數(shù)學期末知識點總復習2010

1、數(shù)學期末知識點總復習簡易邏輯 知識要點1、命題的定義：可以判斷真假的語句叫做命題。2、邏輯聯(lián)結詞、簡單命題與復合命題：“或”、“且”、“非”這些詞叫做邏輯聯(lián)結詞；不含有邏輯聯(lián)結詞的命題是簡單命題；由簡單命題和邏輯聯(lián)結詞“或”、“且”、“非”構成的命題是復合命題。構成復合命題的形式：p或q(記作“pq” )；p且q(記作“pq” )；非p(記作“q” ) 。3、“或”、 “且”、 “非”的真值判斷（1）“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；（2）“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；（3）“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真4、四種命題的形式：原命

2、題：若P則q； 逆命題：若q則p；否命題：若P則q；逆否命題：若q則p。(1)交換原命題的條件和結論，所得的命題是逆命題； (2)同時否定原命題的條件和結論，所得的命題是否命題； (3)交換原命題的條件和結論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題5、四種命題之間的相互關系：一個命題的真假與其他三個命題的真假有如下三條關系：(原命題逆否命題)、原命題為真，它的逆命題不一定為真。、原命題為真，它的否命題不一定為真。、原命題為真，它的逆否命題一定為真。6、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若pq且qp,則稱p是q的充要條件，記為pq.7、反證法：從命題結論的反面出發(fā)（假設），

3、引出(與已知、公理、定理)矛盾，從而否定假設證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。立體幾何 知識要點一、知識提綱（一）空間的直線與平面平面的基本性質 三個公理及公理三的三個推論和它們的用途斜二測畫法空間兩條直線的位置關系：相交直線、平行直線、異面直線公理四（平行線的傳遞性）等角定理異面直線的判定：判定定理、反證法異面直線所成的角：定義（求法）、范圍直線和平面平行 直線和平面的位置關系、直線和平面平行的判定與性質直線和平面垂直直線和平面垂直：定義、判定定理三垂線定理及逆定理5.平面和平面平行兩個平面的位置關系、兩個平面平行的判定與性質6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性質定理（二

4、）直線與平面的平行和垂直的證明思路（見附圖）（三）夾角與距離7.直線和平面所成的角與二面角平面的斜線和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜線和平面所成的角、直線和平面所成的角二面角：定義、范圍、二面角的平面角、直二面角互相垂直的平面及其判定定理、性質定理8.距離點到平面的距離直線到與它平行平面的距離兩個平行平面的距離：兩個平行平面的公垂線、公垂線段異面直線的距離：異面直線的公垂線及其性質、公垂線段（四）簡單多面體與球9.棱柱與棱錐多面體棱柱與它的性質：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性質平行六面體與長方體：平行六面體、直平行六面體、長方體、正四棱柱、正方體；平行六面體的性質、長方體的性質棱

5、錐與它的性質：棱錐、正棱錐、棱錐的性質、正棱錐的性質直棱柱和正棱錐的直觀圖的畫法10.多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)簡單多面體的歐拉公式正多面體11.球球和它的性質：球體、球面、球的大圓、小圓、球面距離球的體積公式和表面積公式二、常用結論、方法和公式1.從一點O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC，若AOB=AOC，則點A在平面BOC上的射影在BOC的平分線上；A2. 已知:直二面角MABN中，AE M，BF N,EAB=,ABF=，異面直線AE與BF所成的角為，則3.立平斜公式：如圖，AB和平面所成的角是，AC在平面內，BC和AB的射影BA1成，設ABC=,則coscos=cos；4.異面直線所成角的求法：

6、（1）平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；（2）補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系；5.直線與平面所成的角斜線和平面所成的是一個直角三角形的銳角，它的三條邊分別是平面的垂線段、斜線段及斜線段在平面上的射影。通常通過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，垂足和斜足的連線，是產(chǎn)生線面角的關鍵；6.二面角的求法（1）定義法：直接在二面角的棱上取一點（特殊點），分別在兩個半平面內作棱的垂線，得出平面角，用定義法時，要認真觀察圖形的特性；（2）三垂線法：已知二面角其中一個面內一點到一個面的垂線，用三垂

7、線定理或逆定理作出二面角的平面角；（3）垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個半平面的交線所成的角即為平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面與棱垂直；（4）射影法：利用面積射影公式S射S原cos,其中為平面角的大小，此法不必在圖形中畫出平面角；特別:對于一類沒有給出棱的二面角，應先延伸兩個半平面，使之相交出現(xiàn)棱，然后再選用上述方法（尤其要考慮射影法）。7.空間距離的求法（1）兩異面直線間的距離，高考要求是給出公垂線，所以一般先利用垂直作出公垂線，然后再進行計算；（2）求點到直線的距離，一般用三垂線定理作出垂線再求解；（3）求點到平面的距離，一是用垂面法，借助面面垂直

8、的性質來作，因此，確定已知面的垂面是關鍵；二是不作出公垂線，轉化為求三棱錐的高，利用等體積法列方程求解；8.正棱錐的各側面與底面所成的角相等，記為，則S側cos=S底；9.已知:長方體的體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為因此有cos2+cos2+cos2=1; 若長方體的體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2;10.正方體和長方體的外接球的直徑等與其體對角線長；11.歐拉公式：如果簡單多面體的頂點數(shù)為V,面數(shù)為F,棱數(shù)為E.那么V+FE=2；并且棱數(shù)E各頂點連著的棱數(shù)和的一半各面邊數(shù)和的一半；12.柱體的體積公式：柱體（棱柱、圓柱）的體積公式是V

9、柱體=Sh.其中S是柱體的底面積，h是柱體的高.13.直棱柱的側面積和全面積S直棱柱側= c (c表示底面周長，表示側棱長) S棱柱全=S底+S側 14棱錐的體積:V棱錐=，其中S是棱錐的底面積，h是棱錐的高。15.球的體積公式V=，表面積公式；掌握球面上兩點A、B間的距離求法：（1）計算線段AB的長，（2）計算球心角AOB的弧度數(shù)；(3)用弧長公式計算劣弧AB的長；空間向量1空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個平移就是一個向量向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示2空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣

10、，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下運算律：加法交換律：加法結合律：數(shù)乘分配律：3 共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量平行于記作當我們說向量、共線（或/）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線4共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量、（），/的充要條件是存在實數(shù)，使.推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式 其中向量叫做直線的方向向量.5向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內，那么我們說向量平行于平面，記作：

11、通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內的充分必要條件是存在有序實數(shù)對，使或對空間任一點，有 式叫做平面的向量表達式7 空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數(shù)組，使推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序實數(shù)，使8 空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.9向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.10

12、向量的數(shù)量積： 已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影. 可以證明的長度11空間向量數(shù)量積的性質： （1）（2）（3）12空間向量數(shù)量積運算律：（1）（2）（交換律）（3）（分配律）空間向量的坐標運算（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.令=(a1,a2,a3),，則 (用到常用的向量模與向量之間的轉化：)空間兩點的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量. （3）用向量的常用方法：

13、利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大?。ǚ较蛳嗤瑒t為補角，反方，則為其夾角）.證直線和平面平行定理：已知直線平面，且CDE三點不共線，則a的充要條件是存在有序實數(shù)對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）. 導 數(shù) 知識要點導 數(shù)導數(shù)的概念導數(shù)的運算導數(shù)的應用導數(shù)的幾何意義、物理意義函數(shù)的單調性函數(shù)的極值函數(shù)的最值常見函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的運算法則1. 導數(shù)（導函數(shù)的簡稱）的定義：設是函數(shù)定義域的一點，如果

14、自變量在處有增量，則函數(shù)值也引起相應的增量；比值稱為函數(shù)在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數(shù)在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數(shù)，記作或，即=.注：是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.以知函數(shù)定義域為，的定義域為，則與關系為.2. 函數(shù)在點處連續(xù)與點處可導的關系：函數(shù)在點處連續(xù)是在點處可導的必要不充分條件.可以證明，如果在點處可導，那么點處連續(xù).事實上，令，則相當于.于是如果點處連續(xù)，那么在點處可導，是不成立的.例：在點處連續(xù)，但在點處不可導，因為，當0時，；當0時，故不存在.注：可導的奇函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為偶函數(shù).可導的偶函數(shù)函數(shù)其導函數(shù)為奇函數(shù).3. 導數(shù)的幾

15、何意義：函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為4. 求導數(shù)的四則運算法則：（為常數(shù)）注：必須是可導函數(shù).若兩個函數(shù)可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數(shù)均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.例如：設，則在處均不可導，但它們和在處均可導.5. 復合函數(shù)的求導法則：或復合函數(shù)的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.6. 函數(shù)單調性：函數(shù)單調性的判定方法：設函數(shù)在某個區(qū)間內可導，如果0，則為增函數(shù)；如果0，則為減函數(shù).常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)在區(qū)間內恒有=0，則為常數(shù).注：是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不

16、是都有，有一個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.一般地，如果f（x）在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有，則是函數(shù)的極大值，極小值同理）當函數(shù)在點處連續(xù)時，如果在附近的左側0，右側0，那么是極大值；如果在附近的左側0，右側0，那么是極小值.也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數(shù)異號，而不是=0. 此外，函數(shù)不可導的點也可能是函數(shù)的極值點. 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值?。ê瘮?shù)在某一點附近的點不

17、同）.注： 若點是可導函數(shù)的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導函數(shù)，其一點是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導，則導數(shù)值為零.例如：函數(shù)，使=0，但不是極值點.例如：函數(shù)，在點處不可導，但點是函數(shù)的極小值點.8. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進行比較.注：函數(shù)的極值點一定有意義.9. 幾種常見的函數(shù)導數(shù)：I.（為常數(shù)） （） II. III. 求導的常見方法：常用結論：.形如或兩邊同取自然對數(shù)，可轉化求代數(shù)和形式.無理函數(shù)或形如這類函數(shù)，如取自然對數(shù)之后可變形為，對兩邊求導可得.積分1.定積分定義：設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間中任取分點 將區(qū)間分成個小區(qū)間，其長度為在每個小區(qū)間上任取一點，作乘積的和： （1）不論對區(qū)間采取何種分法及如何選取，記，當時和式（1）的極限存在，則此極限值稱為函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即。其中叫做被積函數(shù)，叫做被積表達式，叫做積分變量，叫做積分下限，叫做積分上限，叫做積分區(qū)間。2.定積分的幾何意義1、若在