學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng) 第2章 2.1　柯西不等式

1、.學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)建議用時(shí)：45分鐘學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.假設(shè)a2b21，x2y22，那么axby的最大值為A.1B.2C.D.4【解析】axby2a2b2x2y22，axby.【答案】C2.假設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c均大于0，且abc3，那么的最小值為A.3B.1C.D.【解析】abc1·a1·b1·c，且a，b，c大于0.由柯西不等式得1·a1·b1·c2121212a2b2c2，a2b2c23.當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)等號(hào)成立，的最小值為.【答案】D3.xy1，且x>0，y>0，那么2x23y2的最小值是 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000033】

2、A. B.C.D.【解析】2x23y22x23y2·xy2，當(dāng)且僅當(dāng)x·y·，即x，y時(shí)等號(hào)成立，2x23y2的最小值為.【答案】B4.假設(shè)aaa1，bbb4，那么a1b1a2b2anbn的最大值為A.1B.1C.2D.2【解析】aaabbb，a1b1a2b2anbn2，a1b1a2b2anbn24，故a1b1a2b2anbn2.因此a1b1a2b2anbn的最大值為2.【答案】C5.a2b2c21，x2y2z21，taxbycz，那么t的取值范圍為A.0,1B.1,1C.0，1D.1,1【解析】設(shè)a，b，c，x，y，z.|1，|1，由|·|，得|t|1

3、.t的取值范圍是1,1.【答案】D二、填空題6.a，b，cR，a2b3c6，那么a24b29c2的最小值為_.【解析】a2b3c6，1×a1×2b1×3c6，a24b29c2121212a2b3c2，即a24b29c212.當(dāng)且僅當(dāng)，即a2，b1，c時(shí)取等號(hào).【答案】127.假設(shè)a1,0，2，bx，y，z，假設(shè)x2y2z216，那么a·b的最大值為_.【解析】由題知，a·bx2z，由柯西不等式知120222x2y2z2x02z2，當(dāng)且僅當(dāng)向量a與b共線時(shí)“成立，5×16x2z2，4x2z4，即4a·b4.故a·b的

4、最大值為4.【答案】48.ab1，那么a2b2_.【解析】由柯西不等式得ab2a21a21b2b21，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)，ab·，a2b21a21b2，于是a2b21.【答案】1三、解答題9.為銳角，a，b均為正數(shù).求證：ab2.【證明】設(shè)m，ncos ，sin ，那么|ab|m·n|m|n| ·，ab2.10.在半徑為R的圓內(nèi)，求周長(zhǎng)最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形.【解】如下圖，設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方形ABCD的長(zhǎng)為x，寬為，于是 ABCD的周長(zhǎng)l2x21·x1×.由柯西不等式得l2x2212122·2R4R.當(dāng)且僅當(dāng)，即xR時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，寬R，即A

5、BCD為正方形，故周長(zhǎng)最大的內(nèi)接長(zhǎng)方形為正方形，其周長(zhǎng)為4R.才能提升1.函數(shù)y的最小值是A.B.2C.112D.1【解析】y.根據(jù)柯西不等式，得y2x1223x252x1223x252x13xx13x2252112，當(dāng)且僅當(dāng)，即x時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，ymin1.【答案】D2.a，b，c均大于0，A，B，那么A，B的大小關(guān)系是A.ABB.ABC.ABD.AB【解析】121212·a2b2c2abc2，當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立.又a，b，c均大于0，abc0，.【答案】B3.設(shè)a，b，c，x，y，z都是正數(shù)，且a2b2c225，x2y2z236，axbycz30，那么_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：38000034】【解析】由柯西不等式知：25×36a2b2c2·x2y2z2axbycz230225×36，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)取“.由k2x2y2z2225×36，解得k，所以k.【答案】4.a1，a2，an都是正數(shù)，且a1a2an1.求證：.【證明】根據(jù)柯西不等式得左邊a1a2a2a3a3a