大學(xué)物理教程郭振平主編 光的衍射

1、第四章光的衍射一、基本知識(shí)點(diǎn)光的衍射：當(dāng)光遇到小孔、狹縫或其他的很小障礙物時(shí)，傳播方向?qū)l(fā)生偏轉(zhuǎn)，而繞過(guò)障礙物繼續(xù)前行，并在光屏上形成明暗相間的圓環(huán)或條紋。光波的這種現(xiàn)象稱為光的衍射。菲涅耳衍射：光源、觀察屏（或者是兩者之一）到衍射屏的距離是有限的，這類衍射又稱為近場(chǎng)衍射。夫瑯禾費(fèi)衍射：光源、觀察屏到衍射屏的距離均為無(wú)限遠(yuǎn)，這類衍射也稱為遠(yuǎn)場(chǎng)衍射?；莞狗颇恚汗獠ㄔ诳臻g傳播到的各點(diǎn)，都可以看作一個(gè)子波源，發(fā)出新的子波，在傳播到空間某一點(diǎn)時(shí)，各個(gè)子波之間可以相互疊加。這稱為惠更斯菲涅耳原理。菲涅耳半波帶法：將寬度為的縫沿著與狹縫平行方向分成一系列寬度相等的窄條，對(duì)于衍射角為的各條光線，相鄰

2、窄條對(duì)應(yīng)點(diǎn)發(fā)出的光線到達(dá)觀察屏的光程差為半個(gè)波長(zhǎng)，這樣等寬的窄條稱為半波帶。這種分析方法稱為菲涅耳半波帶法。單縫夫瑯禾費(fèi)衍射明紋條件： 單縫夫瑯禾費(fèi)衍射暗紋條件： 在近軸條件下，很小，, 則第一級(jí)暗紋的衍射角為 第一級(jí)暗紋離開(kāi)中心軸的距離為 , 式中為透鏡的焦距。中央明紋的角寬度為 中央明紋的線寬度為 衍射圖樣的特征： 中央明紋的寬度是各級(jí)明紋的寬度的兩倍，且絕大部分光能都落在中央明紋上。 暗條紋是等間隔的。 當(dāng)入射光為白光時(shí)，除中央明區(qū)為白色條紋外，兩側(cè)為由紫到紅排列的彩色的衍射光譜。 當(dāng)波長(zhǎng)一定時(shí)，狹縫的寬度愈小，衍射愈顯著。光柵: 具有周期性空間結(jié)構(gòu)或光學(xué)性能（透射率，反射率和折射率等）

3、的衍射屏，統(tǒng)稱為光柵。光柵常數(shù): 每?jī)蓷l狹縫間距離稱為光柵常數(shù)。為透光部分的狹縫寬度，為擋光部分的寬度。光柵衍射明紋的條件： 光柵光譜：用白色光照射光柵時(shí)，除了中央明紋外，將形成彩色的光柵條紋，叫做光柵光譜。缺級(jí)：屏上光柵衍射的某一級(jí)主極大剛好落在單縫的光強(qiáng)為零處，則光柵衍射圖樣上便缺少這一級(jí)明紋，這一現(xiàn)象稱為缺級(jí)。缺極的條件： 發(fā)生缺極的主極大級(jí)次： 圓孔衍射: 中央亮斑（艾里斑）外面出現(xiàn)一些明暗交替的同心圓環(huán)。光能的84集中在中央亮斑。第一暗環(huán)對(duì)應(yīng)的衍射角: , 式中是光波的波長(zhǎng)，D 是圓孔的直徑。 瑞利判據(jù): 兩個(gè)點(diǎn)光源經(jīng)圓孔衍射后形成兩個(gè)衍射花樣。能夠區(qū)分兩點(diǎn)的極限是，一個(gè)點(diǎn)的衍射圖樣

4、的中央極大值與另一點(diǎn)的衍射圖樣的第一極小值重合，這時(shí)由兩個(gè)衍射圖樣合成后的光強(qiáng)分布曲線仍有兩個(gè)極大值。該判據(jù)叫做瑞利判據(jù)。眼睛的最小分辨角：，式中是光在真空中的波長(zhǎng)，是眼內(nèi)物質(zhì)的折射率，d 是瞳孔的直徑，是光在眼內(nèi)的波長(zhǎng)。理想光學(xué)系統(tǒng)的極限分辨角: , 式中為光學(xué)系統(tǒng)（如透鏡）的直徑。二、典型習(xí)題解題指導(dǎo)4-1在單縫夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中，波長(zhǎng)為的單色光的第三級(jí)亮紋與的單色光的第二級(jí)亮紋恰好重合，計(jì)算的值。解：根據(jù)單縫衍射的明紋條件可知：依題意，有 將兩式相除，代入得4-2用波長(zhǎng)為的平行單色光進(jìn)行單縫夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)，已知縫寬為，會(huì)聚透鏡的焦距，分別求出中央明條紋和第2級(jí)明條紋的寬度。解：（1）中

5、央明紋的角寬度為 ，依據(jù)單縫衍射的暗紋條件可知 中央明紋的寬度（2）第2級(jí)明條紋寬度即第2級(jí)暗條紋中心與第3級(jí)暗紋中心的距離 已知 ， 可得 ， 4-3某種單色平行光垂直入射在單縫上，單縫寬為，縫后放一個(gè)焦距為的凸透鏡，在透鏡的焦平面上，測(cè)得中央明條紋兩個(gè)第三級(jí)暗條紋之間的距離為，求入射光的波長(zhǎng)。解：依題意，中央明條紋兩側(cè)的兩個(gè)第三級(jí)暗條紋之間的距離是中央明紋寬度的3倍，因此有可得4-4單縫夫瑯禾費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)，若想將第三級(jí)暗紋處變?yōu)榈谝患?jí)明紋，不改變實(shí)驗(yàn)裝置部件和入射光波長(zhǎng)，只調(diào)整縫寬，則調(diào)整后縫寬與原來(lái)縫寬之比值為多少？ 解：設(shè)調(diào)整前后縫的寬度分別為、， 依題意有 , 因此 4-5在圓孔的夫瑯

6、和費(fèi)衍射中，設(shè)圓孔半徑為，透鏡焦距為，所用單色光波長(zhǎng)為，求在透鏡焦平面處屏幕上呈現(xiàn)的艾里斑半徑。 解：根據(jù)圓孔衍射的公式 當(dāng)很小時(shí)，有 而，所以 4-6月球距離地面約，設(shè)月光波長(zhǎng)為，問(wèn)月球表面距離為多遠(yuǎn)的兩點(diǎn)才能直接被地面上直徑為的天文望遠(yuǎn)鏡所分辨？ 解： 4-7波長(zhǎng)為的單色光垂直照射到寬度為的單縫上，緊貼縫后放一個(gè)焦距為的凸透鏡， 使衍射光射于放在透鏡焦平面處的屏上。求：1）光屏上第一級(jí)暗條紋離中心的距離。2）光屏上第二級(jí)明條紋離中心的距離。3） 如果單色光以入射角i30°斜射到單縫上，第二級(jí)明條紋離中央明紋中心距離。提示：注意的條件是否滿足。解：1）由單縫衍射的暗紋條件 得第一級(jí)

7、（k 1）暗紋滿足 ，即 當(dāng)很小時(shí)， ，因此光屏上第一級(jí)暗條紋離中心的距離 2）由明紋條件 ，得第二級(jí)（k 2）明紋 ，即第二級(jí)明紋距中心的距離為3）單色光傾斜入射到達(dá)單縫時(shí)，其上下兩列邊界光線之間已存在光程差，對(duì)應(yīng)等光程的中央主極大將移至點(diǎn)O（如圖4-1所示），此時(shí) i 30°。它距中心點(diǎn)O的距離為。這時(shí)，衍射條紋不但相對(duì)點(diǎn)O 不對(duì)稱，而且相對(duì)中央主極大的點(diǎn)O也不再嚴(yán)格對(duì)稱了。對(duì)于點(diǎn)O上方的條紋（此時(shí)入射光與衍射光位于法線兩側(cè)，且i），滿足對(duì)于點(diǎn)O 下方的條紋（此時(shí)入射光與衍射光位于法線同側(cè)），滿足 對(duì)于點(diǎn)O與O 之間的條紋（此時(shí)入射光與衍射光位于法線兩側(cè)，但i），滿足需要說(shuō)明的是

8、，點(diǎn)O與O之間的條紋與點(diǎn)O下方的條紋屬于中央主極大同一側(cè)的各級(jí)條紋，不同的是前者k 值較小，后者k 值較大，且k 值在點(diǎn)O附近連續(xù)變化。圖4-1 先計(jì)算點(diǎn)O上方第二級(jí)明紋的位置：由，得該明紋距中心O的距離 離中央明紋中心距離 再計(jì)算O點(diǎn)下方第二級(jí)明紋的位置： 由于所求k 值較小，可考慮條紋處在O與O 之間，有，即該明紋距中心的距離離中央明紋中心距離 4-8一衍射光柵，每厘米有200條透光縫，每條透光縫寬為 ，在光柵后放一焦距為的凸透鏡?，F(xiàn)以的單色平行光垂直照射光柵，求：1）透光縫的單縫衍射中央明紋寬度為多少？ 2）在該寬度內(nèi)，有幾個(gè)光柵衍射主極大？解：（1）（2）光柵方程 其中 ，而因此，即單

9、縫衍射的第一級(jí)暗紋處介于光柵衍射的第二級(jí)與第三級(jí)之間，故單縫衍射中央明紋寬度內(nèi)出現(xiàn)這5個(gè)光柵衍射主極大條紋。4-9 用白光（波長(zhǎng)）垂直照射每厘米2000條 刻線的光柵，光柵后放一個(gè)焦距為的凸透鏡，求第一、第二級(jí)光譜的寬度。解：光柵方程 ，（1）第一級(jí)光譜滿足 ， 白光第一級(jí)光譜的寬度為 （2）第二級(jí)光譜遵從 白光第二級(jí)光譜的寬度為 4-10復(fù)色光由波長(zhǎng)為與的單色光組成，垂直入射到光柵上，測(cè)得屏幕上距離中央明紋中心處的 的級(jí)譜線與的級(jí)譜線重合，若會(huì)聚透鏡的焦距，求：1）的值。2）光柵常數(shù)。解：（1）光柵方程 ，依題意，有 解得 （2）設(shè)級(jí)的衍射角 很小時(shí)，因此 4-11波長(zhǎng)為的單色光垂直入射在一個(gè)光柵上，第二、第三級(jí)明條紋分別出現(xiàn)在衍射角滿足與處，第四級(jí)缺級(jí)，試問(wèn)：1）光柵上相鄰兩縫的間距是多大？2) 光柵狹縫的最小可能寬度是多大？3）按上述選定的、值，試列出屏幕上可能呈現(xiàn)的全部級(jí)數(shù)。 解：（1）因此， （2）由缺級(jí)條件 得 （3）最大級(jí)次為即 在，實(shí)際不可見(jiàn)。4-12用白光入射每厘米中有6500條刻線的平面光柵上，求第三級(jí)光譜張角。（白光：）解：用白光照射光柵，除中央明紋為白光外，其余處出現(xiàn)一系列光譜帶，稱為光柵光譜。每個(gè)光譜帶是由同一級(jí)次不同波長(zhǎng)的明紋依次排列而成。所謂第三級(jí)光譜的張角是指入射光中最小