性程度評(píng)分，具體數(shù)據(jù)如下：表五 （分）舒適性方案一方案二方案三方案四評(píng)分28865865(3) 安全性在這四種宿舍設(shè)計(jì)方案中對(duì)安全性而言，我們?cè)谶@里主要是考慮每個(gè)樓梯（為了簡(jiǎn)化模型，在此處暫把電梯也視為樓梯）能夠疏散的學(xué)生數(shù)，每個(gè)樓梯承載的人數(shù)越少就說(shuō)明疏散的就越快，安全性就相對(duì)較高，以此來(lái)作為衡量安全性的標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于每種方案，宿舍的樓梯承載人數(shù)計(jì)算公式如下：宿舍的樓梯承載人數(shù) = 樓層的總?cè)藬?shù)/樓層的樓梯總數(shù)。具體計(jì)算數(shù)據(jù)如下表：表六 安全性方案一方案二方案三方案四評(píng)分924445.626.4關(guān)于線性加權(quán)綜合法的評(píng)價(jià)模型(1) 評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化處理經(jīng)濟(jì)性的指標(biāo)是極小型（成本越

9、低，經(jīng)濟(jì)性越好）；舒適性的指標(biāo)是極大型（指標(biāo)越高，舒適性越好）；安全性的指標(biāo)是極小型（平均每個(gè)樓梯承載的人數(shù)越少，疏散性就越好，安全性就越高）。下面對(duì)這三項(xiàng)指標(biāo)都運(yùn)用極大型處理a) 對(duì)極小型指標(biāo)經(jīng)濟(jì)性的指標(biāo)作極大化變化，即令平移變換： 其中 b) 對(duì)極小型指標(biāo)安全性的指標(biāo)作極大化變化，即令平移變換： 其中通過(guò)統(tǒng)一運(yùn)用極大型處理，從而得到如下數(shù)據(jù)： 表七方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性9530220745220舒適性28865865安全性04846.465.6(2) 評(píng)價(jià)指標(biāo)的無(wú)量綱化處理 經(jīng)濟(jì)性、舒適性、安全性這3項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)由于各自的度量單位及數(shù)量級(jí)之間的差別，而存在著不可公度性，這就為確定綜合

10、評(píng)價(jià)指標(biāo)帶來(lái)了困難和問(wèn)題。為此，為了盡可能的反映實(shí)際情況，消除各指標(biāo)之間的單位不同，以及數(shù)量級(jí)之間差別的影響，我們需要對(duì)各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)做無(wú)量綱化處理。 在此處我們使用極差化的方法來(lái)對(duì)4種方案的3項(xiàng)指標(biāo)的指標(biāo)值進(jìn)行無(wú)量綱化處理，令 則新的指標(biāo)為，即把作為無(wú)量化的指標(biāo)值，通過(guò)計(jì)算，從而統(tǒng)計(jì)出無(wú)量化后的指標(biāo)值為：表八方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性舒適性安全性(3) 運(yùn)用極差法計(jì)算項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)所占的權(quán)重系數(shù)，其中，由此我們可以計(jì)算出三項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)各自所占的權(quán)重系數(shù)為：。(4) 求綜合評(píng)價(jià)值 為了能使各評(píng)價(jià)指標(biāo)間的作用得到線性補(bǔ)償，保證綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)的公平性，我們運(yùn)用線性模型：，來(lái)計(jì)算4種方案的綜合評(píng)價(jià)值，綜合

11、評(píng)價(jià)值越高，就表明宿舍的設(shè)計(jì)方案越合理。通過(guò)計(jì)算得到的綜合評(píng)價(jià)值如下表：表九方案方案一方案二方案三方案四綜合評(píng)價(jià)值0.33330.65440.56630.5460排名第四第一第二第三通過(guò)表九可以顯然看出來(lái)方案二最好。模型一的優(yōu)化與求解(1) 經(jīng)濟(jì)方面在實(shí)際情況中，不可能僅由建設(shè)成本來(lái)衡量經(jīng)濟(jì)性的優(yōu)劣，更應(yīng)該考慮到宿舍建設(shè)和運(yùn)行的成本與對(duì)學(xué)生的收費(fèi)兩者之間的平衡。在建設(shè)和運(yùn)行成本方面，由于方案二的建筑結(jié)構(gòu)最復(fù)雜，公共區(qū)功能最多，因此成本為四個(gè)方案中最高；而方案一建筑結(jié)構(gòu)和設(shè)施最為簡(jiǎn)單，因此成本為四個(gè)方案中最低；方案三、四建設(shè)和運(yùn)行成本適中。對(duì)此，我們制定如下建設(shè)和運(yùn)行成本標(biāo)準(zhǔn)：表十方案一方案二方

12、案三方案四建設(shè)成本1000（元/m2）1200（元/m2）1100（元/m2）1100（元/m2）運(yùn)行成本1.5（元/（人*天）2（元/（人*天）1.8（元/（人*天）1.8（元/（人*天）假設(shè)學(xué)生在宿舍居住九個(gè)月，即270天。因此有收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：人均建設(shè)成本*8%+人均日運(yùn)行費(fèi)用*270。通過(guò)計(jì)算，得出下表數(shù)據(jù)：表十一 （元/人）方案一方案二方案三方案四費(fèi)用786.441700.7361189.8721744.224最終通過(guò)學(xué)生人均收費(fèi)費(fèi)用來(lái)衡量經(jīng)濟(jì)性的優(yōu)劣。(2) 舒適性方面在這里，我們需要在原有基礎(chǔ)上對(duì)互不干擾、采光和通風(fēng)方面進(jìn)行進(jìn)一步細(xì)化。a) 方案一，宿舍為8人間，人均宿舍面積僅為3.

13、1875平米，且學(xué)習(xí)，休息都在宿舍內(nèi)，容易互相干擾；L型的建筑結(jié)構(gòu)，靠北側(cè)的房間冬天采光差，七個(gè)朝西的房間夏天受西曬影響嚴(yán)重。加上走道為內(nèi)走道，空氣流動(dòng)性差，不利于通風(fēng)。b) 方案二，宿舍為4人間，人均面積為6.25平米，設(shè)置了夜間自習(xí)室與活動(dòng)室，達(dá)到了互不干擾的效果；c) 方案三，宿舍為6人間，人均面積為4.48平米；公共衛(wèi)生間進(jìn)深太長(zhǎng)，約8米，寬度又太窄，2.1米，只有一側(cè)有窗，非常不利通風(fēng)，并且不清潔。d) 方案四，宿舍為6人間，兩人一臥室，人均面積為8.75平米，舒適性較高， 相互干擾因素也很少。但套間中每個(gè)小間均無(wú)陽(yáng)臺(tái)和窗，通風(fēng)和采光差。且衛(wèi)生間沒(méi)有任何采光和通風(fēng)。因此，依據(jù)以上因素

14、，我們需要在舒適性這一塊各個(gè)方案原有的評(píng)分下增加以下更為細(xì)化的加減分評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。 首先在互不干擾方面，有下表：表十二 （分）2人一臥室4人間6人間8人間加分+3+2+1+0相應(yīng)方案方案四方案二方案三方案一 其次在采光通風(fēng)方面，有下表： 表十三 （分）房間西曬影響北側(cè)房間冬天采光差內(nèi)走道衛(wèi)生間無(wú)采光和通風(fēng)減分-3-3-3-3相應(yīng)方案方案一方案二主要為方案二、三、四方案一方案四結(jié)合各個(gè)方案原有評(píng)分，以及表十二、十三，在舒適性方面有如下新的評(píng)分：表十四 (分)方案一方案二方案三方案四評(píng)分25825662(3) 安全性方面在安全方面需要對(duì)人員的疏散考慮，這時(shí)需要考慮的因素有如下a) 平均每人離樓梯的最近

15、距離；在此定義為：每人離樓梯最近距離的總和/學(xué)生總?cè)藬?shù)b) 平均每人所占的走廊面積；在此定義為：走廊面積的總和/學(xué)生總?cè)藬?shù) c) 平均每個(gè)樓梯要疏散的學(xué)生數(shù)；考慮到在危急情況下，進(jìn)行人員疏散時(shí)，不走電梯，故在此處定義為：學(xué)生總?cè)藬?shù)/樓梯總數(shù)；d) 樓梯的寬度；e) 樓梯的門數(shù)：疏散樓梯設(shè)置兩道門，不利于消防和緊急疏散。f) 防盜問(wèn)題；為此我們制定了相應(yīng)的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)表十五 （mm/人）平均每人離樓梯的最近距離得分2015105相應(yīng)方案方案一（1146）方案三（4576）方案四（5396）方案二（7713）表十六 （mm2/人）平均每人所占的走廊面積得分5101520相應(yīng)方案方案一（0.6911）方

16、案二（0.5891）方案三（1.6737）方案四（3.0436）表十七 （人/樓梯）平均每個(gè)樓梯要疏散的人數(shù)得分2015105相應(yīng)方案方案四（66）方案一（92）方案二（110）方案三（114）表十八 （mm）樓梯寬度得分5101520相應(yīng)方案方案四（1500）方案一（1550）方案二（1650）方案三（1650）表十九 （分）樓梯門數(shù)12減分-0-5相應(yīng)方案方案一方案二、三、四表二十方案一：靠近樓梯與公共區(qū)域（衛(wèi)生間，洗漱間）的宿舍，由于此區(qū)域靠近衛(wèi)生間與洗漱間，過(guò)道區(qū)的人員流動(dòng)將非常頻繁，不利于防盜。-10分方案二：防盜情況良好。方案三：兩個(gè)寢室共用一個(gè)陽(yáng)臺(tái)，而陽(yáng)臺(tái)的中間實(shí)際成了進(jìn)衛(wèi)生間的

17、通道，通常衛(wèi)生間與陽(yáng)臺(tái)的門不設(shè)置門鎖，這樣一來(lái)兩個(gè)相鄰的寢室是聯(lián)通的，不利于防盜。-10分方案四：防盜情況良好。我們將6項(xiàng)因素的得分求和作為最后衡量安全性的標(biāo)準(zhǔn)。具體數(shù)據(jù)如下表：表二十一 （分）方案一方案二方案三方案四評(píng)分35353050(4) 具體處理 經(jīng)過(guò)以上三方面的數(shù)據(jù)處理，我們得到了初始數(shù)據(jù)，如下表：表二十二方案指標(biāo)方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性786.441700.7361189.8721744.224舒適性25825662安全性35353050其中經(jīng)濟(jì)型的指標(biāo)是極小型（指標(biāo)越低，經(jīng)濟(jì)性越好）而舒適性與安全性均為極大型指標(biāo)，故將經(jīng)濟(jì)型指標(biāo)作極大化處理，具體步驟同2.1.從而有：表二十

18、三方案指標(biāo)方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性957.78443.488554.3520舒適性25825662安全性35353050接著同樣通過(guò)極差化方法進(jìn)行無(wú)量化綱化處理，具體步驟同2.2有：表二十四方案指標(biāo)方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性舒適性安全性各項(xiàng)指標(biāo)所占的權(quán)重系數(shù)仍為：；同樣運(yùn)用2.4綜合評(píng)價(jià)值的求法，得到最終結(jié)果如下表：表二十五方案方案一方案二方案三方案四綜合平均值0.41670.43180.37420.5497排名第三第二第四第一顯然通過(guò)優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)方案四相對(duì)原先得出的方案二更為合理。因?yàn)樵趦?yōu)化過(guò)程中，結(jié)合了實(shí)際，取消了電梯視為樓梯的假設(shè)，且考慮到了房間的朝向、更加細(xì)化的分析了宿舍的采光

19、與通風(fēng)問(wèn)題、同時(shí)添加了防盜等新的因素，因而得出了與模型優(yōu)化前所不同的結(jié)果，且優(yōu)化后更為合理。4.2 模型二的建立與求解根據(jù)4種方案的3個(gè)指標(biāo)的指標(biāo)值，給出了這4種方案的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)值。從而分析各種方案的好壞?；疑P(guān)聯(lián)分析方法綜合評(píng)價(jià)模型的建立：灰色關(guān)聯(lián)分析方法的基本思想是：將評(píng)價(jià)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求關(guān)聯(lián)度，即按照一定的準(zhǔn)則定義出母序列，計(jì)算出各個(gè)子序列與母序列的關(guān)聯(lián)度，再加以比較得到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。選定母序列和比較序列定義評(píng)價(jià)值矩陣H，其中的元素表示第種方案在項(xiàng)指標(biāo)上的評(píng)價(jià)值，如下表：表二十六方案指標(biāo)方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性舒適性安全性母序列 令，由構(gòu)成母序列，則有。子序列（比較序列） :由分別構(gòu)

20、成4個(gè)比較序列。即 計(jì)算關(guān)聯(lián)度在子序列中，每個(gè)數(shù)值與母序列中相應(yīng)數(shù)值的關(guān)聯(lián)系數(shù)可以由以下公式算出：，其中；為分辨系數(shù)，其值越高，分辨率越高；其值越低，分辨率越低，在這里我們定義=0.5；對(duì)關(guān)聯(lián)系數(shù)取均值能得到相應(yīng)的關(guān)聯(lián)度。從而有關(guān)聯(lián)系數(shù)：表二十七方案指標(biāo)方案一方案二方案三方案四經(jīng)濟(jì)性舒適性安全性從而就能夠把綜合評(píng)判值能夠算出來(lái)，見下表：表二十八方案方案一方案二方案三方案四綜合評(píng)判值/98339892793710897排名第三第二第四第一顯然方案四最佳。（排名結(jié)果與模型一相一致）方案四雖然收費(fèi)較高，但在舒適性和安全性方面做得較好，綜合性價(jià)比較高，故在此處為最優(yōu)方案；而方案一、二、三分別在舒適性、經(jīng)濟(jì)性和安全性上有所欠缺，故綜合評(píng)定下來(lái)，不如方案四。五、模型的評(píng)價(jià)優(yōu)點(diǎn)：1） 本文模型充分考慮了影響宿舍經(jīng)濟(jì)性、舒適性與安全性的各個(gè)因素，并以評(píng)分的模式來(lái)量化了舒適性與安全性，大大簡(jiǎn)化了數(shù)據(jù)處理的復(fù)雜程度。2） 分析處理數(shù)據(jù)的時(shí)候，暫時(shí)先從大的方面開始處理，然后再一步步細(xì)化，直到分的