數(shù)學(xué)考研筆記

1、數(shù)學(xué)筆記三角函數(shù)1，2積化和差：，3和差化積：，4倍角公式：，5半角公式：，6萬(wàn)能公式：設(shè)，則 ，7將次公式：，8其他：，函數(shù)極限的性質(zhì)（1）極限唯一；（反證）（2）有界性：若，則在某個(gè)內(nèi)有界；（3）局部保號(hào)性；推論1：若，且A>B，則在某個(gè)內(nèi)；推論2：若，且在某個(gè)內(nèi)，則AB。夾逼定理：若在某個(gè)內(nèi)uvw，且，則。Heine定理：對(duì)以為極限的數(shù)列且，都有。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理：設(shè)， （1）有界定理：則M>0，st；（2）最值定理：則，st；（3）根值定理：若，則，st；若，則，st；（4）介值定理：且，則對(duì)，都，st；Stolz定理：設(shè)且，若(有限值或)，則。推論1：若，則；推

2、論2：若，且，則；推論3：若，且，則（補(bǔ)充首項(xiàng)1）。Cauchy收斂準(zhǔn)則：收斂對(duì)，當(dāng)時(shí)總有。Cauchy收斂準(zhǔn)則：，對(duì)，總有。Cauchy收斂準(zhǔn)則：收斂，當(dāng)時(shí)，對(duì)總有。Cauchy收斂準(zhǔn)則：，對(duì)，總有對(duì)以第一類(lèi)間斷點(diǎn)：均存在，其中：（或不存在），稱(chēng)為可去型；。稱(chēng)為跳躍型。第二類(lèi)間斷點(diǎn)：至少有一個(gè)不存在，其中：若之中有一個(gè)為，稱(chēng)為無(wú)窮型。常用極限，令，則，。等價(jià)無(wú)窮小量。極限趨近速度雙曲函數(shù)（奇），（偶），(奇)，反：，一根兩端固定自然下垂的繩索，如兩根電線(xiàn)桿間的電線(xiàn)，稱(chēng)為懸鏈線(xiàn)，其方程為：常用導(dǎo)數(shù)高階微分， 不具有形式不變性：為自變量時(shí)，；為中間變量時(shí)，。誤差估計(jì)（1）準(zhǔn)確值：A 近似值：a絕

3、對(duì)誤差： 相對(duì)誤差：。若（最大）絕對(duì)誤差： （最大）絕對(duì)誤差：。（2），的最大絕對(duì)誤差：。常用積分（不定積分已略去常數(shù)C），其中：正交性：廣義積分； 。，。變限積分求導(dǎo)，其中：函數(shù)的極值與最值、駐點(diǎn)與拐點(diǎn)1極值點(diǎn)的必要條件：若是的極值點(diǎn)，則或不存在。充分條件：在，若在內(nèi)，且在內(nèi)，則；在內(nèi)，且在內(nèi)，則；在和內(nèi)正負(fù)號(hào)相同，則不是極值點(diǎn)。充分條件：設(shè)存在，且，則若，；若，。充引申：設(shè)存在，且，則若為偶數(shù)，當(dāng)，；當(dāng)，。若為奇數(shù)，不是極值點(diǎn)。2最值：；。3駐點(diǎn)：，則稱(chēng)為的駐點(diǎn)。駐點(diǎn)不一定為極值點(diǎn)。4拐點(diǎn)：若在處連續(xù)，且在和內(nèi)正負(fù)號(hào)相反，則稱(chēng)為的拐點(diǎn)?；虿淮嬖诘狞c(diǎn)和的點(diǎn)可能為拐點(diǎn)。 曲線(xiàn)C在拐點(diǎn)處凹向發(fā)生

4、改變。函數(shù)的凸凹1所謂凸凹是指朝向看去的直觀(guān)結(jié)果。2，則：凸函數(shù)向上凹（往上無(wú)限）；凹函數(shù)向下凹（往下無(wú)限）。3詹生不等式：若在上是凸函數(shù)，則有：，其中 且。漸近線(xiàn)、曲率與漸屈線(xiàn)1漸近線(xiàn) 垂直：或，則直線(xiàn)即為垂直漸近線(xiàn)；斜：，其中；水平：，則直線(xiàn)即為水平漸近線(xiàn)。2弧微分曲率，曲率半徑 曲率中心坐標(biāo)：，3漸屈線(xiàn)（中心軌跡）：，原曲線(xiàn)為漸開(kāi)線(xiàn)。函數(shù)作圖基本步驟確定定義域討論對(duì)稱(chēng)性與周期性求出，定出或不存在的點(diǎn)列表確定曲線(xiàn)的升降和凹向，算出極值和拐點(diǎn)討論漸近線(xiàn)描出特殊點(diǎn)，繪出曲線(xiàn)。微分定理1Fermat定理 函數(shù)在內(nèi)有定義，在處可導(dǎo)，且在取局部極值，則。2Roll定理 若函數(shù)，且：，則，。3Lagr

5、ange定理 若函數(shù)，則，；變形則，微分中值定理；變形則，；變形記，則，有限增量公式。推論 若函數(shù)在內(nèi)有，則在內(nèi)為一常數(shù)。推論 若兩函數(shù)及對(duì)有，則 （C為一常數(shù)）。推論 若函數(shù)在上存在有界導(dǎo)數(shù)，則在上滿(mǎn)足Lipschitz條件。Lipschitz條件：若函數(shù)在上有定義，且存在常數(shù)， 對(duì)有：，則稱(chēng)在上滿(mǎn)足Lipschitz條件。4Cauchy定理 若函數(shù),且對(duì)，則，。微分中值定理的應(yīng)用（輔助函數(shù)的構(gòu)造）Lagrange格式：。Cauchy格式： OR 。格式：其中為關(guān)于的輪換對(duì)稱(chēng)式。分離得到輪換式 ，。E.g 1 欲證：。，。E.g 2欲證：。，。E.g 3欲證：。E.g 4欲證：。 令 ，。函

6、數(shù)的一致性連續(xù)Def設(shè)在上有定義，若對(duì)，總存在只與有關(guān)而與內(nèi)的無(wú)關(guān)的，當(dāng)，恒有，則稱(chēng)函數(shù)在上一致連續(xù)，否則稱(chēng)非一致連續(xù)。PS 若要證函數(shù)在上非一致連續(xù)，只證：，對(duì)，總，雖然，但?；蛴梅醋C法推出矛盾。Cantor定理設(shè)，則在閉區(qū)間上一致連續(xù)。判定對(duì)滿(mǎn)足Lipschitz條件：為常數(shù)，則在上一致連續(xù)。函數(shù)可積條件定理閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)是可積的。定理在閉區(qū)間上除去有限個(gè)點(diǎn)外都連續(xù)的有界函數(shù)（即具有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn)）是可積的。推論閉區(qū)間上的分段連續(xù)函數(shù)是可積的。定理閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)必可積。定積分中值定理第一定理：設(shè)，且在上不變號(hào)，則，。推論 設(shè)，則，。性質(zhì) 設(shè)在上可積，則也可積，且。第二定理：設(shè)，

7、且在上不變號(hào)，則，。Taylor公式1多項(xiàng)式;2函數(shù)，Peano余項(xiàng);3函數(shù)，Lagrange余項(xiàng)，其中；注：具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和階導(dǎo)數(shù)，所以證明時(shí)只可以用次L'Hospital法則，最后一步用Lagrange定理：。4Maclaurin公式：，在。5高階微分形式：，()。 其中，僅適用于為自變量的情況。關(guān)于積分的處理令，則：尤拉變換：令，。函數(shù)序列的一致收斂性Def 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)序列，若對(duì)，收斂，則稱(chēng)在上逐點(diǎn)收斂。：對(duì)，當(dāng)時(shí)有：，則：。Def 設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù)序列，若有定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足：，總，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切都有： 則稱(chēng)在上一致收斂。定理(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則)在區(qū)間

8、上一致收斂，總，當(dāng)時(shí)，對(duì)一切都有：。又?jǐn)⑹鰹椋涸谏弦恢率諗?，總，?dāng)時(shí)，有：，。 定理設(shè)，且在上一致收斂于，則有：；。定理 設(shè)在上收斂于，且在上一致收斂，則有：；。無(wú)窮級(jí)數(shù)定理 若級(jí)數(shù)收斂，則不改變項(xiàng)的順序，而對(duì)任意有限項(xiàng)求和后得到的新級(jí)數(shù)仍收斂，且和數(shù)相同。Def 條件收斂：級(jí)數(shù)收斂但發(fā)散；絕對(duì)收斂：收斂。性質(zhì)收斂收斂。反之不成立；若用比值判別法證明發(fā)散，則也發(fā)散；若收斂，則絕對(duì)收斂。令，則絕對(duì)收斂。在時(shí)收斂，在是發(fā)散。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，總，當(dāng)時(shí)，有：，。M判別 存在收斂級(jí)數(shù)，在區(qū)間上有，則在區(qū)間上一致收斂。關(guān)于冪級(jí)數(shù)1冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間收斂域，收斂區(qū)間為不包括端點(diǎn)的開(kāi)區(qū)間，收斂域可能為閉

9、區(qū)間。2冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)一致收斂，在收斂域內(nèi)收斂，但在半徑點(diǎn)收斂性不定（絕對(duì)or條件or發(fā)散）。3常用冪級(jí)數(shù)公式，；，F(xiàn)ourier級(jí)數(shù)1，其中：。2正弦級(jí)數(shù)（奇式延拓）。需給出間斷點(diǎn)和端點(diǎn)收斂值，其中端點(diǎn)收斂于0。余弦級(jí)數(shù)（偶式延拓）。只給出間斷點(diǎn)收斂值即可。3周期函數(shù) 以為周期的F-級(jí)數(shù)為：；。4將展成F-級(jí)數(shù)得：，。進(jìn)一步可得：，。F-級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，；。微分方程1分離變量型 ；齊次型 ；，其中：，2高階微分方程 ；3一階線(xiàn)性；(1) （齊次）(2) (3) Bernoulli：4二階常系數(shù)線(xiàn)性 ；(1) 齊次特征方程：(2) 非齊次情形一即若為的重根，則方程特解。采用待定系數(shù)法求得。

10、(3) 非齊次情形二 OR Step1求的特解：若為的重根，則；Step2原方程特解 OR。非齊次方程通解，其中為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解。(4) 一般情況常數(shù)變易法，設(shè)。5Euler方程，；。6一階線(xiàn)性方程組 ，特征方程：（齊次）；對(duì)于非齊次用消元法。7R-C回路由于R-C-L回路其中：，。多元函數(shù)微分學(xué)1。2隱函數(shù)求導(dǎo)：，其中；，。3方向?qū)?shù)：，其中：。4空間曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程：，切向量：，其中法平面方程：。5空間曲面的法線(xiàn)方程：，法向量：，切平面方程：。多元函數(shù)的極值定理 設(shè)，令，當(dāng)時(shí)，若，則為極大值點(diǎn)；若，則為極小值點(diǎn)。時(shí)，則不是極值點(diǎn)。時(shí)，則不確定是否是極值點(diǎn)。Lagrange法求約束型極值Obj：St：，構(gòu)造輔助函數(shù)求導(dǎo)：，；，求得上述(m+n)元方程組的解代入目標(biāo)函數(shù)驗(yàn)證。坐標(biāo)變換1極坐標(biāo)系；2廣義極坐標(biāo)系 ；3柱面坐標(biāo)系表示半徑為C的圓，表示過(guò)z軸且與+x方向成角的半平面，表示平行于xoy面的平面，；4球面坐標(biāo)系表示以原點(diǎn)為圓心半徑為C的球面，表示過(guò)z軸且與+x方向成角的半平面，表示以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，以與+z方向成角的射線(xiàn)為母線(xiàn)的半圓錐面，（范圍可由x、y和z的取值范圍確定），；5廣義球面坐標(biāo)系 ；6一般坐標(biāo)變換 ，其中Jacobi行列式；。幾種曲線(xiàn)圖形極坐標(biāo) 表示半徑為的圓； 表示心形線(xiàn)； 表示圓心在x軸上且直徑為的圓；