定積分應(yīng)用二重積分三重積分

1、積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用平面圖形面積1、圖形由,及圍成：.2、 圖形由,及圍成：, 其中：.3曲線由參數(shù)方程給出時(shí)，在上所圍圖形的面積公式為4曲邊扇形的面積由曲線及矢徑所圍成的曲邊扇形的面積公式為例1求由,所圍成的圖形的面積.解：由 得 或 .例2 計(jì)算由曲線和直線所圍成圖形的面積解：解之得. 則 平面曲線的弧長(zhǎng)光滑（即連續(xù)可微分的）曲線在區(qū)間，上的弧長(zhǎng)公式為.曲線由參數(shù)方程給出，則在區(qū)間，上的弧長(zhǎng)為.曲線由極坐標(biāo)方程給出，則曲線上弧的長(zhǎng)為.例 計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)（如圖75所示）解法1 （對(duì)的積分）得，弧微分 解法2 （對(duì)的積分）從0到，則由0變到，而.由上可得弧長(zhǎng)為旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積1函數(shù)在上繞軸旋轉(zhuǎn)

2、的旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式為.2曲線繞軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積公式.例1 計(jì)算圓在上的弧段繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的球面的表面積解對(duì)曲線,應(yīng)用公式得當(dāng)時(shí)，則得半徑為球的表面積公式如果平面曲線由參數(shù)方程給出，那么由它繞軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積公式為.例2 計(jì)算由星形線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積。解 由曲線的對(duì)稱性及公式得例3 求拋物線繞軸、軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積解（1）繞軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積（2）繞軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的表面積 旋轉(zhuǎn)體的體積1、立體由繞軸旋轉(zhuǎn)一周及,圍成,其體積.2、若曲線=在上繞軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體的體積為.例1 求由繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成環(huán)體的體積解：本旋轉(zhuǎn)體是由曲線及在區(qū)間上所圍成圖形繞軸旋

3、轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體之差。即 例2 求擺線的一拱，繞軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體的體積。解 擺線的一拱，則 平面截面積已知的立體體積立體在中每一點(diǎn)處的截面積為,其體積.例1 一平面過(guò)半徑為的園柱底中心，并與底面成夾角.計(jì)算平面截圓柱體所得立體的體積解: . .物理學(xué)上的應(yīng)用1平面的重心:由曲線,和直線,所圍成平面，且，設(shè)平面的密度是均勻的，而該平面的重心坐標(biāo)為，則 ， .2.變力所作的功:設(shè)有一變力，其方向平行于軸，大小為.則在微小區(qū)間上變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的微小功的近似值是則就是的功“元素”。所以在力的作用下，將質(zhì)點(diǎn)從軸上的點(diǎn)移至點(diǎn)所作的功為 3.液體的壓力:如果垂直面積是由曲線與軸及兩直線所圍成的曲邊梯形，則

4、取距液面為，高度為，寬為的矩形橫條上所受的壓力為壓力元素為.于是整個(gè)垂直面積所受壓力為 例1 求拋物線所圍成圖形面積的重心，面密度為常數(shù)解 由重心橫坐標(biāo)公式得因圖形關(guān)于對(duì)稱，故重心必在對(duì)稱軸上，即，所以重心為例 2 半徑為米的圓板垂直浸入水中，圓板中心在水面下米處。試求板面所受的壓力.解 沿水面作軸，過(guò)圓板中心垂直向下為軸，建立坐標(biāo)系，則圓板的周界方程為或。注意到=1及圖形的對(duì)稱性，則全板上所受的壓力為（噸）微分法在幾何上的應(yīng)用:二重積分1二重積分的運(yùn)算（1）直角坐標(biāo)下二重積分的運(yùn)算1） 若為型區(qū)域，即，則2） 若為型區(qū)域，即，則（2） 極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算若，則 2曲面面積：設(shè)曲面S的方程

5、：曲面S的面積公式 例1 求圓錐在圓柱體內(nèi)那一部分的面積. 解：由題意即求曲面，的面積，由面積計(jì)算公式3平面薄板的重心：密度分布為的平面薄板D的重心坐標(biāo)為 .例1 設(shè)薄片所占的閉區(qū)域?yàn)榻橛趦蓚€(gè)圓,()之間的閉區(qū)域,且面密度均勻,求此均勻薄片的質(zhì)心(形心)。解 由的對(duì)稱性可知: 所以 4平面薄板的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：密度分布為的平面薄板D對(duì)坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為；為點(diǎn)到的距離函數(shù)一般轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為. 例1求密度均勻的圓環(huán)D對(duì)于垂直于圓環(huán)面的中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：設(shè)，密度為，則.例2求均勻圓盤D對(duì)于其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.解：設(shè)圓盤為，密度為，對(duì)y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為.例3 求密度均勻的圓環(huán)對(duì)于垂直于圓環(huán)面而過(guò)圓環(huán)的中

6、心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓環(huán)的質(zhì)量.解 設(shè)圓環(huán)為，密度為,則，5平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力:設(shè)有一平面薄片,占有面上的閉區(qū)域,在點(diǎn) 處的面密度為,假定在上連續(xù),現(xiàn)計(jì)算該薄片對(duì)位于軸上點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力。在閉區(qū)域上任取一個(gè)小的閉區(qū)域,是內(nèi)的任一點(diǎn),他的質(zhì)量近似等于,于是薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力近似值為,引力的方向于向量一致,其中,為引力常數(shù).于是三重積分1三重積分的計(jì)算（1）直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算法：若，則（2）柱面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算法：若，則 （3）球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算法：若，則 2重心：設(shè)是密度為的空間物體，在上連續(xù)，因的質(zhì)量為，對(duì)平面的靜力矩為，由重心坐標(biāo)的概念有，以分別表示的重心的各個(gè)坐標(biāo)

7、，應(yīng)有，所以，。例3 求密度均勻的上半橢球體的重心解 設(shè)橢球體由式，表示由對(duì)稱性知=0，由前節(jié)的例5的結(jié)果，可得=.3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量和到轉(zhuǎn)動(dòng)軸的距離的平方的乘積，即. 當(dāng)討論空間物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問(wèn)題時(shí)，利用討論質(zhì)量、重心等相由的方法可得：設(shè)空間物體的密度函數(shù)為，它對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 =，=，=，對(duì)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=，對(duì)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=，對(duì)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=，對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為=.例1設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比，求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量解 設(shè)球體由式表示，密度函數(shù)為，則它對(duì)切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 =.4對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力:求密度為的立體對(duì)立體外一質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)的引力設(shè)的坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)用表示。我們用微元法來(lái)求對(duì)的引力，中質(zhì)量微元對(duì)的引力在坐標(biāo)軸上的投影為，其中為引力系數(shù)，是到的距離。于是力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影分別為，所