拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史

1、拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史及其應(yīng)用【摘要】【關(guān)鍵字】拓?fù)鋵W(xué)、【正文】一、什么是拓?fù)鋵W(xué)拓?fù)鋵W(xué)，是近代發(fā)展起來的一個(gè)研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。中文名稱起源于希臘語的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀(jì)中期由科學(xué)家引入，當(dāng)時(shí)主要研究的是出于數(shù)學(xué)分析的需要而產(chǎn)生的一些幾何問題。發(fā)展至今，拓?fù)鋵W(xué)主要研究拓?fù)淇臻g在拓?fù)渥儞Q下的不變性質(zhì)和不變量。 拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)的分支。起初它是幾何學(xué)的一支，研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)(所謂連續(xù)變形，形象地說就是允許伸縮和扭曲等變形，但不許割斷和粘合)；現(xiàn)在已發(fā)展成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。 學(xué)科方向由于連續(xù)性在數(shù)學(xué)中的表現(xiàn)方式與研究方法的多樣性，拓?fù)?/p>

2、學(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支。在拓?fù)鋵W(xué)的孕育階段，19世紀(jì)末，就拓?fù)?拓?fù)鋵W(xué)已出現(xiàn)點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)與組合拓?fù)鋵W(xué)兩個(gè)方向?，F(xiàn)在，前者演化為一般拓?fù)鋵W(xué)，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。后來，又相繼出現(xiàn)了微分拓樸學(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。 數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，研究幾何圖形在連續(xù)改變形狀時(shí)還能保持不變的一些特性，它只考慮物體間的位置關(guān)系而不考慮它們的距離和大小。英topology 舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。

3、例如，下面將要講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時(shí)候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問題的出發(fā)點(diǎn)。 簡單地說，拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。拓?fù)鋵W(xué)由來幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題。 哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩

4、個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個(gè)看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€(gè)明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問題就簡化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來。經(jīng)過進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖

5、形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。 在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。中國曾邦哲于20世紀(jì)80-90年代（結(jié)構(gòu)論）將其命題轉(zhuǎn)換為“四色定理”等價(jià)于“互鄰面最大的多面體是四面體”的問題。 拓?fù)鋵W(xué)四色猜想的提出來自英國。1

6、852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色?！?1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認(rèn)識到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜

7、想相媲美的難題。 進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法。 上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的、基礎(chǔ)性的分支。它最初是幾何學(xué)的一

8、個(gè)分支，主要研究幾何圖形在連續(xù)變形下保持不變的性質(zhì)，現(xiàn)在已成為研究連續(xù)性現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)分支。 拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢分析學(xué)，是萊布尼茨1679年提出的名詞。十九世紀(jì)中期，黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中強(qiáng)調(diào)研究函數(shù)和積分就必須研究形勢分析學(xué)。從此開始了現(xiàn)代拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究。 連續(xù)性和離散性是自然界與社會現(xiàn)象中普遍存在的。拓?fù)鋵W(xué)對連續(xù)性數(shù)學(xué)是帶有根本意義的，對于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推動(dòng)作用。拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的常識。拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法在物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等學(xué)科中都有直接、廣泛的應(yīng)用。 拓?fù)鋵W(xué)是幾何學(xué)的一個(gè)分支，它是從圖論演變過來的。拓?fù)鋵W(xué)將實(shí)體抽象成與其大小、形狀無關(guān)的點(diǎn)，將連接實(shí)體的線路抽象

9、成線，進(jìn)而研究點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渫ㄟ^結(jié)點(diǎn)與通信線路之間的幾何關(guān)系來表示網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，反映出網(wǎng)絡(luò)中各個(gè)實(shí)體之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。拓?fù)湓O(shè)計(jì)是建設(shè)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的第一步，也是實(shí)現(xiàn)各種網(wǎng)絡(luò)協(xié)議的基礎(chǔ)，它對網(wǎng)絡(luò)性能、可靠性與通信代價(jià)有很大影響。網(wǎng)絡(luò)拓?fù)渲饕侵竿ㄐ抛泳W(wǎng)的拓?fù)錁?gòu)型。 編輯本段拓?fù)湫再|(zhì)拓?fù)湫再|(zhì)有那些呢？首先我們介紹拓?fù)涞葍r(jià)，這是比較容易理解的一個(gè)拓?fù)湫再|(zhì)。 在拓?fù)鋵W(xué)里不討論兩個(gè)圖形全等的概念，但是討論拓?fù)涞葍r(jià)的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓?fù)渥儞Q下，它們都是等價(jià)圖形。換句話講，就是從拓?fù)鋵W(xué)的角度看，它們是完全一樣的。 在一個(gè)球面上任選一些點(diǎn)用不相交的線把它們連接起來，這

10、樣球面就被這些線分成許多塊。在拓?fù)渥儞Q下，點(diǎn)、線、塊的數(shù)目仍和原來的數(shù)目一樣，這就是拓?fù)涞葍r(jià)。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓?fù)渥儞Q，就存在拓?fù)涞葍r(jià)。 應(yīng)該指出，環(huán)面不具有這個(gè)性質(zhì)。把環(huán)面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個(gè)彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓?fù)涞淖兂森h(huán)面。所以球面和環(huán)面在拓?fù)鋵W(xué)中是不同的曲面。 直線上的點(diǎn)和線的結(jié)合關(guān)系、順序關(guān)系，在拓?fù)渥儞Q下不變，這是拓?fù)湫再|(zhì)。在拓?fù)鋵W(xué)中曲線和曲面的閉合性質(zhì)也是拓?fù)湫再|(zhì)。 我們通常講的平面、曲面通常有兩個(gè)面，就像一張紙有兩個(gè)面一樣。但德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯(17901868)在1858年發(fā)現(xiàn)了莫比

11、烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)面。 拓?fù)渥儞Q的不變性、不變量還有很多，這里不再介紹。 編輯本段拓?fù)浒l(fā)展拓?fù)鋵W(xué)建立后，由于其它數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展需要，它也得到了迅速的發(fā)展。特別是黎曼創(chuàng)立黎曼幾何以后，他把拓?fù)鋵W(xué)概念作為分析函數(shù)論的基礎(chǔ)，更加促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)展。 二十世紀(jì)以來，集合論被引進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)，為拓?fù)鋵W(xué)開拓了新的面貌。拓?fù)鋵W(xué)的研究就變成了關(guān)于任意點(diǎn)集的對應(yīng)的概念。拓?fù)鋵W(xué)中一些需要精確化描述的問題都可以應(yīng)用集合來論述。 因?yàn)榇罅孔匀滑F(xiàn)象具有連續(xù)性，所以拓?fù)鋵W(xué)具有廣泛聯(lián)系各種實(shí)際事物的可能性。通過拓?fù)鋵W(xué)的研究，可以闡明空間的集合結(jié)構(gòu)，從而掌握空間之間的函數(shù)關(guān)系。上世紀(jì)三十年代

12、以后，數(shù)學(xué)家對拓?fù)鋵W(xué)的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結(jié)構(gòu)概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數(shù)學(xué)分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點(diǎn)附近的彎曲情況，而拓?fù)鋵W(xué)是研究曲面的全局聯(lián)系的情況，因此，這兩門學(xué)科應(yīng)該存在某種本質(zhì)的聯(lián)系。1945年，美籍中國數(shù)學(xué)家陳省身建立了代數(shù)拓?fù)浜臀⒎謳缀蔚穆?lián)系，并推進(jìn)了整體幾何學(xué)的發(fā)展。 拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展到今天，在理論上已經(jīng)十分明顯分成了兩個(gè)分支。一個(gè)分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，或者叫做分析拓?fù)鋵W(xué)。另一個(gè)分支是偏重于用代數(shù)方法來研究的，叫做代數(shù)拓?fù)洹，F(xiàn)在，這兩個(gè)分支又有統(tǒng)一的趨勢。 拓?fù)鋵W(xué)在泛函分析、李群論、微

13、分幾何、微分方程額其他許多數(shù)學(xué)分支中都有廣泛的應(yīng)用。 編輯本段發(fā)展簡史形勢分析學(xué)拓?fù)鋵W(xué)起初叫形勢分析學(xué)，這是G.W.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個(gè)圖形本身的性質(zhì)，勢指一個(gè)圖形與其子圖形相對的性質(zhì)，經(jīng)過20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結(jié)和嵌入問題就是勢的問題)。隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問題，1750年發(fā)表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動(dòng)力學(xué)中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環(huán)繞數(shù)。拓?fù)鋵W(xué)這個(gè)詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(18

14、47)，源自希臘文(位置、形勢)與(學(xué)問)。這是萌芽階段。 1851年起，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強(qiáng)調(diào)，為了研究函數(shù)、研究積分，就必須研究形勢分析學(xué)。從此開始了拓?fù)鋵W(xué)的系統(tǒng)研究，在點(diǎn)集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學(xué)的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓?fù)涓拍睿?組合拓?fù)鋵W(xué)的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓?fù)鋵W(xué)問題的，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，他的主要興趣在n維流形。在18951904年間

15、，他創(chuàng)立了用剖分研究流形的基本方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，并提出了具體計(jì)算的方法。他引進(jìn)了許多不變量：基本群、同調(diào)、貝蒂數(shù)、撓系數(shù)，他探討了三維流形的拓?fù)浞诸悊栴}，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠(yuǎn)，但他的方法有時(shí)不夠嚴(yán)密，過多地依賴幾何直觀。特別是關(guān)于復(fù)函數(shù)的單值化和關(guān)于微分方程決定的曲線的研究中， 拓?fù)鋵W(xué)的另一淵源是分析學(xué)的嚴(yán)密化。他是在分析學(xué)和力學(xué)的工作中，實(shí)數(shù)的嚴(yán)格定義推動(dòng)G.康托爾從1873年起系統(tǒng)地展開了歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，得出許多拓?fù)涓拍?，如聚點(diǎn)（極限點(diǎn)）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點(diǎn)集論的思想影響下，分析學(xué)中出現(xiàn)了泛函數(shù)（即函

16、數(shù)的函數(shù)）的觀念，把函數(shù)集看成一種幾何對象并討論其中的極限。這終于導(dǎo)致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復(fù)函數(shù)的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀(jì)之交，已經(jīng)形成了組合拓?fù)鋵W(xué)與點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)這兩個(gè)研究方向。這是萌芽階段。 一般拓?fù)鋵W(xué)最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在19 拓?fù)鋵W(xué)06年引進(jìn)了度量空間的概念。F.豪斯多夫在集論大綱（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓?fù)淇臻g，標(biāo)志著用公理化方法研究連續(xù)性的一般拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生。L.歐拉1736年解決了七橋問題，隨后波蘭學(xué)派和蘇聯(lián)學(xué)派對拓?fù)淇臻g的基本性質(zhì)（分離性、緊性、連通性等）做了系統(tǒng)的研究。經(jīng)過20世紀(jì)30年代中期起布爾巴基學(xué)派的補(bǔ)充（一

17、致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓?fù)鋵W(xué)趨于成熟，成為第二次世界大戰(zhàn)后數(shù)學(xué)研究的共同基礎(chǔ)。從其方法和結(jié)果對于數(shù)學(xué)的影響看，緊拓?fù)淇臻g和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓?fù)鋵W(xué)晚近的發(fā)展可見一般拓?fù)鋵W(xué)。 歐氏空間中的點(diǎn)集的研究，例如，一直是拓?fù)鋵W(xué)的重要部分，已發(fā)展成一般拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)交匯的領(lǐng)域，也可看作幾何拓?fù)鋵W(xué)的一部分。50年代以來，即問兩個(gè)映射，以R.H.賓為代表的美國學(xué)派的工作加深了對流形的認(rèn)識，是問兩個(gè)給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發(fā)揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數(shù)及連續(xù)統(tǒng)的研究，習(xí)慣上也看成一般拓?fù)鋵W(xué)的分支。 代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)L

18、.E.J.布勞威爾在19101912年間提出了用單純映射逼近連續(xù)映射的方法， 許多重要的幾何現(xiàn)象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進(jìn)了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開創(chuàng)了不動(dòng)點(diǎn)理論。他使組合拓?fù)鋵W(xué)在概念精確、論證嚴(yán)密方面達(dá)到了應(yīng)有的標(biāo)準(zhǔn)，而歐拉數(shù)-e+?則是）。成為引人矚目的學(xué)科。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數(shù)與撓系數(shù)的拓?fù)洳蛔冃?。如連通性、緊性）， 隨著抽象代數(shù)學(xué)的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓?fù)鋵W(xué)建立在群論的基礎(chǔ)上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調(diào)群。從此組合拓?fù)鋵W(xué)逐步演變成利用抽象代數(shù)的方法研究拓?fù)鋯栴}的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。如維

19、數(shù)、歐拉數(shù)，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結(jié)了當(dāng)時(shí)的同調(diào)論，后寫成代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)(1952)，對于代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的傳播、應(yīng)用和進(jìn)一步發(fā)展起了巨大的推動(dòng)作用。他們把代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的基本精神概括為：把拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過計(jì)算來求解。同調(diào)群，以及在30年代引進(jìn)的上同調(diào)環(huán)，都是從拓?fù)涞酱鷶?shù)的過渡（見同調(diào)論）。直到今天，三角形與圓形同胚；而直線與圓周不同胚，同調(diào)論（包括上同調(diào)）所提供的不變量仍是拓?fù)鋵W(xué)中最易于計(jì)算的，因而也最常用的。不必加以區(qū)別。 同倫論研究同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨19351936年間引進(jìn)了拓?fù)淇臻g的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的

20、映射的同倫類，而且?同它的逆映射?-1:BA都是連續(xù)的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓?fù)涞酱鷶?shù)的另一種過渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調(diào)群更明顯， 前面所說的幾何圖形的連續(xù)變形，但是極難計(jì)算。同倫群的計(jì)算，特別是球面的同倫群的計(jì)算問題刺激了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，產(chǎn)生了豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調(diào)論而發(fā)展起來的譜序列這個(gè)代數(shù)工具，最簡單的例子是歐氏空間。在同倫群的計(jì)算上取得突破，為其后拓?fù)鋵W(xué)的突飛猛進(jìn)開辟了道路。 從50年代末在代數(shù)幾何學(xué)和微分拓?fù)鋵W(xué)的影響下產(chǎn)生了K 理論，解決了關(guān)于流形的一系列拓?fù)鋯栴}開始，出現(xiàn)了好幾種廣義同調(diào)論。它們都是從拓

21、撲到代數(shù)的過渡，就是一個(gè)廣義的幾何圖形。盡管幾何意義各不相同，如物理學(xué)中一個(gè)系統(tǒng)的所有可能的狀態(tài)組成所謂狀態(tài)空間，代數(shù)性質(zhì)卻都與同調(diào)或上同調(diào)十分相像，是代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的有力武器。從理論上也弄清了，同調(diào)論（普通的和廣義的）本質(zhì)上是同倫論的一部分。 從微分拓?fù)鋵W(xué)到幾何拓?fù)鋵W(xué)微分拓?fù)鋵W(xué)是研究微分流形與微分映射的拓?fù)鋵W(xué)。這些性質(zhì)與長度、角度無關(guān)，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨著代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)和微分幾何學(xué)的進(jìn)步， 以上這些例子啟示了：幾何圖形還有一些不能用傳統(tǒng)的幾何方法來研究的性質(zhì)。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間

22、作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的向量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調(diào)（示性類）和同倫問題聯(lián)系起來了。 1953年R.托姆的協(xié)邊理論(見微分拓?fù)鋵W(xué))開創(chuàng)了微分拓?fù)鋵W(xué)與代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)并肩躍進(jìn)的局面，許多困難的微分拓?fù)鋯栴}被化成代數(shù)拓?fù)鋯栴}而得到解決，同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。1956年J.W.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè)“指數(shù)”，隨后，不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，這些都顯示拓?fù)淞餍?、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個(gè)范疇有巨大的差別，微分拓?fù)鋵W(xué)也從此被公

23、認(rèn)為一個(gè)獨(dú)立的拓?fù)鋵W(xué)分支。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法剜補(bǔ)術(shù)，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數(shù)化。 近些年來，有關(guān)流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。突出的領(lǐng)域如流形的上述三大范疇之間的關(guān)系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。這種種研究，通常泛稱幾何拓?fù)鋵W(xué)，以強(qiáng)調(diào)其幾何色彩，而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點(diǎn)的向量場。區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。 初等實(shí)例柯尼斯堡的七橋問題（一筆畫問題） 柯尼斯堡是東普魯士首府，(m.a.armb，普

24、萊格爾河橫貫其中，上有七座橋（見圖論）。北京，一個(gè)散步者怎樣才能走遍七座橋而每座橋只經(jīng)過一次？這個(gè)18世紀(jì)的智力游戲，孫以豐譯：基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)，被l.歐拉簡化為用細(xì)線畫出的網(wǎng)絡(luò)能否一筆畫出的問題，然后他證明這是根本辦不到的。一個(gè)網(wǎng)絡(luò)之能否一筆畫出，上海，與線條的長短曲直無關(guān)，只決定于其中的點(diǎn)與線的連接方式。 參考書目 江澤涵著：拓?fù)鋵W(xué)引論，設(shè)想一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是用柔軟而有彈性的材料制作的，在它被彎曲、拉伸后，能否一筆畫出的性質(zhì)是不會改變的。 歐拉的多面體公式與曲面的分類歐拉發(fā)現(xiàn)，不論什么形狀的凸多面體，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù) e、面數(shù)?之間總有這個(gè)關(guān)系。從這個(gè)公式可以證明正多

25、面體只有五種（見正多面體）。在系統(tǒng)理論、對策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。值得注意的是，如果多面體不是凸的而呈框形（圖1），也不管框的形狀如何，總有。這說明，凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別，如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。通俗的說法是框形里有個(gè)洞。 在連續(xù)變形下，凸體的表面可以變?yōu)榍蛎?，框的表面可以變?yōu)榄h(huán)面（輪胎面）。例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明，這兩者卻不能通過連續(xù)變形互變。在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？現(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語言，怎樣鑒別它們？這曾是19世紀(jì)后半葉拓?fù)鋵W(xué)研究的主要問題。把曲面變形成多面體后的歐拉

26、數(shù)-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用（見閉曲面的分類）。 四色問題在平面或球面上繪制地圖，并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù)k 理論。有公共邊界線的區(qū)域用不同的顏色加以區(qū)別。 拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，19世紀(jì)中期，來自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。人們從經(jīng)驗(yàn)猜想用四種顏色就足以給所有的地圖上色。證明這個(gè)猜想的嘗試，卻延續(xù)了100多年，到1976年才出現(xiàn)了一個(gè)借助于計(jì)算機(jī)的證明。著名的阿蒂亞辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來，如果不是在平面上而是在輪胎面上畫地圖，四色就不夠了，就是流形上的常微分方程論。要七色才夠。用橡皮做一個(gè)曲面模型，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理

27、論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。然后隨意扭曲，弄得山巒起伏，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。這對其上的地圖著色毫無影響，所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。 紐結(jié)問題空間中一條自身不相交的封閉曲線，會發(fā)生打結(jié)現(xiàn)象。3o年代j.勒雷和j.p.紹德爾把l.e.j.布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。要問一個(gè)結(jié)能否解開（即能否變形成平放的圓圈），或者問兩個(gè)結(jié)能否互變（例如，圖2中的兩個(gè)三葉結(jié)能否互變），并且不只做個(gè)模型試試，還要給出證明，那就遠(yuǎn)不是件容易的事了（見紐結(jié)理論）。 維數(shù)問題什么是曲線？樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，對拓?fù)鋵W(xué)也十分重

28、要。隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間）連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線。可是，g.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，它填滿整個(gè)正方形！這激發(fā)了關(guān)于維數(shù)概念的深入探討，經(jīng)過2030年才取得關(guān)鍵性的突破（見維數(shù)）。并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。 布線問題（嵌入問題） 一個(gè)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)能否布在平面上而不自相交叉？做印刷電路時(shí)自然會碰到這個(gè)問題。莫爾斯理論后來又用于拓?fù)鋵W(xué)中，圖3中左面的圖把一根對角線移到方形外面就可以布在平面上，但圖4兩個(gè)圖卻無論怎樣挪動(dòng)都不能布在平面上。把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來，1930年k.庫拉托夫斯基證明，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，為了研究黎曼流形上的測

29、地線，就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。 向量場問題考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場，即在曲面的每一點(diǎn)放一個(gè)與曲面相切的向量，并且其分布是連續(xù)的。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，其中向量等于0的地方叫作奇點(diǎn)。例如，地球表面上每點(diǎn)的風(fēng)速向量就組成一個(gè)隨時(shí)間變化的切向量場，拓?fù)鋵W(xué)對于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，而奇點(diǎn)就是當(dāng)時(shí)沒風(fēng)的地方。從直觀經(jīng)驗(yàn)看出， 拓?fù)鋵W(xué)與其他學(xué)科的關(guān)系連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中普遍存在著，球面上的連續(xù)切向量場一定有奇點(diǎn)，區(qū)別于代數(shù)味很重的同倫論。而環(huán)面上卻可以造出沒有奇點(diǎn)的向量場。 進(jìn)一步分析，每個(gè)奇點(diǎn)有一個(gè)“指數(shù)”，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，發(fā)現(xiàn)四維歐氏空間竟還有不同尋常的微

30、分結(jié)構(gòu)。動(dòng)點(diǎn)處的向量轉(zhuǎn)的圈數(shù)；此指數(shù)有正負(fù)，視動(dòng)點(diǎn)繞行方向與向量轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同或相反而定(圖5)。龐加萊發(fā)現(xiàn)，幾何的課題、幾何的方法取得不少進(jìn)展。球面上切向量場，只要奇點(diǎn)個(gè)數(shù)是有限的，這些奇點(diǎn)的指數(shù)的代數(shù)和（正負(fù)要相消）恒等于2；而環(huán)面上的則恒等于0（見曲面）。這2與0恰是那兩個(gè)曲面的歐拉數(shù)，j.w.米爾諾等人發(fā)展了處理微分流形的基本方法剜補(bǔ)術(shù)，這不是偶然的巧合。 不動(dòng)點(diǎn)問題考慮一個(gè)曲面到自身的連續(xù)變換（映射），即曲面的每一點(diǎn)被移到該曲面上的新的位置，連續(xù)是指互相鄰近的點(diǎn)被移到互相鄰近的點(diǎn)。不能賦以任何微分結(jié)構(gòu)的流形又被人構(gòu)作出來，新舊位置相同的點(diǎn)叫作這變換的不動(dòng)點(diǎn)。隨后，每個(gè)不動(dòng)點(diǎn)也有個(gè)“指數(shù)

31、”，還有不同尋常的微分結(jié)構(gòu)。即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)繞它一周時(shí)，1956年j.w.米爾諾發(fā)現(xiàn)七維球面上除了通常的微分結(jié)構(gòu)之外，從動(dòng)點(diǎn)指向其像點(diǎn)的向量轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。同時(shí)也刺激了代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)一步發(fā)展。拓?fù)鋵W(xué)家們發(fā)現(xiàn)，曲面到自身的映射的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)如果是有限的，它們的指數(shù)的代數(shù)和不會因?qū)@映射做細(xì)微的修改而改變，因而可從這映射的某些粗略的特征計(jì)算出來。特別是對于實(shí)心圓上的映射，指數(shù)和恒為1，所以實(shí)心圓到自身的映射總有不動(dòng)點(diǎn)。h.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，這類定理對于證明數(shù)學(xué)中各種方程的解的存在性非常有用（見不動(dòng)點(diǎn)理論）。 一、 拓?fù)鋵W(xué)簡介拓?fù)鋵W(xué)學(xué)科作用拓?fù)鋵W(xué)對于分析學(xué)的現(xiàn)代發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用。隨著

32、科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，需要研究各式各樣的非線性現(xiàn)象，分析學(xué)更多地求助于拓?fù)鋵W(xué)。要問一個(gè)結(jié)能否解開（即能否變形成平放的圓圈），3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動(dòng)點(diǎn)定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓?fù)涠壤碚?。后者以及前述的臨界點(diǎn)理論，紐結(jié)問題 紐結(jié)問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，都已成為研究非線性偏微分方程的標(biāo)準(zhǔn)的工具。所以這顏色數(shù)也是曲面在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。微分拓?fù)鋵W(xué)的進(jìn)步，促進(jìn)了分析學(xué)向流形上的分析學(xué)(又稱大范圍分析學(xué))發(fā)展。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性理論和奇點(diǎn)理論已發(fā)展成為重要的分支學(xué)科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動(dòng)力系統(tǒng)的理

33、論，要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創(chuàng)立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞辛格指標(biāo)定理把算子的解析指標(biāo)與流形的示性類聯(lián)系起來，是分析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)結(jié)合的范例?，F(xiàn)代泛函分析的算子代數(shù)已與K 理論、指標(biāo)理論、葉狀結(jié)構(gòu)密切相關(guān)。在多復(fù)變函數(shù)論方面，來自代數(shù)拓?fù)涞膶诱撘呀?jīng)成為基本工具。 拓?fù)鋵W(xué)的需要大大刺激了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展，并且形成了兩個(gè)新的代數(shù)學(xué)分支：同調(diào)代數(shù)與代數(shù)K 理論。 四色問題 在平面或球面上繪制地圖，代數(shù)幾何學(xué)從50年代以來已經(jīng)完全改觀。把曲面變形成多面體后的歐拉數(shù)-e+?在其中起著關(guān)鍵的作用。托姆的協(xié)邊論直接促使代數(shù)簇的黎曼羅赫定理的產(chǎn)生，后者又促

34、使拓?fù)銴 理論的產(chǎn)生?，F(xiàn)代代數(shù)幾何學(xué)已完全使用上同調(diào)的語言，在連續(xù)變形下封閉曲面有多少種不同類型？代數(shù)數(shù)論與代數(shù)群也在此基礎(chǔ)上取得許多重大成果，例如有關(guān)不定方程整數(shù)解數(shù)目估計(jì)的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見代數(shù)數(shù)論）。 范疇與函子的觀念，是在概括代數(shù)拓?fù)涞姆椒ㄕ摃r(shí)形成的。范疇論已深入數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、代數(shù)幾何學(xué)等分支（見范疇）；對拓?fù)鋵W(xué)本身也有影響，通俗的說法是框形里有個(gè)洞。如拓?fù)渌沟挠^念大大拓廣了經(jīng)典的拓?fù)淇臻g觀念。凸形與框形之間有比長短曲直更本質(zhì)的差別， 在經(jīng)濟(jì)學(xué)方面，這說明，J.馮諾伊曼首先把不動(dòng)點(diǎn)定理用來證明均衡的存在性。在現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)中，對于經(jīng)濟(jì)的數(shù)學(xué)模型，均衡的存在性、性質(zhì)、計(jì)算等根本問

35、題都離不開代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、微分拓?fù)鋵W(xué)、大范圍分析的工具。在系統(tǒng)理論、對策論、規(guī)劃論、網(wǎng)絡(luò)論中拓?fù)鋵W(xué)也都有重要應(yīng)用。 托姆以微分拓?fù)鋵W(xué)中微分映射的奇點(diǎn)理論為基礎(chǔ)創(chuàng)立了突變理論，為從量變到質(zhì)變的轉(zhuǎn)化提供各種數(shù)學(xué)模式。在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、語言學(xué)等方面已有不少應(yīng)用歐拉的多面體公式與曲面的分類 歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發(fā)現(xiàn)， 除了通過各數(shù)學(xué)分支的間接的影響外，拓?fù)鋵W(xué)的概念和方法對物理學(xué)(如液晶結(jié)構(gòu)缺陷的分類)、化學(xué)（如分子的拓?fù)錁?gòu)形）、生物學(xué)(如DNA的環(huán)繞、拓?fù)洚悩?gòu)酶)都有直接的應(yīng)用。 拓?fù)鋵W(xué)與各數(shù)學(xué)領(lǐng)域、各科學(xué)領(lǐng)域之間的邊緣性研究方興未艾。 學(xué)科關(guān)系連續(xù)性與離散性這對矛盾在自然現(xiàn)象與社會現(xiàn)象中

36、普遍存在著，數(shù)學(xué)也可以粗略地分為連續(xù)性的與離散性的兩大門類。拓?fù)鋵W(xué)對于連續(xù)性數(shù)學(xué)自然是帶有根本意義的，對于離散性數(shù)學(xué)也起著巨大的推進(jìn)作用。例如，拓?fù)鋵W(xué)的基本內(nèi)容已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)工作者的常識。拓?fù)鋵W(xué)的重要性，體現(xiàn)在它與其他數(shù)學(xué)分支、其他學(xué)科的相互作用。 拓?fù)鋵W(xué)與微分幾何學(xué)有著血緣關(guān)系，向量場問題 考慮光滑曲面上的連續(xù)的切向量場，它們在不同的層次上研究流形的性質(zhì)。就看其中是否不含有這兩個(gè)圖之一。為了研究黎曼流形上的測地線，一個(gè)網(wǎng)絡(luò)是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀(jì)20年代建立了非退化臨界點(diǎn)理論，把流形上光滑函數(shù)的臨界點(diǎn)的指數(shù)與流形本身的貝蒂數(shù)聯(lián)系起來，并發(fā)展成大范圍變分法。莫爾斯理論后來又用

37、于拓?fù)鋵W(xué)中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K 理論的基石)，并啟示了處理微分流形的剜補(bǔ)術(shù)。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當(dāng)?shù)恼w微分幾何學(xué)提供了合適的理論框架，也從中獲取了強(qiáng)大的動(dòng)力和豐富的課題。G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，陳省身在40年代引進(jìn)了“陳示性類”，就不但對微分幾何學(xué)影響深遠(yuǎn)，隨一個(gè)參數(shù)（時(shí)間）連續(xù)變化的動(dòng)點(diǎn)所描出的軌跡就是曲線。對拓?fù)鋵W(xué)也十分重要。樸素的觀念是點(diǎn)動(dòng)成線，纖維叢理論和聯(lián)絡(luò)論一起為理論物理學(xué)中楊米爾斯規(guī)范場論（見楊米爾斯理論）提供了現(xiàn)成的數(shù)學(xué)框架， 維數(shù)問題 維數(shù)問題 什么是曲線？猶如20世紀(jì)初黎曼幾何學(xué)對于A.愛因斯坦廣義相

38、對論的作用。規(guī)范場的研究又促進(jìn)了四維的微分拓?fù)鋵W(xué)出人意料的進(jìn)展。參考書目 江澤涵著：拓?fù)鋵W(xué)引論，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，上海，1978。 M.A.Armstrong 著，孫以豐譯：基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)，北京大學(xué)出版社，北京，上有七座橋（見圖論）。1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，是20世紀(jì)理論數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)明顯特征。McGraw-Hill， London， 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod，F(xiàn)oundations of Algebraic Topology，又相繼出現(xiàn)了微分拓?fù)鋵W(xué)、幾何拓?fù)鋵W(xué)等分支。 Princeton Univ. Pr

39、ess， Princeton，后者則成為代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)。 1952. J.L.凱萊著，現(xiàn)在前者已演化成一般拓?fù)鋵W(xué)，吳從炘、吳讓泉譯：一般拓?fù)鋵W(xué)，科學(xué)出版社，北京，1982。拓?fù)鋵W(xué)又分成研究對象與方法各異的若干分支。(J.L.Kelley，General Topology，Van Nostrand， New York， 1955.)熊金城 呂杰 譚楓譯：拓?fù)鋵W(xué)（原書第2版）原書名 Topology (2nd Edition) 原出版社Prentice Hall/Pearson 作者（美）James R.Munkres 出版社 機(jī)械工業(yè)出版社 本書最大的特點(diǎn)在于概念引入自然，循序漸進(jìn)。對于疑難的推理證

40、明，將其分解為簡化的步驟，不給讀者留下疑惑。是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，同時(shí)是滲透到整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法?！巴?fù)洹币辉~是音譯自德文 topologie，最初由高斯的學(xué)生李斯亭引入 （1848年），用來表示一個(gè)新的研究方向，“位置的幾何”。拓?fù)?，舉例來說，是在通常的平面幾何里，把平面上的一個(gè)圖形搬到另一個(gè)圖形上，如果完全重合，那么這兩個(gè)圖形叫做全等形。但是，在拓?fù)鋵W(xué)里所研究的圖形，在運(yùn)動(dòng)中無論它的大小或者形狀都發(fā)生變化。在拓?fù)鋵W(xué)里沒有不能彎曲的元素，每一個(gè)圖形的大小、形狀都可以改變。例如，歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時(shí)候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點(diǎn)和線的個(gè)數(shù)。這些就是拓?fù)鋵W(xué)思考問

41、題的出發(fā)點(diǎn)。簡單地說，拓?fù)渚褪茄芯坑行蔚奈矬w在連續(xù)變換下，怎樣還能保持性質(zhì)不變。中國第一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)家是江澤涵，他早年在哈佛大學(xué)師從數(shù)學(xué)大師莫爾斯，學(xué)成后為中國帶來了這個(gè)新學(xué)科（1931年）。拓?fù)鋵W(xué)經(jīng)常被描述成 “橡皮泥的幾何”，就是說它研究物體在連續(xù)變形下不變的性質(zhì)。比如，所有多邊形和圓周在拓?fù)湟饬x下是一樣的，因?yàn)槎噙呅慰梢酝ㄟ^連續(xù)變形變成圓周，右邊這個(gè)圖上，一個(gè)茶杯可以連續(xù)地變?yōu)橐粋€(gè)實(shí)心環(huán)，在拓?fù)鋵W(xué)家眼里，它們是同一個(gè)對象。而圓周和線段在拓?fù)湟饬x下就不一樣，因?yàn)榘褕A周變成線段總會斷裂（不連續(xù)）。為什么要研究這種性質(zhì)呢？這就要追溯到幾百年以前先賢們的遐想了。好在拓?fù)鋵W(xué)比微積分還是新得多，用不著

42、“言必稱希臘”，只要從萊布尼茲開始就行。萊布尼茲在三百多年前想要建立的，是現(xiàn)在稱為“代數(shù)拓?fù)洹钡膶W(xué)問，中間經(jīng)過歐拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比烏斯，克萊因，特別是黎曼和貝迪的思考和嘗試，終于在19，20世紀(jì)之交，由法國天才數(shù)學(xué)家龐卡萊悟到了。在這些先驅(qū)中，高斯名氣最大，被稱為數(shù)學(xué)王子；大家可能不太熟悉黎曼，其實(shí)他同高斯在數(shù)學(xué)史上的地位是相當(dāng)?shù)?，他?9世紀(jì)中葉的很多想法直到現(xiàn)在還有著巨大的影響；莫比烏斯，他在數(shù)學(xué)上有很多貢獻(xiàn)，不過他為世人所知還多半是因?yàn)橛盟拿置钠婀智妫耗葹跛箮?。上面這個(gè)圖就是莫比烏斯帶，它的重要特性是，雖然在每個(gè)局部都可以說正面反面，但整體上不能分隔成正面和反面。這

43、種曲面叫做 “單側(cè)曲面”。在這樣的曲面上散步一定很別扭，哈哈。拓?fù)鋵W(xué)的由來 幾何拓?fù)鋵W(xué)是十九世紀(jì)形成的一門數(shù)學(xué)分支，它屬于幾何學(xué)的范疇。有關(guān)拓?fù)鋵W(xué)的一些內(nèi)容早在十八世紀(jì)就出現(xiàn)了。那時(shí)候發(fā)現(xiàn)一些孤立的問題，后來在拓?fù)鋵W(xué)的形成中占著重要的地位。 在數(shù)學(xué)上，關(guān)于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展史的重要問題。 哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個(gè)問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多

44、人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到?？磥硪玫揭粋€(gè)明確、理想的答案還不那么容易。 1736年，有人帶著這個(gè)問題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉，歐拉經(jīng)過一番思考，很快就用一種獨(dú)特的方法給出了解答。歐拉把這個(gè)問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問題就簡化成，能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來。經(jīng)過進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應(yīng)具有的條件。這是拓?fù)鋵W(xué)的“先聲”。 在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展歷史中，還有一個(gè)著名而且重要的關(guān)于多面體的定理也和歐拉有關(guān)。這個(gè)定理內(nèi)容是：如果一個(gè)凸多面體的頂點(diǎn)

45、數(shù)是v、棱數(shù)是e、面數(shù)是f，那么它們總有這樣的關(guān)系：f+v-e=2。 根據(jù)多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個(gè)有趣的事實(shí)：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。 著名的“四色問題”也是與拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展有關(guān)的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。 四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色?！?1872年，英國當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會提出了這個(gè)問題，于是四色猜想成了世界數(shù)

46、學(xué)界關(guān)注的問題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會戰(zhàn)。18781880年兩年間，著名律師兼數(shù)學(xué)家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但后來數(shù)學(xué)家赫伍德以自己的精確計(jì)算指出肯普的證明是錯(cuò)誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。于是，人們開始認(rèn)識到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。 進(jìn)入20世紀(jì)以來，科學(xué)家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。電子計(jì)算機(jī)問世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對話的出現(xiàn)，大大加快了對四色猜想證明的進(jìn)程。1976年，美國數(shù)學(xué)家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200

47、個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明。不過不少數(shù)學(xué)家并不滿足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡捷明快的書面證明方法。 上面的幾個(gè)例子所講的都是一些和幾何圖形有關(guān)的問題，但這些問題又與傳統(tǒng)的幾何學(xué)不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓?fù)鋵W(xué)”的先聲。二、拓?fù)鋵W(xué)中糾結(jié)分類問題這次來談?wù)勍負(fù)鋵W(xué)中有代表性的一個(gè)課題， 扭結(jié)分類問題。所謂扭結(jié)，顧名思義就是一根繩子首尾相接，它可能打了結(jié)。更一般的，可以是幾根繩子，除了自身打結(jié)以外，還互相打結(jié)。對具體的一個(gè)扭結(jié)，也許可以通過做實(shí)驗(yàn)的辦法判斷它是否打結(jié)，但是數(shù)學(xué)家希望找一個(gè)普適的，定量的辦法。比如說，任意畫一個(gè)扭結(jié)（它實(shí)際上是一個(gè)空間扭結(jié)

48、的平面投影），比如這個(gè)有點(diǎn)復(fù)雜的，怎樣不動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)就能判斷它到底有沒有打結(jié)？這個(gè)問題后來證實(shí)是非常復(fù)雜的問題。在有了計(jì)算機(jī)以后，才能找到一種時(shí)間代價(jià)很高的算法讓計(jì)算機(jī)幫助我們判斷一個(gè)扭結(jié)投影到底有沒有打結(jié)。直到 2006 年，才找到一種真正快速的計(jì)算機(jī)算法來判斷這件事。扭結(jié)分類的問題比判斷是否打結(jié)更困難。比如，以下兩個(gè)扭結(jié)都打了結(jié)，它們是否本質(zhì)上是同一種結(jié)？所謂 “分類”， 就是要找一個(gè)（可計(jì)算的）判據(jù)，使得當(dāng)兩個(gè)扭結(jié)滿足這個(gè)判據(jù)時(shí)就是同一種結(jié)；當(dāng)它們不滿足這個(gè)判據(jù)時(shí)就不是同一種結(jié)。到現(xiàn)在為止，也還只能找到一些非常復(fù)雜的判據(jù)，同樣要借助計(jì)算機(jī)才能大致判斷兩個(gè)扭結(jié)是否本質(zhì)上為同一種結(jié)。扭結(jié)理論有

49、一段很有趣的早期歷史。1867 年，著名物理學(xué)家開爾文勛爵，就是那個(gè)號稱物理學(xué)已經(jīng)接近終結(jié)，只剩 “兩朵烏云”的開爾文，突然產(chǎn)生了關(guān)于化學(xué)元素表的新看法（那時(shí)候還沒有發(fā)現(xiàn)原子，所以化學(xué)元素表還是一個(gè)謎）。開爾文認(rèn)為，不同的化學(xué)元素其實(shí)是 “以太”的渦旋在空間中的扭結(jié)形態(tài)。“以太”是19 世紀(jì)的物理學(xué)家們發(fā)明的概念，它被想象成充滿整個(gè)空間，是電磁波傳播的載體（或媒質(zhì)）。開爾文是很嚴(yán)肅的物理學(xué)家，當(dāng)然不能憑空想象，實(shí)際上他提出了幾個(gè)即使從現(xiàn)在的觀點(diǎn)看來也很合理的證據(jù)：（1）元素很穩(wěn)定，這可以用扭結(jié)的拓?fù)湫再|(zhì)來解釋，微小的形變不改變扭結(jié)的 “扭法”。（2）元素很多樣，這可以用扭結(jié)的多樣性來解釋，不同

50、的 “打結(jié)方式” 實(shí)在太多了。（3）不同的元素發(fā)出不同的光譜，這可以用 “以太扭結(jié)” 的各種 “振動(dòng)方式” 來解釋。有時(shí)候我們不得不佩服一些大師，他們雖然偶爾有點(diǎn)信口開河，不過極富原創(chuàng)力想象力。開爾文這個(gè)想法可以算是 “弦論” 的原生態(tài)。雖然后來化學(xué)周期表更好地被理解為原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)，但開爾文列舉的這幾個(gè)證據(jù)都能在新興的弦論中依稀找到一點(diǎn)影子。請?jiān)徫也荒茉谶@里具體給出任何判斷兩個(gè)扭結(jié)不同的方法。任何這樣一個(gè)方法，都需要很多圖解和文字說明。有興趣的網(wǎng)友可以讀姜伯駒的繩圈的數(shù)學(xué)或者英文書 An introduction to knot theory， 作者 Lickorish, 屬于系列 GTM

51、(graduate texts in mathematics) 175. 再貼幾個(gè)扭結(jié)：然后是一個(gè)問題：下面三個(gè)扭結(jié)中，哪兩個(gè)本質(zhì)上是同一種結(jié)？拓?fù)鋵W(xué)簡介（三）Comments龐卡萊是 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初法國最偉大的數(shù)學(xué)家，他與德國的希爾伯特領(lǐng)銜當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界，分別繼承了黎曼和高斯的衣缽：龐卡萊對物理世界的深刻洞察給了他天馬行空般的想象力，一如當(dāng)年的黎曼；希爾伯特嚴(yán)謹(jǐn)，博學(xué)，細(xì)致入微地思考，為 20 世紀(jì)前半葉數(shù)論和代數(shù)幾何的發(fā)展指明了方向。龐卡萊的拓?fù)鋵W(xué)和希爾伯特的代數(shù)幾何，就像普朗克的量子論和愛因斯坦的相對論，完全革新了整個(gè)學(xué)科的基本觀念。這一帖就試試介紹龐卡萊引入的兩個(gè)概念：“同調(diào)

52、群” 與 “基本群”。它們都是幾何體內(nèi)在性質(zhì)的 “代數(shù)體現(xiàn)”。龐卡萊意識到，描述一個(gè)幾何體抽象性質(zhì)的關(guān)鍵在于這個(gè)幾何體本身有沒有邊界，以及它是不是其它幾何體的邊界。比如，一個(gè)圓盤和一個(gè)球面為什么不同，就是因?yàn)閳A盤有邊界而球面沒有邊界；球面為什么跟輪胎面不同，就是因?yàn)榍蛎嫔系娜魏我粋€(gè)圈都是球面某一部分的邊界，比如赤道就是北半球面的邊界，而輪胎面上有的圈并不是輪胎面任何一部分的邊界。在第一篇里說過，萊布尼茲夢想用符號來表述一些抽象的幾何性質(zhì)。200多年后龐卡萊終于實(shí)現(xiàn)了這個(gè)夢，他把跟邊界有關(guān)的性質(zhì)數(shù)量化。先把幾何體剖分成基本組成部分（點(diǎn)，邊，三邊形，四面體，)，比如，一個(gè)球面上可以畫四個(gè)點(diǎn)，然后把

53、它們兩兩相連 （不允許連線相交），有六條邊，這些邊把球面分成四個(gè)三邊形，這就是球面的一個(gè) “剖分”（見左圖）。剖分的基本組成成份叫做 “單形”，“點(diǎn)”是 0 維單形，“邊”是 1 維單形，“三邊形”（包括內(nèi)部）是 2 維單形，等等 （ 試想一下 3 維單形是什么 ）。拿之前已經(jīng)剖分的球面做例子，頂點(diǎn) A, B, C, D 是 0 維單形，邊 AB, AC, AD, BC, BD, CD 是1 維單形，三邊形 ABC, ABD, ACD, BCD 是 2 維單形 （如果 ABC, ACD 是東半球的區(qū)域，那 ABD, BCD 就包括了西半球） 。因?yàn)榭疾斓氖乔蛎?，而不是球體，所以沒有三維以上的單

54、形。龐卡萊在單形前面放上系數(shù)（整數(shù)），假設(shè)它們能夠相加，以及做同類項(xiàng)合并。這種表達(dá)式稱為一個(gè) “鏈”， 比如 (3 AB 2 BC) + (AC 5 BC) = 3 AB 7 BC + AC. 單形前面的加號減號具有幾何意義，“定向”。在 1維的時(shí)候就是邊的方向，比如，AB 是從 A 到 B 的邊，-AB 就是從 B 到 A 的邊，也就是 BA，所以 BA = AB. 三邊形的定向復(fù)雜一些，不過本質(zhì)上就是跟頂點(diǎn)的排列順序有關(guān)，對換兩個(gè)頂點(diǎn)就會改變定向，ACB = ABC. 由于每一個(gè) n 維單形的邊界由若干 n-1 維單形組成，所以 “求邊界” 可以作為一種運(yùn)算，作用在 “鏈” 上，得到另一個(gè)

55、 “鏈”，其每一項(xiàng)都比原來鏈里對應(yīng)項(xiàng)的維數(shù)低一維。在求邊界的過程中，定向也是一個(gè)重要因素，雖然 AB 的邊界是兩個(gè)點(diǎn) A 和 B, 但為了體現(xiàn)定向性質(zhì)，規(guī)定 AB 的邊界是 ( B A ). 這種約定可以推廣到高維的鏈，大家不妨自己試試。如果用 d記求邊界運(yùn)算，在跟定向相容的約定下，它在球面剖分的各單形上作用如下d (A) = d (B) = d (C) =d (D) =0; d (AB) = B-A, d (BA) = A-B, d (BC) = C-B, d (ABC) = BC-AC+AB, d (BCD) = CD-BD+BC, 在 “鏈” 上的作用，d (3 AB 2 BC) = 3

56、 d (AB) 2 d (BC) = 3 (B-A) 2 (C-B) = -3 A + 5 B 2 C.邊界運(yùn)算有一個(gè)很好的性質(zhì)。直觀上容易看到，“物體的邊界沒有邊界”。比如，三邊形的邊界是三條邊組成的閉合鏈。生活中我們說 “閉合” 的意思就是沒有邊界。代數(shù)上體現(xiàn)為，連續(xù)兩次求邊界一定是零，d d (BCD) = d CD BD + BC = d(CD) d(BD) + d(BC) = (D-C) (D-B) + (C-B) = 0現(xiàn)在把剖分后的幾何體的所有這樣的 “鏈” 放在一起，它們之間有加減法（合并同類項(xiàng)），可以用系數(shù)乘，還可以 “求邊界”。這就得到了一個(gè)代數(shù)對象，叫做這個(gè)剖分后的幾何體

57、的 “鏈群”。這個(gè)代數(shù)對象跟我們開始的剖分方法有關(guān)。在鏈群中，可以由求邊界運(yùn)算得到的鏈叫做 “邊緣鏈”，比如， 2 AB + 2 BC + 2 CA = d ( 2 ABC ) 說明等式左邊這個(gè)鏈?zhǔn)且粋€(gè)邊緣鏈。沒有邊界的鏈叫做 “閉鏈”。邊緣鏈一定是閉鏈，而閉鏈不一定是邊緣鏈。龐卡萊發(fā)現(xiàn)，“有多少閉鏈不是邊緣鏈” 這個(gè)性質(zhì)與剖分無關(guān)，從而是幾何體某種本性的代數(shù)體現(xiàn)。怎樣代數(shù)地描述這個(gè)性質(zhì)？ 考慮所有閉鏈，它們之間的加減，數(shù)乘，結(jié)果還是閉鏈，在其中把邊緣鏈等同于0，這樣得到的代數(shù)對象將不依賴于剖分幾何體的方法，龐卡萊叫它 “同調(diào)群”?，F(xiàn)在來算球面的同調(diào)群。頂點(diǎn)都沒有邊界，但是兩個(gè)頂點(diǎn)的差一定是一條邊的邊界，A-B = d (BA)按照龐卡萊的語言，A-B 是邊緣鏈，將被等同于 0, 也就是說，在同調(diào)群中 A-B = 0, 或者說 A = B. 這樣，本質(zhì)上只有一個(gè) 0 維對象，A = B = C = D, 它可以被整數(shù)乘，這樣我們得到球面的 0 維同調(diào)群 , -3A, -2A, -A, 0, A, 2A, 3A, 這個(gè)代數(shù)對象的加法，數(shù)乘，跟全體整數(shù)的加法，數(shù)乘是一樣的，用數(shù)學(xué)的語言來說，球面的 0 維同調(diào)群 “同構(gòu)于” 整數(shù)集。1 維的鏈?zhǔn)橇鶙l邊的組合，用代數(shù)運(yùn)算（解線性方程組）或者幾何直觀都可以看到，沒