無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)二

1、§6.4 無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的頻率變換設(shè)計(jì)法實(shí)際中通常要求的濾波器是低通、高通、帶通、帶阻、多帶通或多帶阻數(shù)字濾波器。前四種濾波器可以通過模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換得到，后兩種濾波器用轉(zhuǎn)換方法來設(shè)計(jì)尚需進(jìn)一步研究，這里只討論前四種。所謂原型濾波器是指截止頻率為的低通濾波器。如果數(shù)字濾波器想由模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換得到，則可能有三種方法，如圖6-21所示。（1）由模擬低通原型濾波器變成所需型式的模擬濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器；（2）由模擬低通濾波器直接轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字濾波器。（3）由模擬低通濾波器先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通原型，然后再用變量代換變換成所需的數(shù)字濾波器；數(shù)字化模擬域頻率轉(zhuǎn)換模擬低通

2、原型模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻(a)模擬-數(shù)字轉(zhuǎn)換模擬低通原型數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻(b)(c)數(shù)字域頻率轉(zhuǎn)換模擬低通原型數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字化圖6.21 設(shè)計(jì)IIR濾波器的頻率變換法實(shí)際上，第二種方法是第一種方法的特例。這種方法是將第一種方法的兩步合成一步，而且，在第二步中的模擬到數(shù)字域的轉(zhuǎn)換采用雙線性變換。即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，因而簡捷便利，得到普遍采用。下面就上述三種轉(zhuǎn)換方法分別

3、予以討論。6.4.1 先由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換成所需型式的模擬濾波器，然后再把它轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的方法此法中的第二步在§6-2中已討論過，既可以采用沖激不變法，也可以采用雙線性變換法。但是由于沖激不變法只適用于限帶濾波器的設(shè)計(jì)，不適合帶阻、高通濾波器的設(shè)計(jì)，因此，一般采用的是雙線性變換方法。對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接采用，或者只能在加了保護(hù)濾波器以后使用。而第一步，即由低通模擬原型到其他型式模擬濾波器的轉(zhuǎn)換的方法沒有討論，所以，這是關(guān)鍵的一步，這種轉(zhuǎn)換有各種各樣的方法。下面給出一種將截止頻率為1（rad/s）的低通濾波器變換成另一個低通濾波器或帶通、高通、帶阻

4、濾波器的一組變換關(guān)系式。一、第一步：歸一化低通模擬原型到其他型式模擬濾波器的轉(zhuǎn)換方法1、歸一化模擬低通原型到模擬低通濾波器的轉(zhuǎn)換顯然可以采用函數(shù)：將模擬低通頻率轉(zhuǎn)換到。其中，c和2存在映射關(guān)系（如圖6-22所示）。于是可有，因此，于是， 或 延拓到S域（令：），則有若，c =1；則得模擬低通原型濾波器到截止頻率為2的低通濾波器的映射公式： (6-64) 令，相應(yīng)的頻率變換公式則為 （6-65）圖6-22 低通到低通濾波器的映射圖6-23 低通到高通濾波器的映射2、歸一化模擬低通原型到模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)換可采用如下函數(shù)完成模擬低通到模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)換（如圖6-23所示） （6-66）由圖可得映

5、射關(guān)系：可以計(jì)算得到：代入（6-65）可得：令：，延拓到S域，得若令c =1；則得模擬低通原型濾波器到截止頻率為2的高通濾波器的映射公式： （6-67）令，相應(yīng)的頻率變換公式則為 （6-68）3、 歸一化模擬低通原型到模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)換（1） 歸一化模擬低通到模擬帶通的映射 下列映射函數(shù)可以將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器，如圖6-24所示。圖6-24 低通到帶通濾波器的映射 （6-69）式中0是一個待定常數(shù)。由圖6-24可見，若設(shè)模擬帶通濾波器的上下邊界頻率分別為1，2，模擬低通濾波器的邊界頻率為c，則可得如下的映射關(guān)系：代入（6-67）式可得：， 解得： （6-70）其中，為帶通濾波

6、器的帶寬。令：，延拓到S域，得 （6-71）這里，s是模擬低通濾波器的拉普拉斯變量，而p則是模擬帶通濾波器的拉普拉斯變量。0則是一個常數(shù)。式（6-71）是將截止頻率為的模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為頻率分別為1，2的模擬帶通濾波器。而我們一般是先設(shè)計(jì)歸一化低通原型濾波器，所以還需進(jìn)一步轉(zhuǎn)換。（2） 歸一化模擬低通原型到模擬帶通的映射設(shè)低通原型濾波器的拉普拉斯變量是S1，而截止頻率為的模擬低通濾波器的拉普拉斯變量是S，于是由式（6-64）可得 （6-72）將（6-71）代入（6-72）可得模擬低通原型濾波器到邊界頻率分別為1，2的帶通濾波器的映射公式 （6-73）令，代入（6-73）并取絕對值（取絕對值是

7、為了使頻率取正值）得模擬低通原型濾波器和模擬帶通濾波器的頻率關(guān)系： （6-74）4、 歸一化圖6-25 低通到帶阻濾波器的映射模擬低通原型到模擬帶阻濾波器的轉(zhuǎn)換（1）模擬低通到模擬帶阻的映射 下列映射函數(shù)可以將模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器，如圖6-25所示。 （6-75）式中0是一個待定常數(shù)。由圖6-25可見，若設(shè)模擬帶阻濾波器的兩個邊界頻率分別為1，2，模擬低通濾波器的邊界頻率為c，則可得如下的映射關(guān)系：代入（6-72）可得， 解得 （6-76）或其中，為帶通濾波器的帶寬。令：，延拓到S域，得 （6-77）式（6-74）是將截止頻率為的模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為頻率分別為1，2的模擬帶阻濾波

8、器。而我們一般是先設(shè)計(jì)歸一化低通原型濾波器，所以還需進(jìn)一步轉(zhuǎn)換。（2）模擬低通原型到模擬帶阻的映射設(shè)低通原型濾波器的拉普拉斯變量是S1，而截止頻率為的模擬低通濾波器的拉普拉斯變量是S，于是由式（6-64）可得 （6-78）將（6-77）代入（6-78）可得模擬低通原型濾波器到邊界頻率分別為1，2的帶阻濾波器的映射公式 （6-79）令，代入（6-79）并取絕對值，得模擬低通原型濾波器和模擬帶阻濾波器的頻率關(guān)系： （6-80）上述將模擬低通原型轉(zhuǎn)換為各種模擬濾波器的變換公式示于表6-3。表6-3 低通原型濾波器到低通、帶通、高通、帶阻濾波器的變換關(guān)系變換類型變換公式頻率變換公式參數(shù)意義低通原型 低

9、通c：實(shí)際低通濾波器的截止頻率低通原型 高通c：實(shí)際高通濾波器的截止頻率低通原型 帶通H,L：實(shí)際帶通濾波器的上下通帶(3dB)截止頻率低通原型 帶阻H,L：實(shí)際帶阻濾波器的上下通帶(3dB)截止頻率表中，s是低通原型濾波器的拉普拉斯變量，而p則是實(shí)際的模擬濾波器的拉普拉斯變量；是模擬低通原型濾波器的頻率變量，而則是要設(shè)計(jì)的模擬濾波器的頻率變量；二、第二步：模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器第二步將模擬濾波器轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器可采用6.3節(jié)所介紹的沖激不變法、階躍不變法及雙線性變換法。其中，前兩種方法適合作低通濾波器、帶通濾波器的設(shè)計(jì)。而雙線性變換法則適合各種情況。由于雙線性變換法有確定的公式，當(dāng)?shù)诙?/p>

10、采用此法時，可將兩步的公式合為一個公式，這就得到了后面的第二種方法。設(shè)計(jì)步驟1、 根據(jù)要求確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)；2、 將數(shù)字指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬頻率指標(biāo)；這里要注意：（1） 若采用時域變換法（沖激不變及階躍不變法），可采用無預(yù)畸變的變換公式這里，分別是抽樣頻率及抽樣間隔。（2） 若采用頻域的雙線性變換法，則采用預(yù)畸變的變換公式3、 根據(jù)表6-3的頻率變換公式計(jì)算模擬低通原型濾波器的頻率指標(biāo)；即確定阻帶截止頻率。注意：在設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器或模擬帶阻濾波器時，由于有上下截止頻率，因此，轉(zhuǎn)換成低通原型指標(biāo)時會得到兩個阻帶截止頻率，實(shí)際處理是取其較小值作為低通原型濾波器的阻帶截止頻率（按設(shè)計(jì)原理，計(jì)算的了兩

11、個低通濾波器的3dB通帶截止頻率相等，因此，只考慮阻帶截止頻率的選擇）。即：因?yàn)?，按現(xiàn)有設(shè)計(jì)方法，模擬低通濾波器通常采用butterworth濾波器，它具有單調(diào)下降的特性，因此，取較小的頻率值，此處滿足阻帶衰減的指標(biāo)要求，在阻帶其它頻率（較大）處肯定也是滿足指標(biāo)要求的。4、 按6.3節(jié)的方法設(shè)計(jì)歸一化模擬低通原型濾波器。5、 采用表6-3的公式轉(zhuǎn)化成所需形式的模擬濾波器。6、 采用6.2節(jié)的方法（沖激不變、階躍不變法、雙線性變換法）將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器例6-7 設(shè)計(jì)一個數(shù)字帶通濾波器，3dB處的通帶截止頻率分別為0.3和0.4；阻帶截止頻率分別為0.2和0.5，阻帶衰減要求為衰減18d

12、B。模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求采用巴特沃思低通原型濾波器設(shè)計(jì)，而模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換則采用沖激不變法。抽樣間隔設(shè)為Ts=1。解：（1）依題意，可得數(shù)字指標(biāo)：通帶截止頻率：L=0.3；H =0.4； 通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：s1=0.2；s2=0.5；阻帶衰減：As=18dB；（2）模擬帶通指標(biāo) 由于采用沖激不變法，因此通帶截止頻率：L=L/Ts=0.3；H=H / Ts =0.4； 通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：s1=0.2；s2=0.5；阻帶衰減：As=18dB；（3）模擬低通原型濾波器的阻帶截止頻率根據(jù)表6-3可得因此，（4）低通原型濾波器設(shè)計(jì) 根據(jù)（6-18）式得 查表6-2

13、可得3階butterworth原型濾波器（5）轉(zhuǎn)換成帶通濾波器由表6-3可得轉(zhuǎn)換公式代入得模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（6）按沖激不變法將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器。略例6-8，重做6-7，但是，模擬到數(shù)字的轉(zhuǎn)換則采用雙線性變換。解：（1）依題意，可得數(shù)字指標(biāo)：通帶截止頻率：L=0.3；H =0.4； 通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：s1=0.2；s2=0.5；阻帶衰減：As=18dB；（2）模擬帶通指標(biāo) 由于采用雙線性變換，先求雙線性變換公式，這里，取C=2/T=2則，于是，通帶截止頻率：； 通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：；阻帶衰減：As=18dB；（3）模擬低通原型濾波器

14、的阻帶截止頻率根據(jù)表6-3可得因此，（4）低通原型濾波器設(shè)計(jì) 根據(jù)（6-18）式得查表6-2可得3階butterworth原型濾波器（5）轉(zhuǎn)換成帶通濾波器由表6-3可得轉(zhuǎn)換公式代入得模擬帶通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)（6）采用雙線性變換法將模擬帶通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器6.4.2 直接由歸一化模型原型到其他數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換這種轉(zhuǎn)換方法是把s平面到z平面的映射及z到Z的轉(zhuǎn)換統(tǒng)一考慮，因此要求s到Z有確定的表達(dá)式。這種方法適于雙線性變換法，而不適用于沖激不變方法。是將第一種方法的兩步合成一步，而且，在第二步中的模擬到數(shù)字域的轉(zhuǎn)換采用雙線性變換。這種方法可以得到直接從模擬低通原型到各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

15、公式，簡捷便利，得到普遍采用。因此，下面我們重點(diǎn)討論這種方法。1 歸一化模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字低通濾波器根據(jù)雙線性公式可得將其模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器的公式 （6-81）模擬低通原型濾波器的模擬角頻率與數(shù)字低通濾波器的角頻率之間的關(guān)系 （6-82）顯然，若數(shù)字低通濾波器的截止頻率為，則有對應(yīng)的映射關(guān)系于是，可得： （6-83）2、歸一化模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字高通濾波器將雙線性變換公式（6-81）代入表（6-3）中的模擬低通原型轉(zhuǎn)換為模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)換公式可得 （6-84）這里，是變換常數(shù)，需確定。令，得歸一化模擬低通原型濾波器與數(shù)字稿通濾波器的角頻率之間的關(guān)系 （6

16、-85）由于存在映射關(guān)系于是，可得3、歸一化模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器將雙線性變換公式（6-82）代入表（6-3）中的模擬低通原型轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)換公式可得 （6-86）這里， （6-87）是變換常數(shù)，需確定。而是通過雙線性變換公式將數(shù)字帶通濾波器器的角頻率轉(zhuǎn)換而來，即，代入D，E的計(jì)算公式（6-87）可得 （6-88） （6-89）令，得歸一化模擬低通原型濾波器與數(shù)字稿通濾波器的角頻率之間的關(guān)系 （6-91）4、歸一化模擬低通原型濾波器變換成數(shù)字帶阻濾波器將雙線性變換公式（6-81）代入表（6-3）中的模擬低通原型轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的轉(zhuǎn)換公式可得 （6-91）這里， （

17、6-92）是變換常數(shù)，需確定。而是通過雙線性變換公式將數(shù)字帶通濾波器器的角頻率轉(zhuǎn)換而來，即，代入D1，E1的計(jì)算公式（6-92）可得 （6-93） （6-94）令，得歸一化模擬低通原型濾波器與數(shù)字稿通濾波器的角頻率之間的關(guān)系 （6-95）上述將歸一化模擬低通原型濾波器直接轉(zhuǎn)換為各種數(shù)字濾波器的變換公式可歸納示于表6-4。表6-4 歸一化低通原型濾波器到低通、帶通、高通、帶阻數(shù)字濾波器的變換關(guān)系數(shù)字濾波器類型變換公式頻率變換公式參數(shù)計(jì)算公式低通高通帶通帶阻表中，s是低通原型濾波器的拉普拉斯變量，而z則是實(shí)際的數(shù)字濾波器的變量；是歸一化模擬低通原型濾波器的角頻率，而則是要設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的角頻率；

18、H,L：實(shí)際帶阻濾波器的上下通帶(3dB)截止頻率，c：實(shí)際高通濾波器的截止頻率5、設(shè)計(jì)步驟（1）根據(jù)要求確定數(shù)字濾波器的指標(biāo)；（2）從表（6-4）中選擇相應(yīng)的公式，并計(jì)算公式中的參數(shù)；（3）根據(jù)表6-4的頻率變換公式計(jì)算模擬低通原型濾波器的頻率指標(biāo)，即確定阻帶截止頻率。在計(jì)算時，由于有上下截止頻率，因此，轉(zhuǎn)換成低通原型指標(biāo)時會得到兩個阻帶截止頻率，實(shí)際處理是取其較小值作為低通原型濾波器的阻帶截止頻率，即：，其中，需按表6-4的頻率轉(zhuǎn)換公式計(jì)算。（4）按6.3節(jié)的方法設(shè)計(jì)歸一化模擬低通原型濾波器。（5）采用表6-4的公式轉(zhuǎn)化成所需形式的模擬濾波器。例6-9 采用本節(jié)方法重做例6-8（設(shè)計(jì)一個數(shù)

19、字帶通濾波器，3dB處的通帶截止頻率分別為0.3和0.4；阻帶截止頻率分別為0.2和0.5，阻帶衰減要求為衰減18dB。模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求采用巴特沃思低通原型濾波器設(shè)計(jì)）解：（1）依題意，可得數(shù)字指標(biāo)：通帶截止頻率：L=0.3；H =0.4； 通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：s1=0.2；s2=0.5；阻帶衰減：As=18dB；（2）變換公式的確定（3）?。?）低通原型濾波器設(shè)計(jì) 根據(jù)（6-18）式得查表6-2可得2階butterworth原型濾波器（5）采用表6-4的公式轉(zhuǎn)化成所需形式的數(shù)字帶通濾波器（與例6-7結(jié)果相同，但計(jì)算簡單的多）例6-10 數(shù)字高通濾波器設(shè)計(jì) 高通濾波器的指

20、標(biāo)要求為：3dB截止頻率為0.8，阻帶截止頻率0.44，阻帶衰減要求為衰減15dB。模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求采用巴特沃思低通原型濾波器設(shè)計(jì)。解（1）依題意，可寫出數(shù)字指標(biāo)：通帶截止頻率：c =0.4；通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：s=0.44；阻帶衰減：As=18dB；（2）變換公式的確定。 由表6-4得, 其中，（3） 歸一化低通濾波器阻帶截止頻率（4）低通原型濾波器設(shè)計(jì) 根據(jù)（6-18）式得查表6-2可得2階butterworth原型濾波器（5）采用表6-4的公式轉(zhuǎn)化成所需形式的數(shù)字高通濾波器例6-11 數(shù)字帶阻濾波器設(shè)計(jì)帶通濾波器的指標(biāo)要求為：3dB截止頻率分別為0.19，0.21；

21、阻帶截止頻率分別為0.198，0.202；阻帶衰減要求為衰減13dB。模擬濾波器的設(shè)計(jì)要求采用巴特沃思低通原型濾波器設(shè)計(jì)。解（1）依題意，可寫出數(shù)字指標(biāo)：通帶截止頻率：L=0.19；H =0.22； 通帶衰減：Ap=3dB；阻帶截止頻率：s1=0.198；s2=0.02；阻帶衰減：As=18dB；（2）變換公式的確定。 由表6-4得, 其中， , (3) 歸一化低通濾波器阻帶截止頻率（4）低通原型濾波器設(shè)計(jì) 根據(jù)（6-18）式得查表6-2可得2階butterworth原型濾波器（5）采用表6-4的公式轉(zhuǎn)化成所需形式的數(shù)字高通濾波器由模擬低通原型先轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通原型，然后再轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字濾波器

22、。此法中的第一步前面已討論過，現(xiàn)在討論數(shù)字原型到其他型數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換。一、變換函數(shù)的一般形式為了便于區(qū)分變換前后兩個不同的Z平面，把變換前的Z平面定義為U平面，把變換后的Z平面定義為z平面。u到z的變換關(guān)系表示為：轉(zhuǎn)換關(guān)系若用 （6-96）用表示原濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，表示轉(zhuǎn)換后濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，這樣，數(shù)字濾波器的原型變換就可以表達(dá)為則應(yīng)有（6-97）1、確定變換函數(shù)G(z-1)的原則現(xiàn)在來討論對變換函數(shù)G(z-1)的要求。采用該變換函數(shù)的轉(zhuǎn)換應(yīng)滿足如下幾個條件：（1） 要使一個因果穩(wěn)定的低通系統(tǒng)變換成的新的系統(tǒng)應(yīng)該依然是一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，為此就要求在原z平面（u平面）單位圓內(nèi)的點(diǎn)映射到新的z

23、平面之后還在單位圓之內(nèi)。（2） 其次，兩個函數(shù)的頻響要滿足一定的要求，因此u的單位圓應(yīng)映射到z的單位圓上， 用和分別表示U平面和Z平面上的數(shù)字角頻率，則分別表示U平面和Z平面的單位圓，式（6-97）應(yīng)滿足 （6-98）（3）轉(zhuǎn)換后應(yīng)仍是的有理函數(shù)，則必須是的有理函數(shù)。2、變換函數(shù)G(z-1)的一般形式依據(jù)條件2，即式（6-98），則可得 （6-99） （6-100）由此可見，變換函數(shù)G(z-1)在單位圓上的幅度必須恒等于1，這種函數(shù)稱為全通函數(shù)。任何一個全通函數(shù)都可以表示為（6-101）式中，i為它的極點(diǎn)，可以是實(shí)數(shù)，也可以是共軛復(fù)數(shù)。依據(jù)條件一，為使濾波器穩(wěn)定，應(yīng)使（6-101）中的。N稱為

24、全通函數(shù)的階數(shù)。顯然，此式是的有理函數(shù)，滿足條件3。因此，可以作為轉(zhuǎn)換函數(shù)的一般形式。3、全通函數(shù)的特點(diǎn)（1）G(z-1)的所有零點(diǎn)都是其極點(diǎn)的共軛倒數(shù)。（2）對于N階全通函數(shù)，當(dāng)由0時，其相位函數(shù)()的變化量為N。選擇合適的N和i，則可得到各類變換。 根據(jù)全通函數(shù)的這些基本特點(diǎn)，下面具體討論數(shù)字域的各種原型變換。 二、數(shù)字低通到數(shù)字低通的變換1、變換函數(shù)在低通到低通的變換中，及都是低通函數(shù)，只是截止頻率互不相同，因此當(dāng)由0變到時，相應(yīng)的也應(yīng)由0變到，如圖（6-26）所示。圖（6-26）數(shù)字低通到數(shù)字低通的映射關(guān)系因此，根據(jù)全通函數(shù)相位()變化量為N的性質(zhì)，就可確定全通函數(shù)的階數(shù)必須為1，于是

25、，變換函數(shù)可為 （6-102）由圖可見，該函數(shù)必須滿足以下映射關(guān)系：；因此，該函數(shù)必須滿足：代入（6-102）可得 （1）若，則有：，即是實(shí)數(shù)（2）若，則有：，即，顯然不滿足|<1的條件。因此，低通數(shù)字到低通數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換公式為（6-103）2、變換函數(shù)中參數(shù)的確定若令，代入（6-103）則得或于是，（6-104）可解出的表達(dá)式為（6-105）由此式看出，的關(guān)系還與有關(guān)。圖6-27給出了不同值時的變換曲線。圖6-27 數(shù)字低通數(shù)字低通的頻率變換特性由圖看出，當(dāng)>0 時，此變換代表的是頻率壓縮；而<0 則是頻率擴(kuò)展。低通原型的值要映射成所需要濾波器的值。當(dāng)給定了之后，將其值代

26、入式（6-105），就可計(jì)算出值， （6-106）然后把值代入（6-103），即得到變換函數(shù)。三、數(shù)字低通到數(shù)字高通的變換若將低通濾波器的頻率加，則可將截止頻率為c的低通濾波器轉(zhuǎn)換為高通濾波器，此時高通濾波器的截止頻率是+c。因此，如果在上述數(shù)字低通到低通的變換中，再將z變換為-z，就將低通變換為相應(yīng)的高通了，即 （6-107）上式滿足(-1)=1，G(1)=-1，且有|<1。顯然，這時低通原型的截止頻率c對應(yīng)的不是c而是c+，-c則對應(yīng)于高通的截止頻率c。如圖（6-28）所示。圖6-28 低通濾波器器到高通濾波器的映射關(guān)系則求得： （6-108）四、數(shù)字低通到數(shù)字帶通的變換圖6-29

27、數(shù)字低通到數(shù)字帶通的映射關(guān)系數(shù)字低通到數(shù)字低通的映射關(guān)系如圖6-29所示。若帶通的中心頻率為c，它應(yīng)該對應(yīng)于低通原型的通帶中心，即=0點(diǎn)；當(dāng)帶通的頻率由c時，是由通帶走向止帶， 因此應(yīng)該對應(yīng)于由0；同樣，當(dāng)由c0 時，也是由通帶走向另一邊止帶，它對應(yīng)的是低通原型的鏡像部分，即相應(yīng)于由0-。這樣我們看到，當(dāng)由0變化到時，必須相應(yīng)變化2，也即全通函數(shù)的階數(shù)N必須為2，因此，由于系數(shù)b1，b2 ，c1，c2必須是實(shí)數(shù)可證，。于是有 （6-109）顯然，上式應(yīng)首先滿足映射關(guān)系：，或：，利用上述約束以及系數(shù)d1，d2必須是實(shí)數(shù)、，上式必須取“-”號，于是 （6-110）利用映射關(guān)系，；可得（詳細(xì)推導(dǎo)可參

28、見數(shù)字信號處理教程（第三版）（清華大學(xué)出版社出版，程佩青） （6-111）其中， （6-112） （6-113）五、數(shù)字低通數(shù)字帶阻數(shù)字低通到數(shù)字帶阻的映射關(guān)系如圖6-30所示。映射關(guān)系如下：，圖6-30 數(shù)字低通到數(shù)字帶阻的映射關(guān)系這樣我們看到，當(dāng)由0變化到時，必須相應(yīng)變化2，也即全通函數(shù)的階數(shù)N必須為2，因此，經(jīng)過與帶通濾波器類似的推導(dǎo)并利用相應(yīng)的映射關(guān)系，可得 （6-114）其中， （6-115）表6-5給出了上述變換公式及的計(jì)算公式。六、具體設(shè)計(jì)方法1、給出數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)2、確定模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)；（1）在模擬轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器時，若采用沖激不變法（注意，此法只能用于設(shè)計(jì)低通和帶

29、通濾波器），則采用（2）在模擬轉(zhuǎn)換到數(shù)字濾波器時，若采用雙線性變換法，則要用頻率預(yù)畸變公式計(jì)算模擬頻率指標(biāo)；3、根據(jù)表6-2中的頻率變換公式確定模擬低通濾波器的指標(biāo)；4、設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器；5、將歸一化模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換為頻率為的是低通濾波器6、轉(zhuǎn)換為截止頻率為的數(shù)字低通濾波器7、采用表6-5的公式轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的數(shù)字濾波器。表6-5 由截止頻率為c的低通數(shù)字濾波器變換成各型數(shù)字濾波器變換類型變換公式參數(shù)計(jì)算數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字低通數(shù)字高通數(shù)字低通數(shù)字帶通數(shù)字低通數(shù)字帶阻式中，是低通濾波器的中心頻率。分別是要設(shè)計(jì)的濾波器的中心頻率，通帶上下截止頻率。例6-12：采用“由模擬低通原型先轉(zhuǎn)換成數(shù)

30、字低通原型，然后再轉(zhuǎn)換成所需的數(shù)字濾波器” 的方法，設(shè)計(jì)一數(shù)字帶通濾波器。要求采用巴特沃思逼近及雙線性變換處理。指標(biāo)：通帶起伏：-3dB，0.40.5 ；阻帶衰減：-15dB，00.2， 0.7解：1）數(shù)字指標(biāo)（2）雙線性變換公式采用C=2/T，可令T=1，于是（3）頻率指標(biāo)轉(zhuǎn)換6）設(shè)計(jì)模擬低通濾波器所以：采用雙線性變換得到數(shù)字低通濾波器8）將數(shù)字低通濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字帶通濾波器（略）§6-5 直接法設(shè)計(jì)無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器 直接法可在頻域和時域進(jìn)行直接設(shè)計(jì)，在頻域進(jìn)行直接設(shè)計(jì)，目前有三種方法：z平面的簡單零極點(diǎn)法；幅度平方函數(shù)法；頻域優(yōu)化設(shè)計(jì)法。我們這里主要介紹z平面的簡單零極點(diǎn)法

31、。一、平面簡單零極點(diǎn)法的原理又稱為零極點(diǎn)累試法。在確定零極點(diǎn)位置時要注意：(1)極點(diǎn)必須位于z平面單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定； (2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對或取實(shí)數(shù)，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)可以表示成 （6-116）式中分別表示濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)。由第二章我們已經(jīng)知道，零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置完全決定了濾波器的幅度函數(shù)和相位函數(shù)，可以用選擇零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，按照對濾波器幅度和相位的要求來設(shè)計(jì)所需要的濾波器。這種方法通常只用來設(shè)計(jì)簡單的無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器，它具有比較清晰的物理概念，這在工程實(shí)踐中用得較多，再次予以討論。二、低通濾波器的設(shè)計(jì) 低通（高阻）濾波器。即使說其

32、性能特點(diǎn)為處傳輸系數(shù)為零，相當(dāng)于在處有一個零點(diǎn)，在處有一個極點(diǎn)，為小于1的正實(shí)數(shù)，越大，帶寬越窄。所以最簡單的低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)為 （6-117）式中a可以根據(jù)帶寬的要求來決定。 （6-118）函數(shù)式在式最大值如給定帶寬為，取 （6-119）由式（6-106）和6-107知由此可得此為的二次方程，解之得因，所以取 （6-120）如果將式（6-117）歸一化，即用除以式（6-117）則得 （6-121）例6-11：設(shè)計(jì)一個帶寬為2kHz的數(shù)字濾波器，若抽樣頻率8倍于帶寬，即，則，帶入式（6-108）有所以濾波器系統(tǒng)函數(shù)（歸一化）為也可以采用由共軛極點(diǎn)對組成的二階系統(tǒng)來滿足幅度特性的要求，其形

33、式為 （6-122）式中r表示極點(diǎn)到圓心的距離，表示極點(diǎn)與實(shí)軸正方向的夾角，所對應(yīng)的共軛極點(diǎn)為，如果適當(dāng)?shù)倪x擇，可得到幅度特性極好的濾波器，但若選得過大，就會變成帶通濾波器。二、高通濾波器的設(shè)計(jì)把低通濾波欺零極點(diǎn)位置互換，可以得到高通數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 （6-123） （6-124）式中為高通濾波器的截止頻率。當(dāng)然也可以用式（6-122）的形式來實(shí)現(xiàn)，此時應(yīng)接近于，零點(diǎn)改在外，即分子項(xiàng)變?yōu)?。三、帶通濾波器的設(shè)計(jì)如果把低通和高通濾波器級聯(lián)，即可得到帶通濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為 （6-125）式中 （6-126）1為帶阻濾波器起始頻率，2為帶阻濾波器截止頻率。帶通中心頻率將出現(xiàn)在 （6-127）處

34、，帶通濾波器也可以用二階系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)，此時只要取在帶通的中心頻率處，適當(dāng)?shù)剡x取r即可滿足帶寬的要求，此外，還應(yīng)在兩處各加一個零點(diǎn)。四、點(diǎn)阻（窄帶阻）濾波器的設(shè)計(jì)如對點(diǎn)進(jìn)行點(diǎn)阻（即陷波），則取零點(diǎn)，為了保證時，再加一對極點(diǎn)，應(yīng)接近于1，則系統(tǒng)函數(shù)為 (6-128)它實(shí)為一個二階系統(tǒng)，即 (6-129)五、點(diǎn)通（窄帶通）濾波器的設(shè)計(jì)有點(diǎn)阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)不難寫出點(diǎn)通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)?？紤]到系統(tǒng)在處增益為零最好，在處加零點(diǎn)，系統(tǒng)函數(shù)為 (6-130)或 (6-131)無論點(diǎn)阻還是點(diǎn)通都可由二階遞歸系統(tǒng)構(gòu)成。由此看來，簡單的無限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器應(yīng)盡量用二階環(huán)節(jié)來實(shí)現(xiàn)，只要改變即可得到各種類型的簡單濾波器。Z平面的簡單零、極法可以直接完成零、極點(diǎn)的配置, 也可以通過因式分解，將濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分解為一系列二階因式的乘積， 先單獨(dú)對各個二階因式進(jìn)行零、極點(diǎn)配置（每一個二階因式對應(yīng)一個阻帶），然后將這些二階因式級聯(lián)起來就得到所需阻帶特性的數(shù)字帶通濾波器。后一種實(shí)現(xiàn)方法的性能可優(yōu)于前一種方法。通過二階因式的級聯(lián)實(shí)現(xiàn)，還可把二階因式做成標(biāo)準(zhǔn)單元，除了分子分母的系數(shù)不同以外，所有的單元都具有相同的結(jié)構(gòu)。根據(jù)所要的濾波器阻帶個數(shù)，只需級聯(lián)相應(yīng)的二階單元就可以設(shè)計(jì)出符合要求的