時(shí)滯反饋非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔研究燕山大學(xué)

1、時(shí)滯反饋非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔研究*基金項(xiàng)目: 河北省自然科學(xué)基金(F2010001317, E2010001262), 燕山大學(xué)博士基金(B451).作者簡(jiǎn)介：*時(shí)培明（1979-），男，黑龍江延壽人，博士，講師，主要研究方向?yàn)榕ふ裣到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)，Email：spm；劉彬（1953-），男，黑龍江五常人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)檐垯C(jī)振動(dòng)和信息處理，Email：liubin。時(shí)培明1,*，劉彬1，韓東穎2，朱占龍1，侯東曉1（1.燕山大學(xué) 電氣工程學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院，河北 秦皇島 066004）摘 要：研究了具有Duffing-Va

2、n der pol組合振子和時(shí)滯特性兩慣量非線性扭振系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分岔問(wèn)題。建立了兩慣量非線性扭振系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)設(shè)計(jì)線性位移和速度時(shí)滯反饋控制器構(gòu)造了扭振受控系統(tǒng)。采用多尺度法推導(dǎo)出極限環(huán)幅值與時(shí)滯參數(shù)之間的關(guān)系。在對(duì)系統(tǒng)零解穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上,得出Hopf分岔產(chǎn)生的條件。通過(guò)數(shù)值模擬的方法研究了扭振系統(tǒng)Hopf分岔和極限環(huán)幅值控制問(wèn)題。仿真研究表明，所設(shè)計(jì)的時(shí)滯反饋控制器既能控制極限環(huán)的幅值，也能控制Hopf分岔的產(chǎn)生。關(guān)鍵詞：扭振；Hopf分岔；極限環(huán)；時(shí)滯反饋控制中圖分類號(hào)：O3220 引言旋轉(zhuǎn)機(jī)械是工業(yè)部門(mén)中應(yīng)用最為廣泛的一類機(jī)械1-2，例如汽輪機(jī)、壓縮機(jī)、風(fēng)機(jī)、軋機(jī)、

3、機(jī)床等諸多機(jī)械都屬于這一類。傳動(dòng)系統(tǒng)作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的核心部分，在電力、能源、交通、冶金以及國(guó)防等領(lǐng)域發(fā)揮著無(wú)可替代的作用。旋轉(zhuǎn)機(jī)械常常由于出現(xiàn)扭振而影響其正常工作甚至導(dǎo)致設(shè)備損壞，造成重大的經(jīng)濟(jì)損失。近年來(lái)，關(guān)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械扭振系統(tǒng)的機(jī)理及控制方法研究日趨活躍。文獻(xiàn)3采用傳遞矩陣法建立了含連續(xù)質(zhì)量的單軸扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，得到了連續(xù)傳動(dòng)軸的頻響函數(shù)。文獻(xiàn)4采用拉格朗日方程建立了單個(gè)連續(xù)軸的扭振動(dòng)力學(xué)方程，并得到了該軸在各種外力作用下的響應(yīng)曲線。文獻(xiàn)5根據(jù)4200立輥軋機(jī)的實(shí)測(cè)參數(shù)，采用理論分析和數(shù)值計(jì)算相結(jié)合的方法建立了中厚板立輥軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的4自由度非線性振動(dòng)模型，通過(guò)對(duì)該模型的簡(jiǎn)化求解，得到系

4、統(tǒng)線性振動(dòng)下的全部響應(yīng)。文獻(xiàn)6提出了大型汽輪發(fā)電機(jī)組軸系扭振的遞階智能控制方案，并根據(jù)非線性科學(xué)理論分析了該智能控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。文獻(xiàn)7采用線性定常二次型全局最優(yōu)控制理論對(duì)電力系統(tǒng)擾動(dòng)下大型汽輪發(fā)電機(jī)組軸系產(chǎn)生的扭振進(jìn)行主動(dòng)控制。文獻(xiàn)8-10分析了扭轉(zhuǎn)振動(dòng)自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性：通過(guò)建立Lyapunov函數(shù)分析了自治系統(tǒng)在不同參數(shù)下的穩(wěn)定性問(wèn)題。然而，自治系統(tǒng)并不是恒久穩(wěn)定的，在某些初始狀態(tài)下系統(tǒng)不穩(wěn)定，這樣，就對(duì)控制其自治系統(tǒng)穩(wěn)定提出了新的要求。本文通過(guò)設(shè)計(jì)線性位移和速度時(shí)滯反饋控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)一類自治系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制，著重研究了時(shí)滯參數(shù)對(duì)自治系統(tǒng)極限環(huán)幅值的影響以及Hopf分岔產(chǎn)生的條件。最后用數(shù)

5、值仿真的方法證明了該控制方法的有效性，為實(shí)現(xiàn)該類自治系統(tǒng)的控制機(jī)理提供理論依據(jù)。1 動(dòng)力學(xué)方程的建立對(duì)于兩慣量旋轉(zhuǎn)機(jī)械扭振系統(tǒng)，設(shè)、為系統(tǒng)集中慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，、為集中慣量的轉(zhuǎn)角，、為集中慣量的轉(zhuǎn)速，、為外力矩。兩慣量非線性扭振系統(tǒng)力學(xué)模型如圖1所示。圖中表示系統(tǒng)線性阻尼，表示系統(tǒng)非線性阻尼。表示系統(tǒng)線性剛度，表示系統(tǒng)非線性剛度。扭振系統(tǒng)的動(dòng)能為 (1)阻尼力表示為 (2)圖1 二慣量扭振系統(tǒng)力學(xué)模型Fig.1 The torsional vibration system model with two inertia (3)考慮一、三次扭轉(zhuǎn)剛度下的系統(tǒng)的勢(shì)能為(考慮非線性剛度為) (4)把(2)

6、式和(3)式代入動(dòng)力學(xué)普遍方程 (5)其中，則(5)式第一項(xiàng)為 (6)其中為廣義坐標(biāo)，為自由度數(shù)目，為作用力數(shù)目，廣義力(廣義力矩)為 (7)將(2)式和(3)式代入(7)式后得到本系統(tǒng)的廣義力(廣義力矩)為 (8) (9)將(1)式、(2)式、(3)式、(4)式、(8)式和(9)式代入耗散系統(tǒng)的Lagrange方程 (10)得到 (11) (12)式中為系統(tǒng)集中慣量的角加速度。對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械扭振動(dòng)力系統(tǒng)，由(11)式乘以減去(12)式乘以得到 (13)將(13)式中的參數(shù)簡(jiǎn)化為，得到 (14)考慮非線性阻尼項(xiàng)為Van der pol振子，即 (15)將(15)式代入(14)式，得 (16)(1

7、6)式就是一類具有Duffing-Van der pol組合振子的二慣量扭振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)方程。在研究強(qiáng)迫系統(tǒng)之前，先研究自由振動(dòng)系統(tǒng)情況即靜平衡態(tài)的非線性特性，這是因?yàn)殪o平衡態(tài)穩(wěn)定性對(duì)共振周期解有一定的影響。本文采用線性時(shí)滯控制器來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行Hopf分岔及其極限環(huán)幅值大小的控制。對(duì)于，受控系統(tǒng)為 (17)為了便于攝動(dòng)分析，式(17)化為 (18)2 攝動(dòng)分析采用多尺度方法，可設(shè)(18)式的攝動(dòng)解形式為 (19)這里為快變時(shí)間尺度，為慢變時(shí)間尺度，則有微分算子 (20) (21)這里，。將(19)式、(20)式和(21)式代入到(18)式，并令等式兩邊的同次冪系數(shù)相等，得到攝動(dòng)方程 (22

8、) (23)方程(22)的解可以寫(xiě)為 (24)其中為共軛函數(shù)且均為關(guān)于的函數(shù)，將(24)式代入到(23)式，得到 (25)這里cc表示等式右端的共軛復(fù)數(shù)部分，令方程(25)中久期項(xiàng)為零得 (26)令，其中和是關(guān)于的實(shí)函數(shù)，將其代入(26)式，分離實(shí)部和虛部得極坐標(biāo)下的平均方程 (27)當(dāng)存在穩(wěn)定周期解時(shí),即由(27)式可解得穩(wěn)定周期解幅值 (28)當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)于原系統(tǒng)的穩(wěn)定周期解幅值為 (29)3 零解穩(wěn)定性分析及Hopf分岔?xiàng)l件為了便于研究零解穩(wěn)定性，需要將極坐標(biāo)形式的平均方程(27)寫(xiě)成直角坐標(biāo)形式的平均方程，令 (30)將(30)式代入到(26)式，分離實(shí)部和虛部，得到直角坐標(biāo)形式的平均方

9、程 (31) (32)系統(tǒng)(31)和(32)有一個(gè)零解，在零解處平均方程(31)和(32)的 Jacobian 矩陣為 (33)其中，為方程(31)和(32)的構(gòu)成的向量矩陣，。這里。對(duì)應(yīng)零解的特征方程為 (34)其特征值為 (35)(35)式中，結(jié)論：(1)當(dāng)，時(shí)，特征值為一對(duì)相等的正實(shí)根，系統(tǒng)奇點(diǎn)退化為不穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn)。(2)當(dāng)，時(shí)，特征值為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根，系統(tǒng)奇點(diǎn)退化為穩(wěn)定的臨界結(jié)點(diǎn)。(3)當(dāng)，時(shí)，特征值為一對(duì)實(shí)部為正的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)奇點(diǎn)為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。(4)當(dāng)，時(shí)，特征值為一對(duì)實(shí)部為負(fù)的復(fù)數(shù)，系統(tǒng)奇點(diǎn)為穩(wěn)定的焦點(diǎn)。(5)當(dāng)，時(shí)，特征值為一對(duì)純虛根，系統(tǒng)奇點(diǎn)為中心。由上述穩(wěn)定性分析可知，當(dāng)

10、，時(shí)，(34)式存在一對(duì)純虛根，根據(jù)Hopf分岔定理，該情況產(chǎn)生極限環(huán)。由于是、是參數(shù)、的函數(shù)，因此，參數(shù)可以控制Hopf分岔的產(chǎn)生；根據(jù)(28)式可知，參數(shù)、同樣影響系統(tǒng)幅值大小，因此，參數(shù)可以控制極限環(huán)的大小。4 仿真分析計(jì)算取如下參數(shù)：，。/stx xx(a)時(shí)間歷程圖 (b)相圖圖2 參數(shù)g1=g2=0原系統(tǒng)數(shù)值解Fig.2 Numerical solutions of original system with parameters g1=g2=0/stx xx(a)時(shí)間歷程圖 (b)相圖圖3 參數(shù)g1=g2=0.5受控系統(tǒng)數(shù)值解Fig.3 Numerical solutions of

11、 controlled system with parameters g1=g2=0.5/stx xx(a)時(shí)間歷程圖 (b)相圖圖4 參數(shù)g1=g2=-0.25受控系統(tǒng)數(shù)值解Fig.4 Numerical solutions of controlled system with parameters g1=g2=-0.25/stx xx(a)時(shí)間歷程圖 (b)相圖圖5 參數(shù)g1=g2=-1受控系統(tǒng)數(shù)值解Fig.5 Numerical solutions of controlled system with parameters g1=g2=-1本文例子中所取，只是滿足分岔及幅值控制要求的一種情況

12、。圖2是原系統(tǒng)在上述參數(shù)下的時(shí)間歷程圖與相圖，由圖中可見(jiàn)，極限環(huán)幅值為2；由圖3、圖4和圖5可知：通過(guò)設(shè)定時(shí)滯參數(shù)即當(dāng)時(shí)，極限環(huán)幅值為2.5；當(dāng)時(shí)，極限環(huán)幅值為1.5；當(dāng)時(shí)，極限環(huán)消失，即在原有的Hopf分岔點(diǎn)處不再存在Hopf分岔，從而實(shí)現(xiàn)了對(duì)系統(tǒng)極限環(huán)幅值的控制以及系統(tǒng)Hopf分岔的產(chǎn)生。5 結(jié)論本文建立了含Duffing-Van der pol組合振子的二慣量扭振系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程，主要研究了時(shí)滯參數(shù)對(duì)自治系統(tǒng)的分岔以及極限環(huán)幅值的影響。首先從理論上推到了時(shí)滯參數(shù)與系統(tǒng)極限環(huán)幅值的關(guān)系，然后通過(guò)零解穩(wěn)定性分析得到了時(shí)滯參數(shù)影響系統(tǒng)產(chǎn)生Hopf分岔。最后通過(guò)數(shù)值模擬的方法證明了該方法既能

13、控制極限環(huán)的幅值，也能控制Hopf分岔的產(chǎn)生。參考文獻(xiàn)1Smally A J. The dynamics response of rotors to rubs during startupJ. Journal of Vibration,Acoustic,Stress and Reliability in Design, 1989, 111:226-233.2周蓮蓮, 鄭志剛, 楊征, 等. 四輥冷軋機(jī)基于機(jī)理與工況相結(jié)合的工作輥磨損模型研究J. 燕山大學(xué)學(xué)報(bào), 2009, 33(4): 283 -287.3毛海軍,孫慶鴻,陳南,等.基于分布質(zhì)量的Riccati傳遞矩陣法模型與軸系頻響函數(shù)計(jì)算方

14、法研究J. 東南大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2000,30(6):34-38.4Shi P M,Liu B, Hou D X. Global dynamic characteristic of nonlinear torsional vibration system under harmonically excitation J. Chinese Journal of Mechanical Engineering. 2009,22(1):132-139.5孟令啟,王建勛,吳浩亮,等.中厚板立輥軋機(jī)主傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性扭振J. 華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2009, 37(2): 25-28.6

15、李士勇,周暢,王西田.抑制大型汽輪發(fā)電機(jī)組軸系扭振的控制技術(shù)綜述J. 熱能動(dòng)力工程,2000,15:451-454.7高文志,劉建國(guó),郝志勇. 電力系統(tǒng)擾動(dòng)對(duì)汽輪發(fā)電機(jī)組軸系扭振的影響及其主動(dòng)控制J. 中國(guó)動(dòng)力工程學(xué)報(bào). 2005, 25 (2):169-1738時(shí)培明,劉彬,侯東曉. 一類相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)J. 物理學(xué)報(bào). 2008,57(3):1321-1328.9時(shí)培明,劉彬,劉爽.一類諧波激勵(lì)相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與近似解J. 物理學(xué)報(bào),2008,57(8):4675-4683.10侯東曉,劉彬,時(shí)培明.一類滯后相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的分岔特性及其解析近似解J. 物理

16、學(xué)報(bào),2009,58(9):5942-5949.Study on stability and Hopf bifurcation of a nonlinear torsional system with time-delay feedbackSHI Pei-ming1, LIU Bin1, HAN Dong-ying2, ZHU Zhan-long1, HOU Dong-xiao1(1. College of Electrical Engineering, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China; 2. College of Ve

17、hicles and Energy, Yanshan University, Qinhuangdao, Hebei 066004, China) Abstract: The stability and Hopf bifurcation of two inertia nonlinear torsional vibration with duffing-van der pol oscillators and time-delay characteristics are studied. The equation of two inertia nonlinear torsional vibratio

18、n system is established. The controlled torsional vibration is constituted by devising the time-delay feedback controller of linear displacement and velocity. The relation of limit amplitude and time-delay parameters is deduced by the method of multiple scales. Based on the analysis of the systems stability of zero solution, the condition of the Hopf bifurcation occur is obtained. According to the research of the ststems Hopf bifurcation and limit amplitude by numerical methods, two conclusions are verified: the controller of time-delay feedback