多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原理

1、 多功能夫瑯禾費(fèi)演示儀光學(xué)原理 該儀器將實(shí)現(xiàn)夫瑯禾費(fèi)衍射，展示衍射現(xiàn)象。夫瑯禾費(fèi)衍射是菲涅爾衍射的遠(yuǎn)場(chǎng)近似，弗朗禾費(fèi)近似是用平面波來(lái)當(dāng)作子波，夫瑯禾費(fèi)衍射積分公式為 根據(jù)衍射屏函數(shù)的不同將夫瑯禾費(fèi)分為以下幾類(lèi)注：該儀器使用振幅為A的平行單色平面光源。一、 夫瑯禾費(fèi)的單縫衍射的光強(qiáng)分布公式及特征 單縫的屏函數(shù)為。在（1-1）式中 在接收面上的坐標(biāo)x與衍射角有以下關(guān)系：。所以采用分號(hào)前與無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)用表示，并采用角坐標(biāo)代替x，即。令（此處假設(shè)以單色平行光照射，振幅為A）然后將（1-1）式簡(jiǎn)化進(jìn)行計(jì)算；即 （此處運(yùn)用歐拉公式） 令 ， 其中表示夾縫的邊緣與中心的光波在P點(diǎn)產(chǎn)生的相位差。所以 所以I=令

2、表示時(shí),即在接收屏中心處的光強(qiáng),則有I= (1-3)單縫衍射的主要特征:函數(shù)極大值的地方對(duì)應(yīng)于衍射圖象的亮條紋.函數(shù)值等于0的地方對(duì)應(yīng)于暗條紋1 主極大-零級(jí)衍射條紋由1-3式知當(dāng)時(shí).=0相當(dāng)于到達(dá)屏上點(diǎn)的各衍射子波之間相位相同，產(chǎn)生最大光強(qiáng)，點(diǎn)是衍射斑中心，也就是幾何光學(xué)像點(diǎn)位置。2次極大-高級(jí)衍射斑次極大出現(xiàn)在的方位上,即解得=土1.43 土2.46 土3.47 土1.43 土2.46 土3.47 =4.7% 1.7% 0.8% 3暗紋的位置暗紋出現(xiàn)在不等于0而=0的方位上,對(duì)應(yīng)的I=0,即滿足=土1 土2 土3 . 土n 土 土2 土3 土n可以將暗紋滿足的條件寫(xiě)成4亮斑的角寬度對(duì)于中央

3、亮條紋,其半角寬度 等于其他各級(jí)亮條紋的角寬度。二，矩形孔徑；矩形孔徑的屏函數(shù); ，當(dāng)用振幅為A的單色平面波垂直照孔徑，其夫瑯禾費(fèi)場(chǎng)分布為 = =（1-4）令所以，I=（1-5）。矩形孔衍射的主要特征一,衍射光強(qiáng)分布(1).對(duì)于沿x軸的光強(qiáng)分布,因Y=0,有 其特性光強(qiáng)分布與單縫時(shí)相同(2)對(duì)于沿Y軸的光強(qiáng)分布,因X=0有: 其特性光強(qiáng)分布與單縫相同(3)在X,Y軸以外各點(diǎn)的光強(qiáng)度,可按1-8式進(jìn)行計(jì)算,圖1-1給出了一些特征點(diǎn)的光強(qiáng)相對(duì)值.顯然XOY面內(nèi)存在一些次極大點(diǎn),但他們的光強(qiáng)極弱0.0070.00220.0470.00220.0170.04710.0470.00070.00220.0

4、470.00220.00220.00070.0170.0007二 中央亮斑矩形孔衍射的光能量主要集中在中央亮班處,其邊緣在X,Y軸的位置是 x=土和y=土中央亮斑的面積為 S=,該式說(shuō)明，中央亮斑面積與矩形孔面積成反比。并由知，中央亮斑越大，相應(yīng)點(diǎn)光強(qiáng)越小。三 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射。由于圓孔結(jié)構(gòu)的幾何對(duì)稱(chēng)性，采用極坐標(biāo)系處理設(shè)：圓孔半徑為a，圓孔中心位于光軸上，則圓孔上任意一點(diǎn)Q的位置坐標(biāo)與相應(yīng)的直角坐標(biāo)系為 設(shè)：觀察屏上任意一點(diǎn)P的位置坐標(biāo)與相應(yīng)的直角坐標(biāo)系的關(guān)系 因此，P點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅按照（1-1）式，在經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換后為 （1-8）其中是衍射方向與光軸的夾角，這里利用了的近似關(guān)系根據(jù)零階貝塞爾

5、函數(shù)的積分表達(dá)式 可將（1-8）式變換為 （1-9）這里已利用了為偶函數(shù)的性質(zhì)。再由貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)式中為一階貝塞爾函數(shù)，可得 =因此，P點(diǎn)的光強(qiáng)度為 = （1-10）其中是光軸上點(diǎn)的光強(qiáng)；是圓孔的面積是圓孔邊緣與中心點(diǎn)在統(tǒng)一方向上光線間的相位差 夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射圖樣及光強(qiáng)分布特征（1） 衍射圖樣，由及（1-10）式可知，夫瑯禾費(fèi)圓孔衍射的光強(qiáng)度分布僅與衍射角度有關(guān)，而與方位角無(wú)關(guān)（2） 衍射圖樣的極值特性由貝塞爾函數(shù)的級(jí)數(shù)定義，可將（1-10）變?yōu)楫?dāng)=0時(shí)，即對(duì)應(yīng)光軸上的點(diǎn)，有，它是衍射光強(qiáng)的主極大值。當(dāng)值滿足時(shí)，I=0，這些值決定了衍射暗環(huán)的位置。在相鄰的兩個(gè)暗環(huán)之間存在一個(gè)衍射極大值。其

6、位置滿足 其中為二階貝塞爾函數(shù)，下表列出了幾個(gè)中央的幾個(gè)亮環(huán)和暗環(huán)的值即相對(duì)光強(qiáng)的大小。圓孔衍射的光強(qiáng)分布條紋序數(shù)光能分布中央亮紋0183.78%第一暗紋1.220=3.83200第一亮紋1.635=5.1360.01757.22%第二暗紋2.233=7.01600第二亮紋2.679=8.4170.004152.77%第三暗紋3.238=10.17400第三亮紋3.699=11.6200.00161.46%（3） 愛(ài)里斑 中央亮紋叫愛(ài)里斑。愛(ài)里斑的半徑由第一光強(qiáng)極小值處的值決定，即因此 愛(ài)里斑的角半徑。四，夫瑯禾費(fèi)多縫衍射設(shè)有N個(gè)縫，每個(gè)縫的寬度均為a，縫間不透光的部分為b，光柵周期d=a+b

7、稱(chēng)為光柵常數(shù)，考慮在接收屏上某一點(diǎn)的光強(qiáng)，相鄰兩縫至點(diǎn)的光程差和相位差分別為 第一個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為 第二個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為.第N個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的光振動(dòng)復(fù)振幅為現(xiàn)將N個(gè)縫在點(diǎn)產(chǎn)生的N個(gè)振動(dòng)疊加起來(lái)，其合成振幅為 = = = =夫瑯禾費(fèi)多縫衍射的主要特征1， 至極大的位置和光強(qiáng)當(dāng)dsin, m=0，±1， ±2，±3.有2， 極?。泓c(diǎn)）的位置當(dāng)dsin, m=0，±1， ±2，±3.，=1，2，,N-1時(shí)，有=0可見(jiàn)，在相鄰兩個(gè)主極大之間有N-1個(gè)極?。ò稻€），有N-2個(gè)次級(jí)大。3.次級(jí)大次級(jí)大的位置可以通過(guò)對(duì) 求導(dǎo)

8、，近似得例如在m=0和m=1主極大之間，次級(jí)大出現(xiàn)的位置。共N-2個(gè)，在 時(shí)，衍射強(qiáng)度即靠近零級(jí)主極大的次級(jí)大強(qiáng)度，只有零級(jí)主極大的0.045倍 ，此外次級(jí)大的寬度隨著N的增大而減小。當(dāng)N很大時(shí)，它將與強(qiáng)度零點(diǎn)混成一片。成為衍射圖樣的背景。4.主極大的半角寬度第m級(jí)主極大峰值的角位置 滿足第m級(jí)主極大旁第一個(gè)（）極小的角位置應(yīng)滿足得5.缺級(jí)現(xiàn)象由于多縫衍射是干涉和衍射的共同效應(yīng)，所以存在缺級(jí)現(xiàn)象。對(duì)于某一級(jí)干涉主極大的位置，如果恰有 ，即相應(yīng)的衍射角 同時(shí)滿足 m=0，±1， ±2，±3. n=±1， ±2，±3.即則該級(jí)主極大將消失

9、，多縫衍射強(qiáng)度變?yōu)榱?，成為缺?jí)。*（特殊圖形的公式推導(dǎo)有待確認(rèn)）五特殊圖形的衍射光強(qiáng)1d=0.25mm,a=0.04mm，a為縫寬，d為兩縫間距則將此組合看作由一個(gè)單縫和雙縫發(fā)生干涉，X軸方向看作無(wú)窮遠(yuǎn)。單縫的光強(qiáng)雙縫的光強(qiáng)單縫與雙縫發(fā)生干涉其光程差其光強(qiáng)表達(dá)式 =+ +2. 則將此組合看作由兩個(gè)雙縫發(fā)生干涉，X軸方向看作無(wú)窮遠(yuǎn)。第一個(gè)雙縫光強(qiáng)其中第二個(gè)雙縫光強(qiáng)其中二個(gè)雙縫發(fā)生干涉，其光程差其光強(qiáng)分布為 =+cos3 則將此組合看作兩個(gè)雙縫發(fā)生干涉在X軸上看作無(wú)窮遠(yuǎn)第一個(gè)雙縫光強(qiáng)分布其中第二個(gè)雙縫光強(qiáng)分布其中二個(gè)雙縫發(fā)生干涉，其光程差=0則=4，則將此組合看作一個(gè)三雙縫和一個(gè)雙縫發(fā)生干涉，在X軸上看作無(wú)窮遠(yuǎn)對(duì)于三縫光其中強(qiáng)對(duì)于雙縫光強(qiáng)其中三縫與二縫進(jìn)行干涉光程差則光強(qiáng)分布公式為 =+cos5.正方形矩陣可將此圖形衍射看作，在X軸方向11縫衍射與Y軸方向11縫衍射的疊加。因兩個(gè)多縫垂直因此無(wú)干涉現(xiàn)象。在X軸方向的11個(gè)縫 a=0.02mm,d=0.109mm 其光強(qiáng)分布 其中 在Y軸方向的11個(gè)縫 a=0.02mm,d=0.109mm 其光強(qiáng)分布其中所以疊加后光強(qiáng)6.菱形矩陣11可將此圖形衍射看作，三個(gè)11縫衍射后再進(jìn)行干涉。建立如圖坐標(biāo)系，其中