新課預(yù)習(xí)講義選修21橢圓2橢圓的性質(zhì)教師版doc

1、新課預(yù)習(xí)講義選修21：第二章橢圓（二）2.2.2橢圓的幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)2.理解離心率對(duì)橢圓扁平程度的影響.3.通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，體會(huì)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用4.掌握橢圓的離心率的求法及其范圍的確定5.掌握點(diǎn)與橢圓、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，并能利用橢圓的有關(guān)性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：1.橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(重點(diǎn))2.橢圓的方程和性質(zhì)的應(yīng)用及直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系，相關(guān)的距離、弦長(zhǎng)、中點(diǎn)等問(wèn)題是考查的重點(diǎn)3.橢圓的第二定義，橢圓的焦點(diǎn)弦、焦半徑及其相關(guān)問(wèn)題.學(xué)習(xí)難點(diǎn)1.本節(jié)常與幾何圖形、方程、不等式、平面向量等內(nèi)容結(jié)合出題2.命題形式比較靈活，各種題型均有

2、可能出現(xiàn).，命題的形式多樣化.一、自學(xué)導(dǎo)航知識(shí)回顧：復(fù)習(xí)1：橢圓的定義是_，復(fù)習(xí)2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，_，焦點(diǎn)在y軸上時(shí)_；、間的關(guān)系是_復(fù)習(xí)3：橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離是，那么它到右焦點(diǎn)的距離是 復(fù)習(xí)4：方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是 預(yù)習(xí)教材：第43頁(yè)第51頁(yè)的內(nèi)容。自主梳理：1、橢圓的幾何性質(zhì)：（1）范圍；（2）對(duì)稱(chēng)性；（3）頂點(diǎn)（長(zhǎng)軸、短軸、焦距）；（4）離心率；2、橢圓的第二定義及橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程（教材第51頁(yè)）預(yù)習(xí)檢測(cè)：1橢圓x24y21的離心率為()A.B.C. D.解析：將橢圓方程x24y21化為標(biāo)準(zhǔn)方程x21，則a21，b2，即a1，b，所以c，故離心

3、率e.故選A.2橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，兩頂點(diǎn)分別是(4,0)，(0,2)，則此橢圓的方程是()A.1或1 B.1C.1 D.1解析：由已知a4，b2，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以橢圓方程是1.故選C.3已知點(diǎn)(2,3)在橢圓1上，則下列說(shuō)法正確的是()A點(diǎn)(2,3)在橢圓外B點(diǎn)(3,2)在橢圓上C點(diǎn)(2，3)在橢圓內(nèi) D點(diǎn)(2，3)在橢圓上解析：1，則點(diǎn)(2,3)、點(diǎn)(2，3)、點(diǎn)(2，3)在橢圓上故選D.4已知點(diǎn)(4,2)是直線(xiàn)l被橢圓1所截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)，則l的方程是_解析：設(shè)截得的線(xiàn)段為AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，利用“點(diǎn)差法”得，即，

4、k，直線(xiàn)l的方程為y2(x4)，即x2y80.答案：x2y805過(guò)橢圓1的左焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線(xiàn)與橢圓交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)解析：由橢圓方程得a25，b24，c21，左焦點(diǎn)為(1,0)直線(xiàn)AB的方程為y2(x1)代入1得6x210x0.x10或x2|AB|問(wèn)題與困惑：二、互動(dòng)探究問(wèn)題探究：（一）橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程 范圍，頂點(diǎn) (a,0)，(0，b)(a,0)，(0，b)軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距|F1F2|對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱(chēng)中心：坐標(biāo)原點(diǎn).離心率.（二）橢圓的第二定義、準(zhǔn)線(xiàn)方程、焦半徑等1、橢圓的第二定義：若動(dòng)點(diǎn)與定

5、點(diǎn)的距離和它到定直線(xiàn)的距離的比是常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)橢圓.2、橢圓的準(zhǔn)線(xiàn)方程：若焦點(diǎn)在軸上，則左準(zhǔn)線(xiàn)是；右準(zhǔn)線(xiàn)是；若焦點(diǎn)在軸上，則下準(zhǔn)線(xiàn)是；上準(zhǔn)線(xiàn)是；3、橢圓上任意一點(diǎn)的焦半徑（其中，為左焦點(diǎn)，為右焦點(diǎn)）：，（若焦點(diǎn)在軸上，其中，為下焦點(diǎn)，為上焦點(diǎn)，則，典例導(dǎo)析：題型一、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)例1、求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率：(1)4x29y236；(2)m2x24m2y21(m0)思路點(diǎn)撥解題過(guò)程(1)將橢圓方程變形為1，a3，b2，c.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a6,2c2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1(3,0)，A2(3,0)，B1(0

6、，2)，B2(0,2)，離心率e.(2)橢圓的方程m2x24m2y21(m0)可化為1.m24m2，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，并且長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a，短半軸長(zhǎng)b，半焦距長(zhǎng)c.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，.e.題后感悟已知橢圓的方程討論性質(zhì)時(shí)，若不是標(biāo)準(zhǔn)形式的先化成標(biāo)準(zhǔn)形式，再確定焦點(diǎn)的位置，焦點(diǎn)位置不確定的要分類(lèi)討論，找準(zhǔn)a與b，正確利用a2b2c2，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)變式訓(xùn)練：1.求下列橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率(1)25x2y225；(2)4x29y21.解析：(1)將橢圓方程變形為x21，a5，b1，c2.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a10，短軸長(zhǎng)2b2.焦點(diǎn)

7、坐標(biāo)為F1(0，2)，F(xiàn)2(0,2)，頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(0，5)，A2(0,5)，B1(1,0)，B2(1,0)離心率e.(2)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a1,2c，離心率e，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1，F(xiàn)2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A1，A2，B1，B2題型二、由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸在x軸上，長(zhǎng)軸的長(zhǎng)等于12，離心率等于；(2)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且橢圓過(guò)點(diǎn)(2，4)思路點(diǎn)撥解題過(guò)程(1)由已知2a12，e，得a6，c4，從而b2a2c220，又長(zhǎng)軸在x軸上，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)2a22b，a2b，當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)方程為1，點(diǎn)(2，4)在橢圓上，1

8、，b217.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)方程為：1，點(diǎn)(2，4)在橢圓上，1，b28，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：1.綜上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1.題后感悟(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法(2)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”，一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程(3)解此類(lèi)題要仔細(xì)體會(huì)方程思想在解題中的應(yīng)用變式訓(xùn)練：2.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且焦距為6；(2)以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,0)解析：(1)設(shè)橢圓方程為1(ab0)如

9、圖所示，A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(xiàn)(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb3，a2b2c218，故所求橢圓的方程為1.(2)方法一：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由題意，得解得故所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由題意，得解得故所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.方法二：設(shè)橢圓方程為1(m0，n0，mn)，由題意，得或解得或故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1.題型三、求橢圓的離心率例3、如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1

10、x軸，PF2AB，求此橢圓的離心率思路點(diǎn)撥 求橢圓的離心率就是要設(shè)法建立a、c的關(guān)系式，可借助PF1F2AOB來(lái)建立a、c的關(guān)系式規(guī)范作答設(shè)橢圓的方程為1(ab0)如題圖所示，則有F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直線(xiàn)PF1的方程為xc，代入方程1，得y，P.又PF2AB，PF1F2AOB.，b2c.b24c2，a2c24c2，.e2，即e，所以橢圓的離心率為.題后感悟(1)求離心率e時(shí)，除用關(guān)系式a2b2c2外，還要注意的代換，通過(guò)解方程求離心率(2)在橢圓中涉及三角形問(wèn)題時(shí)，要充分利用橢圓的定義、正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知識(shí) 變式訓(xùn)練：3.已知

11、橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，A為橢圓上一點(diǎn)，且AF1AF2，AF2F160，求該橢圓的離心率解析：不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，畫(huà)出草圖如圖所示由AF1AF2知，AF1F2為直角三角形，且AF2F160.由橢圓定義，知|AF1|AF2|2a，|F1F2|2c.則在RtAF1F2中，由AF2F160得|AF2|c，|AF1|c，所以|AF1|AF2|2a(1)c，所以離心率e1.題型四、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系例4、若直線(xiàn)ykx1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍思路點(diǎn)撥 解題過(guò)程方法一：由消去y，得(m5k2)x210kx5(1m)0，100k220(m5k2)(1m)20m(5k2m1

12、)直線(xiàn)與橢圓總有公共點(diǎn)，0對(duì)任意kR都成立m0，5k21m恒成立，1m0，即m1.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，0m5，1m5.方法二：直線(xiàn)ykx1過(guò)定點(diǎn)M(0,1)，要使直線(xiàn)與該橢圓總有公共點(diǎn)，則點(diǎn)M(0,1)必在橢圓內(nèi)或橢圓上，由此得解得1m5.題后感悟判斷直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的常用方法為：聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消去y或x，得到關(guān)于x或y的一元二次方程，記該方程的判別式為，則(1)直線(xiàn)與橢圓相交0；(2)直線(xiàn)與橢圓相切0；(3)直線(xiàn)與橢圓相離b0)直線(xiàn)與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，|AB|x1x2|或|AB|y1y2|.當(dāng)k0時(shí)，直線(xiàn)平行于x軸，|AB|x1x2|.（2）弦長(zhǎng)

13、公式：適用于所有圓錐曲線(xiàn).變式訓(xùn)練：3.橢圓ax2by21與直線(xiàn)xy10相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|2，OC的斜率為，求橢圓的方程解析：方法一：設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入橢圓方程并作差得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0，而1，kOC，代入上式可得ba.再由|AB|x2x1|2，其中x1、x2是方程(ab)x22bxb10的兩根，故244，將ba代入得a，b，所求橢圓的方程是x2y23.方法二：由，得(ab)x22bxb10.設(shè)A(x1，y1)、B(x2，y2)，則|AB|.|AB|2，1.設(shè)C(x，y)，則x，y1x，OC的斜率為，.代入，

14、得a，b.橢圓方程為y21.題型七、橢圓第二定義、焦半徑及其應(yīng)用例7、已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，能否在橢圓上求一點(diǎn)（在軸的左側(cè)），使到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離是與的等比中項(xiàng)，若能，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.思路點(diǎn)撥 因?yàn)轭}目中涉及焦半徑及到左準(zhǔn)線(xiàn)的距離，所有考慮用橢圓的第二定義.解析：假設(shè)存在點(diǎn)（，）（滿(mǎn)足,橢圓方程，；又,由得解此方程得或但，故不存在適合題意的點(diǎn)題后感悟當(dāng)題目種涉及焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題時(shí)，用橢圓的第二定義常常使解題更簡(jiǎn)便.變式訓(xùn)練：7、已知點(diǎn)A（2，），設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).解析：過(guò)A作右準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，與橢圓交于.離心率，由得,的最

15、小值即為線(xiàn)段的長(zhǎng)，2810的最小值為10，此時(shí)（2，）題型八、橢圓的綜合問(wèn)題例8、如圖，點(diǎn)A是橢圓C：1(ab0)的短軸位于y軸下方的端點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且斜率為1的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)B，若P在y軸上，且BPx軸，=9.(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,1)，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，t)，求t的取值范圍思路點(diǎn)撥 解答第(1)問(wèn)的關(guān)鍵是由已知條件準(zhǔn)確分析出|與| |的關(guān)系，再由向量的數(shù)量積，得|，從而用待定系數(shù)法求出橢圓C的方程，解答第(2)問(wèn)的關(guān)鍵是利用a2b20，構(gòu)造t的不等式解出t的范圍規(guī)范作答直線(xiàn)AB的斜率為1，BAP45，即BAP是等腰直角三角形，|.A9，|cos 45|2cos

16、459，|A|3.(1)P(0,1)，|1，|2，即b2，且B(3,1)，B在橢圓上，1，得a212，(2)由點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，t)及點(diǎn)A位于x軸下方，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，t3)，t3b，即b3t.顯然點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3，t)，將它代入橢圓方程得：1，解得a2.a2b20，(3t)20.1，即10，所求t的取值范圍是0tb0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F2作橢圓的弦AB，若AF1B的周長(zhǎng)為16，橢圓離心率e，則橢圓的方程是()A.1 B.1C.1 D.1解析：由題意知4a16，即a4，又e，c2，b2a2c216124，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.答案：B3已知以F1(2,0)，F(xiàn)2(2,0)為焦點(diǎn)的橢圓與直線(xiàn)xy

17、40有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()A3 B2C2 D4解析：設(shè)橢圓方程為1(ab0)由得(a23b2)y28b2y16b2a2b20，由題意得(8b2)24(a23b2)(16b2a2b2)0且a2b24，可得a27，2a2.答案：C4過(guò)橢圓1的右焦點(diǎn)且傾斜角為45的弦AB的長(zhǎng)為()A5 B6C. D7解析：橢圓的右焦點(diǎn)為(4,0)，直線(xiàn)的斜率為k1，直線(xiàn)AB的方程為yx4，由得9x225(x4)2225，由弦長(zhǎng)公式易求|AB|.二、填空題(每小題5分，共10分)5若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是_解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為2a,2b,2c

18、，由題意可得2a2c4b，ac2b，又b，所以ac2，整理得5e22e30，e或e1(舍去)答案：6若傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓y21于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則線(xiàn)段AB的中點(diǎn)的軌跡方程是_解析：設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，直線(xiàn)方程為yxb，代入橢圓方程得5x28bx4(b21)0，則得x4y0.由0得b，故xb0)的離心率為，x軸被曲線(xiàn)C2：yx2b截得的線(xiàn)段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)(1)求C1，C2的方程(2)設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線(xiàn)l與C2相交于點(diǎn)A，B，直線(xiàn)MA，MB分別與C1相交于點(diǎn)D，E.證明：MDME.解析：由題意知e，從而a2b.又2a，所以a2，b1.故C1，C2的方程分別為y21，yx21.(2)證明：由題意知，直線(xiàn)l的斜率存在，設(shè)為k，則直線(xiàn)l的方程為ykx.由得x2kx10.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，于是x1x2k，x1x21.又點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0，1)，所以kMAkMB1.故MAMB，即MDME.9.（10分）已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為.(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)直線(xiàn)l與橢圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線(xiàn)