工程流體力學(xué) 禹華謙 習(xí)題答案

1、 第六章 理想流體動力學(xué)6-1平面不可壓縮流體速度分布為Vx=4x+1；Vy=-4y.(1) 該流動滿足連續(xù)性方程否? (2) 勢函數(shù)、流函數(shù)存在否?（3）求、 解：（1）由于，故該流動滿足連續(xù)性方程 （2）由z=()=0, 故流動有勢，勢函數(shù)存在，由于該流動滿足連續(xù)性方程， 流函數(shù)存在，.（3）因 Vx=4x+1 Vy=-=-4y d=dx+dy=Vxdx+Vydy=(4x+1)dx+(-4y)dy= d=dx+dy=Vxdx+Vydy= (4x+1)dx+(-4y)dy =2x2-2y2+xd=dx+dy=-Vydx+Vxdy=4ydx+(4x+1)dy= d=dx+dy=-Vydx+Vx

2、dy= 4ydx+(4x+1)dy=4xy+y6-2 平面不可壓縮流體速度分布:Vx=x2-y2+x; Vy=-(2xy+y).(1) 流動滿足連續(xù)性方程否? (2) 勢函數(shù)、流函數(shù)存在否? (3)求、 .解：（1）由于+=2x1（2x1）0，故該流動滿足連續(xù)性方程，流動存在.(2）由z=()=0, 故流動有勢，勢函數(shù)存在，由于該流動滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)也存在. （3）因 Vx= = x2-y2+x, Vy=-=-(2xy+y). d=dx+dy=Vxdx+Vydy=(x2-y2+x )dx+(-(2xy+y).)dy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy = (x2-y2+x )dx+(

3、- (2xy+y)dy =-xy2+(x2-y2)/2d=dx+dy=-Vydx+Vxdy = d=dx+dy=-Vydx+Vxdy =(2xy+y)dx+ (x2-y2+x)dy =x2y+xy-y3/36-3平面不可壓縮流體速度勢函數(shù) =x2-y2-x,求流場上A(-1,-1),及B(2,2)點處的速度值及流函數(shù)值解: 因 Vx= =2x-1，Vy ，由于+0，該流動滿足連續(xù)性方程，流函數(shù)存在d=dx+dy=-Vydx+Vxdy = d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=2ydx+(2x-1)dy=2xy-y 在點(-1,-1)處 Vx=-3; Vy=2; =3 在點(2,2)處 Vx=3

4、; Vy=-4; =66-4已知平面流動速度勢函數(shù) =-lnr,寫出速度分量Vr,V,q為常數(shù)。解: Vr= =-, V=06-5 已知平面流動速度勢函數(shù) =-m+C ,寫出速度分量Vr、V, m為常數(shù)解: Vr= =0, V=-6-6已知平面流動流函數(shù)=x+y,計算其速度、加速度、線變形率xx,yy, 求出速度勢函數(shù).解： 因 Vx= = 1 Vy=-=-1 d=dx+dy=Vxdx+Vydy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+(-1)dy=x-y ax=； ay= 6-7 已知平面流動流函數(shù)=x2-y2,計算其速度、加速度,求出速度勢函數(shù).解： 因 Vx= = -2y Vy=-

5、=-2x d=dx+dy=Vxdx+Vydy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy=-2ydx+(-2x)dy=-2xy ax=x ay=y; 6-8一平面定常流動的流函數(shù)為 試求速度分布，寫出通過A（1，0），和B（2，）兩點的流線方程.解：, 平面上任一點處的速度矢量大小都為，與x和正向夾角都是。A點處流函數(shù)值為，通過A點的流線方程為。同樣可以求解出通過B點的流線方程也是。6-9 已知流函數(shù)=V(ycos-xsin),計算其速度,加速度,角變形率(=(+),并求速度勢函數(shù).解： 因 Vx= = Vcos Vy=-= Vsis d=dx+dy=Vxdx+Vydy= d=dx+dy=Vxdx

6、+Vydy= Vcosdx+ sisdy= V( cosx+ sisy) ax= ay=; =(+)=06-10.證明不可壓縮無旋流動的勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。解: 不可壓縮三維流動的連續(xù)性方程為 將關(guān)系代入上式得到 或 可見不可壓縮有勢流動的勢函數(shù)是一調(diào)和函數(shù)。6-11 什么樣的平面流動有流函數(shù)?答: 不可壓縮平面流動在滿足連續(xù)性方程或 的情況下平面流動有流函數(shù). 6-12 什么樣的空間流動有勢函數(shù)?答: 在一空間流動中，如果每點處的旋轉(zhuǎn)角速度矢量=i+j+k都是零矢量，即，或關(guān)系成立, 這樣的空間流動有勢函數(shù). 6-13 已知流函數(shù)=-,計算流場速度.解: Vr=- V=-=06-14平面不可壓

7、縮流體速度勢函數(shù) =ax(x2-3y2),a<0,試確定流速及流函數(shù),并求通過連接A(0,0)及B(1,1)兩點的連線的直線段的流體流量.解： 因 Vx=a(3x2-3y2) Vy=-=-6axy d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=6axydx+a(3x2-3y2)dy = d=dx+dy=-Vydx+Vxdy =6axydx+(3x2-3y2)dy =3x2y-ay3在A(0,0)點 A=0； B（1,1）點B=2a，q=A-B=-2a.6-15 平面不可壓縮流體流函數(shù)=ln(x2 +y2), 試確定該流動的勢函數(shù).解：因 Vx= = Vy=-=- d=dx+dy=Vxdx+Vyd

8、y=dx-dy Vxdx+Vydy=dx-dy=-26-16 兩個平面勢流疊加后所得新的平面勢流的勢函數(shù)及流函數(shù)如何求解?解: 設(shè)想兩個平面上各有一平面勢流，它們的勢函數(shù)分別為，, 流函數(shù)分別為?，F(xiàn)將兩個平面重合在一起，由此將得到一個新的平面流動，這一新的流動與原有兩個平面流動都不相同。合成流動仍然是一有勢流動，其勢函數(shù)可由下式求出：同樣，合成流動的流函數(shù)等于6-17 在平面直角系下, 平面有勢流動的勢函數(shù)和流函數(shù)與速度分量有什么關(guān)系?解: 在平面直角系下, 平面有勢流動的勢函數(shù)和流函數(shù)與速度分量有如下關(guān)系. 6-18什么是平面定常有勢流動的等勢線? 它們與平面流線有什么關(guān)系?解:在平面定常有

9、勢流動中，勢函數(shù)只是x,y的二元函數(shù)，令其等于一常數(shù)后，所得方程代表一平面曲線，稱為二維有勢流動的等勢線。平面流動中，平面上的等勢線與流線正交。6-19 試寫出沿y方向流動的均勻流(V=Vy=C=V)的速度勢函數(shù)，流函數(shù).解：因 Vx= =0 Vy=-=V d=dx+dy=Vxdx+Vydy=0dx+ Vdy = Vyd=dx+dy=-Vydx+Vxdy=- Vdx - Vx6-20 平面不可壓縮流體速度分布為：Vx=x-4y；Vy=-y-4x 試證：（1） 該流動滿足連續(xù)性方程， (2) 該流動是有勢的，求, (3)求，解：（1）由于 1-1=0，故該流動滿足連續(xù)性方程, 流函數(shù)存在(2）由

10、于z= ()=0, 故流動有勢, 勢函數(shù)存在.3）因 Vx= =x-4y Vy=-=-y-4xd=dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy = d=dx+dy=Vxdx+Vydy= (x-4y) dx+(-y-4x)dy =d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy= d=dx+dy=-Vydx+Vxdy=(y+4x)dx+(x-4y)dy =xy+2(x2-y2)6-21 已知平面流動流函數(shù)=arctg，試確定該流動的勢函數(shù).解：因 Vx= = Vy=-= d=dx+dy=Vxdx+Vydy=dx+dy = d=dx+dy=Vxd

11、x+Vydy= dx+dy = 6-22 證明以下兩流場是等同的，()=x2+x-y2, ()=2xy+y. 證明:對 ()=x2+x-y2 Vx= =2x+1 Vy=-2y 對 () =2xy+y Vx =2x+1 Vy=-=-2y 可見與代表同一流動.6-23 已知兩個點源布置在x軸上相距為a的兩點，第一個強度為2q的點源在原點，第二個強度為q的點源位于（a, 0）處，求流動的速度分布（q0）。解: 兩個流動的勢函數(shù)分別為及, 合成流動的勢函數(shù)為+, +)=(+)=6-24 如圖所示，平面上有一對等強度為的點渦，其方向相反，分別位于（0，h），（0，-h）兩固定點處，同時平面上有一無窮遠平

12、行于x軸的來流，試求合成速度在原點的值。解: 平面上無窮遠平行于x軸的來流, 上,下兩點渦的勢函數(shù)分別為，, , 因而平面流動的勢函數(shù)為+ , ,+,將原點坐標(0,0)代入后可得, .6-25 如圖，將速度為的平行于x軸的均勻流和在原點強度為q的點源疊加，求疊加后流場中駐點位置。解: 均勻流和在原點強度為q的點的勢函數(shù)分別為及, 因而平面流動的勢函數(shù)為+, , ,令, 得到,. 6-26如圖，將速度為的平行于x軸的均勻流和在原點強度為q的點源疊加，求疊加后流場中駐點位置, 及經(jīng)過駐點的流線方程.解: 先計算流場中駐點位置.均勻流和在原點強度為q的點的勢函數(shù)分別為及, 因而平面流動的勢函數(shù)為+, , ,令, 得到,.此即流場中駐點位置. 均勻流和在原點強度為q的點的流函數(shù)分別為, ,因而平面流動的流函數(shù)為+, 在駐點, 因而經(jīng)過駐點的流線方程為+=06-27 一強度為10的點源與強度為-10的點匯分別放置于（1，0）和（-1，0），并與速度為25的沿x 軸負向的均勻流合成，求流場中駐點位置。解: 均