高一寒假 第3講 數(shù)列的小伙伴們 教師版 目標班

1、.數(shù)列的小伙伴們第3講滿分晉級 數(shù)列1級與數(shù)列的第一次親密接觸數(shù)列3級等差數(shù)列深化數(shù)列2級數(shù)列的小伙伴們知識切片 <老師備案>本講內容分成兩部分：31等比數(shù)列的根本量；32等比數(shù)列的性質初步本講內容較少，可以與上一講進展一個時間上的平衡本講思路是：先從直觀上認識等比數(shù)列，通過一些詳細的數(shù)列感受等比數(shù)列并學習等比中項，之后再學習等比數(shù)列的通項公式，熟悉通項公式以及正確計算等比數(shù)列的項數(shù)再學習等比數(shù)列的求和公式，以及一些簡單的性質希望把概念分開講解，分別配例題國際象棋的故事在暑期指數(shù)函數(shù)已經(jīng)講過了，此處就盡量不用了，由漢諾塔引入3.1等比數(shù)列基本量計算等比數(shù)列引入漢諾塔在印度，有這么一

2、個古老的傳說：在世界中心貝拿勒斯在印度北部的圣廟里，印度教的主神大梵天在創(chuàng)造世界的時候做了三根金剛石柱子，在其中一根柱子上從下到上地放著由大到小的64片黃金圓盤，這就是所謂的漢諾塔如以下圖不管白天黑夜，總有一個僧侶在按照下面的法那么挪動這些圓盤：一次只挪動一片，不管在哪根柱子上，小圓盤必在大圓盤上面當所有的金盤都從梵天放好的那根柱子上移到另外一根上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸于盡故漢諾塔問題又被稱為“世界末日問題要把圓盤挪動到另外一根柱子上，至少需要挪動多少次呢？設有個圓盤，要從挪動到，至少需要挪動的次數(shù)為易知時，的時候，可以考慮先將上面兩個小的移到上，要次，再將最大

3、的那個移到上，要次，最后將上的兩個移到上，要次，總共要次對于一般的，我們可以類似考慮如以下圖：先將上面?zhèn)€圓盤移到上，要次；然后將最大的那個盤子移到上，要次挪動；最后再將上的那個圓盤移到上，要次這種方法需要的次數(shù)為下面簡單說明一下，至少要挪動的次數(shù)只需要考慮最大的那個圓盤挪動到上的時候，此時，比較小的個圓盤必定是圖中的擺放方式，這個圓盤從到要次，然后這個盤子移到又要次，因此總共至少要次才行綜上可得到數(shù)列的遞推公式，那么也可變形為，于是假設一秒鐘能挪動一次，那完成目的需要的時間就是秒，大概是億年，地球是遠撐不到那個時候的當然，我們不是要討論地球什么時候消滅，而是要研究像這樣的數(shù)列，比方怎么求和，類

4、似于這樣的數(shù)列就是等比數(shù)列考點1：等比數(shù)列的概念知識點睛1文字定義：假如一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示2符號定義：數(shù)列中，假設為常數(shù)，那么稱為等比數(shù)列<老師備案>對于等比數(shù)列定義的詳細理解： 由于等比數(shù)列每一項都可作為分母，故每一項均不為0，因此也不為0 “從第二項起是因為首項沒有“前一項 均為同一常數(shù)，即比值相等，由此表達了公比的意義，同時還要注意公比是每一項與前一項之比，防止前后次序顛倒 假如一個數(shù)列不是從第2項起而是從第3項或第4項起每一項與它前一項的比都是同一個常數(shù)，此數(shù)

5、列不是等比數(shù)列這時可以說此數(shù)列從第2項起或第3項起是一個等比數(shù)列 假如一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比盡管是一個與無關的常數(shù)，但卻是不同的常數(shù)，這時此數(shù)列不是等比數(shù)列 常數(shù)列都是等差數(shù)列，但卻不一定是等比數(shù)列假設常數(shù)列是各項都為0的數(shù)列，它就不是等比數(shù)列當常數(shù)列各項不為0時，是等比數(shù)列經(jīng)典精講【例1】 等比數(shù)列的認識以下數(shù)列是等比數(shù)列嗎?假如是，求出公比，假如不是說明理由【追問】等比數(shù)列是不是一定是單調的？【解析】 不是等比數(shù)列，是等比數(shù)列的項中有0，此數(shù)列從第2項起是一個等比數(shù)列，【追問】主要是希望學生通過一些等比數(shù)列的例子探究一下等比數(shù)列的單調性，不涉及等比數(shù)列的通項公式時，等比數(shù)

6、列是常數(shù)列，不單調性；時，等比數(shù)列一定是正負交替的，這時數(shù)列一定不單調，如；，時數(shù)列單調增加，如；，時，數(shù)列單調遞減，如；，時，數(shù)列單調遞減，如；，時，數(shù)列單調遞增，如考點2：等比數(shù)列的通項公式知識點睛等比數(shù)列，首項為，公比為，第項為，通項公式：第項首項項數(shù)減1<老師備案>等比數(shù)列通項公式的推導：可以直接迭代，根據(jù)等比數(shù)列定義有也可以用疊乘法進展推導：根據(jù)等比數(shù)列的定義，可以得到，把以上個等式左右兩邊分相乘得即，經(jīng)典精講【例2】 等比數(shù)列的根本量與通項公式數(shù)列的通項公式為，那么首項_，公比_等比數(shù)列的第項_，第20項_等比數(shù)列的第項為_，項數(shù)_等比數(shù)列中，那么該數(shù)列的通項_；到共項

7、，或是寫出通項公式知；根據(jù)題意得： 得到，<老師備案>等比數(shù)列的求和中一個關鍵的問題是正確確定數(shù)列的項數(shù)，等比數(shù)列的公比的冪次成等差數(shù)列，故等比數(shù)列的項數(shù)求法用到等差數(shù)列的項數(shù)求法，這里的挑戰(zhàn)五分鐘是為了熟悉項數(shù)的求法，防止錯誤題目數(shù)量較少，用不到五分鐘【挑戰(zhàn)五分鐘】等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_等比數(shù)列的項數(shù)為_，共項；，共有項；，共項，共有項數(shù)列是等比數(shù)列，那么公比_由等比數(shù)列的通項公式，【點評】假如目測的話，很可能會認為公比是，漏掉考點3 ：等比數(shù)列的求和公式知識點睛是常數(shù)列等比數(shù)

8、列的前項和為，有前項和公式：項數(shù)首項時，；時，非常數(shù)列<老師備案>等比數(shù)列前項和公式的推導：一般用得多的是前面的求和公式法一：由等比數(shù)列的定義知，將這個等式的兩邊分別相加得：，即，整理得，當時，顯然此式對也成立；當時，法二：錯位相減法會在春季同步的求和中再次遇到將上式兩邊同乘以得：，兩式相減得：，以下討論同法一<老師備案>注意等比數(shù)列的求和公式對的情況需要單獨討論！當時，將前項和公式整理成，即等比數(shù)列的前項和公式一定有的形式，給出等比數(shù)列的前項和公式可以快速看出公比，且前面的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)，由此可以快速解決例4例：等比數(shù)列的前項和，那么，；等比數(shù)列的前項和，那么

9、，整理一下得，故；等比數(shù)列的前項和，那么，有，且這個結論可以這么理解：；這樣的式子無法算出，故常常出問題，見易錯門診；要想不成問題，希望成立，故希望，即得經(jīng)典精講【鋪墊】2019東城一模文11設是等比數(shù)列，假設，那么 ，數(shù)列的前項的和 數(shù)列是等比數(shù)列，前項和記為，那么_ 等比數(shù)列的和為_ ；此等比數(shù)列的公比為，可直接用公式；也可算出項數(shù)為，得【例3】 等比數(shù)列的前項和等比數(shù)列的和為_設，那么等于 ABCD數(shù)列是等比數(shù)列，前項和記為，假設，公比，那么使得的項數(shù)_等比數(shù)列的前項和為，那么_，_等比數(shù)列的前項和為，那么的值為 A B C D目的班專用等比數(shù)列中，求首項和公比 D；構成以為首項，為公比

10、的等比數(shù)列，且共有項，故 3；由等比數(shù)列的前項和公式，；，故 C；解法一：當時，即，解法二：，由中項公式得，即，解得或舍，解法三：，由定義形式可知，化簡得，解得或；又，得或，【點評】一般來說，對于我們沒必要用求和公式去求，這樣也省去討論的費事<老師備案>求時，不管是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，或者其它數(shù)列，都要注意單獨討論對第1題，因為，故數(shù)列是從第項開場才是等比數(shù)列等比數(shù)列的求和中，注意與時，公式是大不相同的，需要分別討論1數(shù)列的前項和，求通項【解析】 當時，；當時，故2求其中為常數(shù)【解析】 當時，；當時，；當時，<老師備案> 例4介紹較為復雜的等比數(shù)列根本量的計算，在同步

11、班中等比數(shù)列的根本量只做課前回憶，不再展開，例4的【追問】會在春季同步時作為性質展開，此處可作為一個考慮的問題【例4】 等比數(shù)列的根本量綜合數(shù)列的前項和，那么數(shù)列的前項和為 ABCD2019年豐臺區(qū)高三一模數(shù)學理10等比數(shù)列的首項為1，假設成等差數(shù)列，那么數(shù)列的前5項和為_【追問1】數(shù)列為等比數(shù)列，公比為，那么數(shù)列，中哪些是等比數(shù)列？是等比數(shù)列的，公比為多少？【追問2】數(shù)列，都為等比數(shù)列，公比分別為，那么數(shù)列，是否為等比數(shù)列？是等比數(shù)列的，公比為多少？假如，數(shù)列是否為等比數(shù)列？設等差數(shù)列的公差不為，假設是與的等比中項，那么等于 ABCD目的班專用設等比數(shù)列的公比為，前項和為假設成等差數(shù)列，那么

12、的值為_【解析】 D；由知，故，數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，故它的前項和為設數(shù)列的公比為，那么，即，解得，所以，前5項的和為追問1：數(shù)列，都為等比數(shù)列，公比分別為；不是等比數(shù)列，是等差數(shù)列，公差為；既不是等比數(shù)列，也不是等比數(shù)列追問2：數(shù)列，是等比數(shù)列，公比分別為；數(shù)列在時一定不是等比數(shù)列；在時，可能不是等比數(shù)列，但假如數(shù)列中各項都非零的話，一定是等比數(shù)列，公比為如：不是等比數(shù)列 B；，即由得：，由得：，即，故或負值舍去解法一：由題意知，即，解法二：由題意知；假設，有，因為，故有，這不可能；假設，那么有，由可化簡得：，解得或舍去3.2等比數(shù)列性質初步<老師備案>和等差數(shù)列類似，

13、等比數(shù)列的題目只要知道和后，都可以通過這兩個根本量的各種運算來求解同樣的假如總是生搬根本公式的話，計算量會很大，準確率會降低，因此我們還需要學習一些省時省事的小技巧，即等比數(shù)列的一些簡單性質當然也不能舍本逐末，等比數(shù)列的根本量的根底運算還是最重要的，性質只是輔助根本概念明白透徹了，性質也會更容易理解學習等比數(shù)列的性質，可以和等差數(shù)列的性質對照引入考點4：等比數(shù)列的性質知識點睛1等比中項：三個數(shù)，組成等比數(shù)列，叫做，的等比中項假如是和的等比中項，那么2等比數(shù)列的主要性質：假設是等比數(shù)列，那么假設是等比數(shù)列，當時，特別地：當時，對應項的積相等項數(shù)和相等當時，特別地：當時，項數(shù)是等差中項對應項是等比

14、中項假設是等比數(shù)列，那么下標成等差數(shù)列的子列構成等比數(shù)列，為等比數(shù)列，公比為<老師備案>這一講對等比數(shù)列的性質只學習它常用的幾條，其它性質我們還會在春季同步班重點學習對性質的簡單證明如下：當時，特別地：當時，為等比數(shù)列，公比為<老師備案>性質1是說明求通項時，可以從任意項開場求，比方，求時，可以常規(guī)求出，再由通項公式算；也可以直接用來求解在使用中，常常將性質和同時使用，比方在等比數(shù)列中，求可以先利用性質說明成等比數(shù)列，然后利用性質說明，也可以直接使用性質由等比數(shù)列的性質知一個等比數(shù)列隔項取一定是等比數(shù)列，這時新的等比數(shù)列的公比為，不注意這個有時可能會出錯，見易錯門診經(jīng)典

15、精講【鋪墊】各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，那么_在各項均為負數(shù)的等比數(shù)列中，那么_，_，_【解析】 ；，負值舍去；得：，故，從而；又此數(shù)列各項均為負數(shù)，故；，故；【例5】 等比數(shù)列的性質是的等比中項，那么 ；為等比數(shù)列，那么 等比數(shù)列的各項為正，公比滿足，那么的值為 A B2 C D在等比數(shù)列中， 假設是方程的兩根，那么 2019年海淀區(qū)高三一模數(shù)學理在等比數(shù)列中，那么= AB C D在等比數(shù)列中，那么_目的班專用在等比數(shù)列的前項中，最小，且，前項和，那么_，_D；根據(jù)性質2得B；由得，又，因此，；根據(jù)性質2得，由性質3知下標成等差數(shù)列的子列也構成等比數(shù)列，即構成等比數(shù)列公比，目的班專用；由題意可

16、知，解得，即，故【例6】 等比數(shù)列的性質應用設等比數(shù)列的公比為，前項和為，那么的通項 ，即<老師備案>講完這題可以接著講后面的易錯題那道題中可能等于零，容易被無視直接消去【備選】在等比數(shù)列中，假設數(shù)列的公比大于，且，求數(shù)列的前項和【解析】 由等比數(shù)列的性質得 ，所以是方程的兩個根由公比大于1解得，1數(shù)列是等比數(shù)列，那么_，_，但，故；符號要驗證求等比中項2設等比數(shù)列的公比，前項和為，那么的通項 【解析】 或，即，而由等比數(shù)列的性質有：，即當時，當時，又因，所以所以實戰(zhàn)演練 【演練1】 在等比數(shù)列中，那么公比為 A2B3 C4D8【解析】 A；【演練2】 設是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，假

17、設，那么數(shù)列前7項的和為 A63 B64 C127 D128【解析】 C【演練3】 假設為等差數(shù)列的連續(xù)三項，那么的值為 A1023B1025 C1062 D2047【解析】 A；由題意知于是【演練4】 等比數(shù)列的前項和為，那么公比 設等比數(shù)列的公比為，前項和為，那么 ，即，解得或；【演練5】 在等比數(shù)列中，假設是方程的兩根，那么的值是_【演練6】 在等比數(shù)列中， 假設，求； 假設，求公比解得，代入可得解方程得或當時，；當時，故或 由，得，即 ，又由，得，即 得 ，【點評】 在求得，或，后，由于，因此，公比一定大于0 在等比數(shù)列中，奇數(shù)項和偶數(shù)項分別同號無論公比大于0或小于0，因此，在求出 后

18、，的值應為此外，上題還可以直接將兩式相除得，從而求出概念要點回顧 1等比數(shù)列，首項，公比為，那么通項公式為_2等比數(shù)列的公比為，首項，那么前項和公式為_3等比數(shù)列，假設，那么_填、分牛的傳說古代的印度，有一位老人，他在彌留之際，把三個兒子叫到床前，對他們說：“我就要去見真主了，辛苦了一輩子，沒有其它珍貴遺產留給你們，只有19頭牛，你們自己去分吧，老大分總數(shù)的1/2，老二分總數(shù)的1/4，老三分總數(shù)的1/5話音甫落，老人就咽了氣按照印度的教規(guī)，牛被視為神靈，不準宰殺，只能整頭的分，而祖先的遺囑必須無條件遵從那么，這19頭牛怎樣分呢？這道題著實難壞了兄弟三人他們請教了許多有才學的人，人們總是搖頭，表示愛莫能助三兄弟急得走投無路，卻無計可施結局大家估計也聽過：有一天，一位老農牽著一頭牛路過，看到兄弟三人愁眉苦臉，便動問原由老農聽后思索了片刻說：“這件事好辦，我把自己的一頭牛借給你們，這樣總共就有了20頭牛，老大可分得10頭，老二可分得5頭，老三可分得4頭，你們三人分去了19頭牛，剩下的一頭再還給我！真是妙極了！一個曾使多少人費盡心機無法解決的大難題竟這樣干脆利落的解決了，不