機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)題目答案

1、1-1.簡(jiǎn)述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。答：優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是實(shí)際優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)抽象。在明確設(shè)計(jì)變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題就可以表示成一般數(shù)學(xué)形式。求設(shè)計(jì)變量向量使且滿足約束條件利用可行域概念，可將數(shù)學(xué)模型的表達(dá)進(jìn)一步簡(jiǎn)練。設(shè)同時(shí)滿足和的設(shè)計(jì)點(diǎn)集合為R，即R為優(yōu)化問(wèn)題的可行域，則優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可簡(jiǎn)練地寫(xiě)成 求使 符號(hào)“”表示“從屬于”。 在實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題中，對(duì)目標(biāo)函數(shù)一般有兩種要求形式：目標(biāo)函數(shù)極小化或目標(biāo)函數(shù)極大化。由于求的極大化與求的極小化等價(jià)，所以今后優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)一律采用目標(biāo)函數(shù)極小化形式。 1-2.簡(jiǎn)述優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的基本解法。（不要抄書(shū)，要?dú)w納） 答：

2、求解優(yōu)化問(wèn)題可以用解析解法，也可以用數(shù)值的近似解法。解析解法就是把所研究的對(duì)象用數(shù)學(xué)方程（數(shù)學(xué)模型）描述出來(lái)，然后再用數(shù)學(xué)解析方法（如微分、變分方法等）求出有化解。但是，在很多情況下，優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)描述比較復(fù)雜，因而不便于甚至不可能用解析方法求解；另外，有時(shí)對(duì)象本身的機(jī)理無(wú)法用數(shù)學(xué)方程描述，而只能通過(guò)大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)用插值或擬合方法構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù)式，再來(lái)求其優(yōu)化解，并通過(guò)試驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證；或直接以數(shù)學(xué)原理為指導(dǎo)，從任取一點(diǎn)出發(fā)通過(guò)少量試驗(yàn)（探索性的計(jì)算），并根據(jù)試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的比較，逐步改進(jìn)而求得優(yōu)化解。這種方法是屬于近似的、迭代性質(zhì)的數(shù)值解法。數(shù)值解法不僅可用于求復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，也可以用于處理沒(méi)有數(shù)

3、學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化問(wèn)題。因此，它是實(shí)際問(wèn)題中常用的方法，很受重視。其中具體方法較多，并且目前還在發(fā)展。但是，應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，由于不能把所有參數(shù)都完全考慮并表達(dá)出來(lái)，只能是一個(gè)近似的最后的數(shù)學(xué)描述。由于它本來(lái)就是一種近似，那么，采用近似性質(zhì)的數(shù)值方法對(duì)它們進(jìn)行解算，也就談不到對(duì)問(wèn)題的精確性有什么影響了。不管是解析解法，還是數(shù)值解法，都分別具有針對(duì)無(wú)約束條件和有約束條件的具體方法?？梢园凑諏?duì)函數(shù)倒數(shù)計(jì)算的要求，把數(shù)值方法分為需要計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)、一階導(dǎo)數(shù)和零階導(dǎo)數(shù)（即只要計(jì)算函數(shù)值而不需計(jì)算其導(dǎo)數(shù)）的方法。2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)有何意義？答：二元函數(shù)f(x1,x2)在x0

4、點(diǎn)處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫(xiě)成下面的形式令并稱它為函數(shù)f（x1，x2）在x0點(diǎn)處的梯度。假設(shè)為D方向上的單位向量，則有 即函數(shù)f（x1，x2）在x0點(diǎn)處沿某一方向d的方向?qū)?shù)等于函數(shù)在該點(diǎn)處的梯度與d方向單位向量的內(nèi)積。 梯度方向是函數(shù)值變化最快的方向，而梯度的模就是函數(shù)變化率的最大值。梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向?yàn)榈戎得娴姆ň€方向。梯度方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度-方向?yàn)楹瘮?shù)變化率最小方向，即最速下降方向。2-2.求二元函數(shù)在處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。解；由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的方向，這里用單位向量p表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時(shí)梯度的模。求f

5、（x1，x2）在x0點(diǎn)處的梯度方向和數(shù)值，計(jì)算如下： = 2-3.試求目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)X0=1,0T 處的最速下降方向，并求沿著該方向移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度后新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值。解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 則函數(shù)在X0=1,0T處的最速下降方向是 這個(gè)方向上的單位向量是： 新點(diǎn)是 新點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？（要求配圖）一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），如果連接其中任意兩點(diǎn)x1、x2的線段都全部包含在該集合內(nèi)，就稱該點(diǎn)集為凸集，否則為非凸集。函數(shù)f(x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對(duì)任何的及凸集域內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1、x2，存在如下不等式： 稱f（x）是定義在圖集上的一個(gè)凸函數(shù)。對(duì)于約束優(yōu)化問(wèn)題若 都是凸函

6、數(shù)，則稱此問(wèn)題為凸規(guī)劃。3-1.簡(jiǎn)述一維搜索區(qū)間消去法原理。（要配圖）答：搜索區(qū)間（a，b）確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間（a，b）內(nèi)任取兩點(diǎn)a1，b1 ，a1b1，并計(jì)算函數(shù)值f（a1），f（b1）。將有下列三種可能情形；1）f（a1）f（b1）由于函數(shù)為單谷，所以極小點(diǎn)必在區(qū)間（a，b1）內(nèi)2）f（a1）f（b1），同理，極小點(diǎn)應(yīng)在區(qū)間（a1，b）內(nèi)3）f（a1）=f（b1），這是極小點(diǎn)應(yīng)在（a1，b1）內(nèi)3-2.簡(jiǎn)述黃金分割法中0.618的來(lái)由，搜索過(guò)程及程序框圖。黃金分割法適用于區(qū)間上的任何單谷函數(shù)求極小值問(wèn)題。對(duì)函數(shù)除要求“單谷”外不作其

7、他要求，甚至可以不連續(xù)。因此，這種方法的適應(yīng)面相當(dāng)廣。黃金分割法也是建立在區(qū)間消去法原理基礎(chǔ)上的試探方法，即在搜索區(qū)間內(nèi)適當(dāng)插入兩點(diǎn)、，并計(jì)算其函數(shù)值。、將區(qū)間分成三段。應(yīng)用函數(shù)的單谷性質(zhì)，通過(guò)函數(shù)值大小的比較，刪去其中一段，使搜索區(qū)間得以縮短。然后再在保留下來(lái)的區(qū)間上作同樣的處置，如此迭代下去，使搜索區(qū)間無(wú)限縮小，從而得到極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。黃金分割法要求插入點(diǎn)、的位置相對(duì)于區(qū)間兩端點(diǎn)具有對(duì)稱性，即 其中，為待定常數(shù)。圖a除對(duì)稱要求外，黃金分割法還要求在保留下來(lái)的區(qū)間內(nèi)再插入一點(diǎn)所形成的區(qū)間新三段，與原來(lái)區(qū)間的三段具有相同的比例分布。設(shè)原區(qū)間長(zhǎng)度為1，如圖a所示，保留下來(lái)的區(qū)間長(zhǎng)度為，區(qū)間縮

8、短率為。為了保持相同的比例分布，新插入點(diǎn)應(yīng)在位置上，在原區(qū)間的位置應(yīng)相當(dāng)于在保留區(qū)間的位置。故有取方程正數(shù)解，得若保留下來(lái)的區(qū)間為，根據(jù)插入點(diǎn)的對(duì)稱性，也能推得同樣的值。所謂“黃金分割”是指將一線段分成兩段的方法，使整段長(zhǎng)與較長(zhǎng)段的長(zhǎng)度比值等于較長(zhǎng)段與較短段長(zhǎng)度的比值，即同樣算得?？梢?jiàn)黃金分割法能使相鄰兩次搜索區(qū)間都具有相同的縮短率0.618，所以黃金分割法又被稱作0.618法。圖 b黃金分割法的搜索過(guò)程是：（1） 給出初始搜索區(qū)間及收斂精度，將賦以0.618。（2） 按坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式、計(jì)算和，并計(jì)算其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，。（3） 根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短搜索區(qū)間。為了能用原來(lái)的坐標(biāo)點(diǎn)計(jì)算公式，需進(jìn)行

9、區(qū)間名稱的代換，并在保留區(qū)間中計(jì)算一個(gè)新的試驗(yàn)點(diǎn)及其函數(shù)值。（4） 檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值收斂到足夠近，如果條件不滿足則返回到步驟（2）。（5） 如果條件滿足，則取最后兩試驗(yàn)點(diǎn)的平均值作為極小點(diǎn)的數(shù)值近似解。（6）黃金分割法的程序框圖如圖b所示。3-3.對(duì)函數(shù)，當(dāng)給定搜索區(qū)間時(shí)，寫(xiě)出用黃金分割法求極小點(diǎn)的前三次搜索過(guò)程。（要列表）解；此時(shí)的a=-5，b=5。首先插入兩點(diǎn)a1和a2?？傻胊1=b-=-1.18 , a2=a+=1.18再計(jì)算相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值，得y1=f（a1）=-0.9676，y2=f（a2）=3.7524因?yàn)閥2>y1，所以消去區(qū)間a2,b，則新的搜索區(qū)間a,

10、b的端點(diǎn)a=-5不變，而端點(diǎn)b=a2=1.18第一次迭代；此時(shí)插入點(diǎn)a1=b-=-2.639，a2=-1.181。相應(yīng)插入點(diǎn)的函數(shù)值y1=f（a1）=1.686，y2=f（a2）=-0.967，由于y1>y2,故消去區(qū)間a，a1,新的搜索區(qū)間為-2.639,1.18，如此繼續(xù)迭代下去列出前三次迭代結(jié)果黃金分割法的搜索過(guò)程迭代序號(hào)aa1a2bY1比較Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.1811.181.686>-0.9672-2.639-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.18

11、1-0.279-0.457>-0.4823-4.使用二次插值法求f(x)=sin(x)在區(qū)間2,6的極小點(diǎn)，寫(xiě)出計(jì)算步驟和迭代公式，給定初始點(diǎn)x1=2，x2=4，x3=6， =10-4。解： 1234x1244.554574.55457x244.554574.736564.72125x36664.73656y10.909297-0.756802-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708xp4.554574.736564.721254.71236

12、yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次數(shù)K= 4 ，極小點(diǎn)為 4.71236 ，最小值為 -1 ，收斂的條件： 4-1.簡(jiǎn)述無(wú)約束優(yōu)化方法中梯度法、共軛梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別。答：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)相互垂直即是相鄰兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在梯度法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過(guò)程互相垂直，形成“之”字形的鋸齒現(xiàn)象。從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點(diǎn)的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？墒窃诮咏鼧O小點(diǎn)的位置，由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而

13、收斂速度減慢。這種情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾，其實(shí)不然，這是因?yàn)樘荻仁呛瘮?shù)的局部性質(zhì)。從局部上看，在一點(diǎn)附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降并不算快。共軛梯度法是共軛方向法中的一種，因?yàn)樵谠摲椒ㄖ忻恳粋€(gè)共軛的量都是依賴于迭代點(diǎn)處的負(fù)梯度而構(gòu)造出來(lái)的，所以稱作共軛梯度法。該方法的第一個(gè)搜索方向取作負(fù)梯度方向，這就是最速下降法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個(gè)角度，也就是對(duì)負(fù)梯度進(jìn)行修正。所以共軛梯度法實(shí)質(zhì)上是對(duì)最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來(lái)構(gòu)造共軛方向的一種共軛方向法，這種方法是在研究其有正定矩陣G的二次函數(shù)的

14、極小化問(wèn)題時(shí)形成的。其基本思想是在不用導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造G的共軛方向。在該算法中，每一輪迭代都用連結(jié)始點(diǎn)和終點(diǎn)所產(chǎn)生出的搜索方向去替換原向量組中的第一個(gè)向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組線性相關(guān)的原因所在。因此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換，還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個(gè)向量最壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個(gè)最壞的向量，以保證逐次生成共軛方向。4-2.如何確定無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題最速下降法的搜索方向？答：優(yōu)化設(shè)計(jì)是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向d取該點(diǎn)的負(fù)梯度方向-。使函數(shù)值在該點(diǎn)附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法（k=0，1,2，）

15、由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向-能獲得最大的下降值，其步長(zhǎng)因子應(yīng)取一維搜索的最佳步長(zhǎng)。即有根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得；或?qū)懗捎纱丝芍?，在最速下降法中，相鄰兩個(gè)迭代點(diǎn)上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù)梯度方向，因此相鄰的兩個(gè)搜索方向相互垂直。這就是說(shuō)在最速下降法中，迭代點(diǎn)向函數(shù)極小點(diǎn)靠近的過(guò)程。4-3. 給定初始值x0=-7,11T，使用牛頓法求函數(shù)的極小值點(diǎn)和極小值。解： 梯度函數(shù)、海賽矩陣分別為 （2分） （4分）假設(shè)初始值x0=-7,11T則 （1分） （2分）則 （1分）x1滿足極值的必要條件，

16、海賽矩陣是正定的，所以是極小點(diǎn)。 （2分）4-4.以二元函數(shù)為例說(shuō)明單形替換法的基本原理。答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)x1，x2，x3，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)組成一單純形。計(jì)算各頂點(diǎn)函數(shù)值，設(shè)f（x1）>f（x2）>f（x3），這說(shuō)明x3點(diǎn)最好，x1點(diǎn)最差。為了尋找極小點(diǎn)，一般來(lái)說(shuō)。應(yīng)向最差點(diǎn)的反對(duì)稱方向進(jìn)行搜索，即通過(guò)x1并穿過(guò)x2x3的中點(diǎn)x4的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點(diǎn)x5使 x5=x4+（x4-x1）x5稱作x1點(diǎn)相對(duì)于x4點(diǎn)的反射點(diǎn)，計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值f（X5），可能出現(xiàn)以下幾種情形；1）f（x5）<f（x3）即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)好要好，說(shuō)明搜索方向正確，可以

17、往前邁一步，也就是擴(kuò)張。2）f（x3）<f（x5）<f（x2）即反射點(diǎn)比最好點(diǎn)差，比次差點(diǎn)好，說(shuō)明反射可行，一反射點(diǎn)代替最差點(diǎn)構(gòu)成新單純形3）f（x2）<f（x5）<f(x1)，即反射點(diǎn)比次差點(diǎn)差，比最差點(diǎn)好，說(shuō)明x5走的太遠(yuǎn)，應(yīng)縮回一些，即收縮。4) f(x5)>f(x1)，反射點(diǎn)比最差點(diǎn)還差，說(shuō)明收縮應(yīng)該多一些。將新點(diǎn)收縮在x1x4之間5) f(x)>f(x1)，說(shuō)明x1x4方向上所有點(diǎn)都比最差點(diǎn)還要差，不能沿此方向進(jìn)行搜索。5-1.簡(jiǎn)述約束優(yōu)化方法的分類。（簡(jiǎn)述約束優(yōu)化問(wèn)題的直接解法、間接解法的原理、特點(diǎn)及主要方法。） 答: 直接解法通常適用于僅含不等

18、式約束的問(wèn)題，它的基本思路是在m個(gè)不等式約束條件所確定的可行域內(nèi)選擇一個(gè)初始點(diǎn)，然后決定可行搜索方向d，且以適當(dāng)?shù)牟介L(zhǎng)沿d方向進(jìn)行搜索，得到一個(gè)使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點(diǎn)，即完成一個(gè)迭代。再以新點(diǎn)為起點(diǎn)，重復(fù)上述搜索過(guò)程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計(jì)點(diǎn)沿該方向作微量移動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會(huì)越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解法中的各種算法決定。直接解法的原理簡(jiǎn)單，方法實(shí)用。其特點(diǎn)是：1）由于整個(gè)求解過(guò)程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因此迭代計(jì)算不論何時(shí)終點(diǎn)，都可以獲得一個(gè)比初始點(diǎn)好的設(shè)計(jì)點(diǎn)。2）若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜瑒t可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個(gè)局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點(diǎn)不相同時(shí)，可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個(gè)差別較大的初始點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，以便從求得多個(gè)局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。3）要求可行域?yàn)橛薪绲姆强占?，即在有界可行域?nèi)存在滿足全部約束條件的點(diǎn)，且目標(biāo)函數(shù)有定義。直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡(jiǎn)約梯度法等。間接解法有不同的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問(wèn)題中的約束函數(shù)進(jìn)行特殊的加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)或一系列的無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題。再對(duì)新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無(wú)約束優(yōu)化計(jì)算，從而間接地搜索到原約束問(wèn)題