廣義積分與含參量積分

1、第十二章廣義積分與含參量積分一。廣義積分1. 無(wú)窮積分與瑕積分定義：設(shè)為瑕點(diǎn)，。2。收斂充要條件。 設(shè)為瑕點(diǎn)，3無(wú)窮積分的性質(zhì)（1） 若收斂，則。（2） 若收斂，則收斂。（3） 與有相同的斂散性。（4） 若與收斂，則。 （5）,（已知其中兩項(xiàng)收斂）. （6）若收斂，且上嚴(yán)格增加，存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則。 瑕積分有類似的性質(zhì)。4 無(wú)窮積分與瑕積分可互化設(shè)為瑕點(diǎn)，。5 收斂判別法（1）若 ，則；。若 ，則；。常用來(lái)比較的廣義積分：；。極限形式：，若，則收斂； 若，則發(fā)散。設(shè)為的瑕點(diǎn)，若，則收斂； 若，則發(fā)散。 （2）若，上有界，則當(dāng) 時(shí)，收斂。若在上有界，則當(dāng) 時(shí)，收斂 二含參量積分（一） 概念：1 定

2、義（1）含參變量的有限積分：（2）含參變量的無(wú)窮積分：。2 無(wú)界函數(shù)的廣義積分可以化為無(wú)窮限的廣義積分。3 含參量無(wú)窮積分可以化為函數(shù)級(jí)數(shù)：其中為單調(diào)增加趨于無(wú)窮的數(shù)列，。所以，含參量無(wú)窮積分的理論可平行于函數(shù)級(jí)數(shù)來(lái)建立。（二） 含參量無(wú)窮積分一致收斂判別法1 利用定義判別：，則在上一致收斂。2 利用充要條件：（1）柯西準(zhǔn)則：在上一致收斂的充要條件是.(2) 在上一致收斂任給單調(diào)遞增數(shù)列在上一致收斂。3M-判別法：若有控制函數(shù)滿足：收斂，則在上一致收斂。4阿貝爾判別法：若（1）關(guān)于在一致收斂；（2）單調(diào)，并關(guān)于為一致有界；則關(guān)于在上一致收斂。5狄立克萊判別法：若（1）對(duì)于和一致有界；（2）單調(diào)

3、，并當(dāng)時(shí)關(guān)于上的一致趨于零；則關(guān)于在上一致收斂。6證明不一致收斂的方法：（1）若，則在上不一致收斂。（2）若連續(xù)，又在上收斂，但在處發(fā)散，則在上不一致收斂。（見例4）（三）含參量積分的分析性質(zhì)：性質(zhì)含 參 量 定 積 分含參量無(wú)窮積分條 件結(jié) 論條 件結(jié) 論連續(xù)性關(guān)于在一致收斂?？晌⑿栽谏弦恢率諗?。在上可微，且可積性I（x）、J（y）分別在a，b、c，d可積在上一致收斂。 I（x）在a，b可積性質(zhì)含參量無(wú)窮積分條 件結(jié) 論可積性關(guān)于y在任何閉區(qū)間c，d一致收斂；關(guān)于x在任何閉區(qū)間a，b一致收斂；與中有一個(gè)收斂。（四）利用含參量積分計(jì)算定積分。方法一：（1） 把表成含參量積分；（2） 驗(yàn)證條件，

4、施行積分號(hào)下積分法。方法二：（1） 找一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瑓⒘糠e分：，使得，從而，；（2） 驗(yàn)證條件，施行積分號(hào)下微分法，（要關(guān)于x的原函數(shù)，易于求得）； （3） 對(duì)求積分；（4） 令取極限，或取，以確定常數(shù)，從而得出的表達(dá)式；（5） 。上述積分號(hào)下積分法與積分號(hào)下微分法就是交換兩種運(yùn)算的順序，其作用是使不易直接求出的積分，先經(jīng)過(guò)積分處理或微分處理之后，變得易于求出。三例題1 設(shè)，求：。解：及都在上連續(xù)，且，又因?yàn)?，收斂，所以，一致收斂，從而? （8。1）所以， ，當(dāng) ，由（8。1）式，得=。2 設(shè)在內(nèi)成立不等式，若在上一致收斂，證明：在上一致收斂且絕對(duì)收斂。 證明：由條件，從而有，。所以，在上一致

5、收斂且絕對(duì)收斂。3 證明：若（存在），則。證明：先證在上一致收斂。方法一：用阿貝爾判別法因?yàn)椋?）收斂，即關(guān)于一致收斂；（2）且對(duì)固定的y ，對(duì)x單調(diào)。所以，在上一致收斂。 方法二：關(guān)于在非負(fù)、單調(diào)減少，在可積，由積分第二中值定理，對(duì)一切，有因此，從收斂，可以推出在上一致收斂。因?yàn)槭諗?，在上一致收斂，所以，?dāng)時(shí)，有時(shí)， 。所以，。4設(shè)在連續(xù),對(duì)上每一個(gè),收斂,但積分在發(fā)散,證明:這積分在非一致收斂. 證明:因?yàn)榘l(fā)散,所以，.又因?yàn)樵谶B續(xù),所以,在一致連續(xù).對(duì),有從而有， 故所以，關(guān)于非一致收斂.5。證明：在上連續(xù)可微。（廈門大學(xué)2002年試卷）證明：,在連續(xù)； 單調(diào)一致趨于零，由狄立克萊判別法知在一致收斂，從而在連續(xù)可微，因此，在連續(xù)可微，由的任意性，在連續(xù)可微。6設(shè)在連續(xù)，證明：。（武漢大學(xué)2003年試卷）證明：因?yàn)樵谶B續(xù)，對(duì)任意的自然數(shù)，從而，在0，1有界，設(shè)。因?yàn)?，由的連續(xù)性，所以，從而有。所以，。練習(xí)題1. 證明，若函數(shù)在是正值單調(diào)減少的，且，則無(wú)窮積分與極限同時(shí)收斂，且。2. 判別下列無(wú)窮積分的斂散性：（1）；（2）；（3）。3證明，若函數(shù)在可導(dǎo)，且單調(diào)減少，而積分收斂，則無(wú)窮積分收斂。4判別廣義積分的絕對(duì)收斂與條件收斂。5證明，若瑕積分收斂（0是瑕點(diǎn)），且函數(shù)在（0，1）上單調(diào)，則。6已知，計(jì)算。7計(jì)算無(wú)