層次分析法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

1、層次分析法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用摘要：人們在生活中處理一些決策問題的時候，要考慮的因素有多有少，有大有小，但是一個共同的特點是它們通常都涉及到經(jīng)濟(jì) 、社會、 人文等方面的因素。在作比較、 判斷 、評價、 決策時，這些因素的重要性 影響力或者優(yōu)先程度往往難以量化，人的主觀選擇會起著相當(dāng)主要的作用，這就給用一般的數(shù)學(xué)方法解決問題帶來本質(zhì)上的困難。這是就有人提出了一種能有效地處理這樣一類問題的實用方法，稱為層次分析法，這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。以及在對層次分析法的引入基礎(chǔ)之上，建立層次分析模型，并給出了層次分析的求解過程，以及在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：層次分析法；成對比較矩

2、陣；權(quán)向量；一致性指標(biāo)；一致性比率 一 問題的提出：人們在日常生活中常常碰到許多決策問題：請朋友吃飯要籌劃是辦家宴還是去飯店，是吃中餐、西餐還是自助餐；假期旅游和科研成果的評價。諸如此類問題面臨抉擇，就要慎重考慮，反復(fù)比較，盡可能滿意的決策。 然而人們在處理上面這些決策問題的時候，要考慮的因素有多有少，有大有小，但是一個共同的特點是它們通常都涉及經(jīng)濟(jì)社會和人文等方面的因素。在做比較、判斷、評價、決策時，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度難以量化，人的主觀選擇會起著相當(dāng)重要的作用。T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70年代提出了一種能有效地處理這樣一類問題的實用方法，稱為層次分析法（簡稱AHP）

3、，這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。 二 層次分析法的基本步驟1.將決策問題分解為三個層次。最上層為目標(biāo)層，最下層為方案層，中間層為準(zhǔn)則層。2.通過相互比較確定各準(zhǔn)則對于目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對于每一準(zhǔn)則的權(quán)重，這些權(quán)重在人的思想過程中通常是定性的，而在層次分析法中則要給出得到權(quán)重的定量方法。3.將方案層對準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合，最終確定方案層對目標(biāo)層的權(quán)重。在層次分析法中要給出進(jìn)行綜合的計算方法。 三 構(gòu)造成對比較陣、計算權(quán)向量并做一致性檢驗；計算組合權(quán)向量并做組合一致性檢驗。1.成對比較矩陣和權(quán)向量 所有因素兩兩相互對比，對比時采用相對尺度，以盡可能減

4、少性質(zhì)不同的諸因素相互對比的困難，提高準(zhǔn)確度。假設(shè)要比較某一層n個因素對上層一個因素O的影響，每次取兩個因素和。用表示和對O的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較矩陣。A=(),>0, =1/由于此式給出的的特點，A稱為正互反矩陣，=1一般地，如果一個正互反矩陣A滿足=。ijk=1,2n;則稱A為一致陣，證明n階一致陣A有下列性質(zhì)。 A的秩為1，A的唯一非零特征根為n。 A的任一列向量都是特征根n的特征向量。權(quán)向量：如果得到的成對比較陣是一致陣，自然應(yīng)取對應(yīng)于特征根n的歸一化的特征向量。（即分量和為1）表示諸因素對上層因素O的權(quán)重。此向量稱為權(quán)向量。記，作為權(quán)向量即滿足A=。通常在層次分析

5、法的應(yīng)用中都會采用1-9尺度即比較尺度。（如下表1所示） 尺度 含義 1 3 5 7 9 2 4 6 8 1，1/2，1/9 與的影響相同 比的影響稍強(qiáng) 比的影響強(qiáng) 比的影響明顯的強(qiáng) 比的影響絕對的強(qiáng)與的影響之比在上述兩個相鄰等級之間 與的影響之比為上面的互反數(shù) （表1） 2 一致性檢驗n階正互反矩陣A的最大特征根為n，且（此為一致陣時）n階正互反矩陣A的最大特征根是n，而當(dāng)=n時是一致陣。CI=-n/n-1此為一致性指標(biāo)，（CI=0時A為一致陣）CI越大A不一致程度越嚴(yán)重。為了確定A的不一致程度的容許范圍，需要找出衡量A的不一致性指標(biāo)CI的標(biāo)準(zhǔn)，則需要引入隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。（可以參考隨機(jī)性

6、一直性指標(biāo)RI的數(shù)值）RI的計算過程為：對于固定的n，隨機(jī)地構(gòu)造正互反陣，然后計算的一致性指標(biāo)CI。將成對比較陣A（n3）的一致性指標(biāo)CI與同階的隨機(jī)一致性指標(biāo)RI之比稱為一致性比率CR。當(dāng)CR<0.1時認(rèn)為A的不一致程度在容許范圍之內(nèi)。（即一致性檢驗通過）3 組合權(quán)向量 計算個方案對目標(biāo)的權(quán)向量，稱為組合權(quán)向量。相類似于以上的方法做一致性檢驗。 =0.1 (R=34s)； 四 實例分析 1 科研成果評價的層次結(jié)構(gòu)模型 通過對圍繞科研成果評價的相關(guān)問題作深入分析，我們將影響科研成果評價的主要因素分解為4個層次，各層次的聯(lián)系用相連的直線表示，它們構(gòu)成了如圖1所示的層次分析結(jié)構(gòu)模型。其中第一

7、層為目標(biāo)層，第二層為準(zhǔn)則層，第三層為子準(zhǔn)則層，第四層為方案層。科研成果綜合評價科學(xué)性創(chuàng)造性實踐性科研成果其中各項符號表示如下： （圖1）：選題符合客觀實際，理論依據(jù)正確；：研究方案具有科學(xué)性；：論證、推理合乎邏輯；：對已有理論做出新的解釋、論證，使原有理論深化；：填補(bǔ)某項科學(xué)空白，具有國內(nèi)、國際意義；：提出新理論、觀點、概念，論證成立；：研究成果為有關(guān)部門決策與管理提供參考依據(jù)，具有很高的適用價值；：研究成果形成了可操作方法，實用性強(qiáng)，具有一定的推廣價值；：省內(nèi)、國內(nèi)學(xué)術(shù)界同行放映強(qiáng)烈，具有較高的引用率。（一）模型的求解1 計算成對比較矩陣。為了客觀地確定各項指標(biāo)在評價指標(biāo)體系中的權(quán)重，我們采

8、用問卷調(diào)查的方式調(diào)查了景德鎮(zhèn)高等?？茖W(xué)校的100名老師。問卷調(diào)查表設(shè)計了15個問題，每個問題為各個子準(zhǔn)則對各個準(zhǔn)則的影響大小，以及各個準(zhǔn)則對目標(biāo)的影響的大小單獨評分。被調(diào)查人員就自己認(rèn)為的權(quán)重大小進(jìn)行打分，以此收集得到原始的評分?jǐn)?shù)據(jù)。根據(jù)調(diào)查結(jié)果，依據(jù)層次分析法常用的1-9尺度建立了準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的成對比較矩陣如下： （1）在式（1）中：表示科學(xué)性與創(chuàng)造性對評價科研成果的重要性之比為1；表示科學(xué)性與實踐性對評價科研成果的重要性之比為3，等等。在這里要注意的是成對比較陣中的元素應(yīng)為1-9尺度中的數(shù)。用同樣的方法，我們構(gòu)造出了子準(zhǔn)則層的每一個準(zhǔn)則的成對比較矩陣，它們分別為： = ， = , = (

9、2) 這里的矩陣中的元素是子準(zhǔn)則的比較尺度。(二)計算權(quán)向量利用和合法計算各成對比較矩陣的A, ,的特征向量和特征根。其特征向量和特征根分別記為，和，。計算如下：=0.43，0.43，0.14；=3=0.2583，0.637，0.1047；=3.032=0.2，0.6，0.2；=3=0.2，0.6，0.2；=3由于各矩陣均為一致性矩陣，不需要進(jìn)行一致性檢驗。（三）計算組合權(quán)向量。上面已經(jīng)得出了各準(zhǔn)則對目標(biāo)的權(quán)向量和各子準(zhǔn)則層對每一準(zhǔn)則的權(quán)向量（k=1，2，3）。令 =； = ； = ； 以，為列向量構(gòu)成一個123階矩陣，則子準(zhǔn)則對目標(biāo)層的權(quán)向量=（四）結(jié)論以上分析可知，在子準(zhǔn)則層的九個影響因素

10、中，“研究方案具有科學(xué)性”的權(quán)重排名第一，“填補(bǔ)某項科學(xué)空白，具有國內(nèi)國際意義”的權(quán)重名排列第二，這些結(jié)論與現(xiàn)實中的情況是比較符合的，如具體評價某項科研成果的價值，可由上級主管部門給出該科研成果相應(yīng)于子準(zhǔn)則層每項的分值，再乘以各指標(biāo)在綜合評價中的權(quán)重并求和，即為這項成果的綜合絕對評價的分值。2 電視劇選擇的模型 本問題是一個層次分析模型，給出幾種方案，并附出影響方案實行的幾組因素，協(xié)調(diào)最有利因素達(dá)到最佳的抉擇。簡言之方案中如何利用數(shù)學(xué)方法建立起一個最佳方案的抉擇。目標(biāo)層準(zhǔn)則層方案層選擇較為喜愛的電視劇藝術(shù)性C1教育性C2娛樂性C3西游記P1母親P2清史P3雪山飛狐P4 圖2內(nèi)容：（過程與求解）

11、 1 建立層次結(jié)構(gòu)模型 2 構(gòu)造成對比較矩陣 首先做出準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的正互反矩陣 A=利用可以求出其最大特征根和所對應(yīng)的特征向量。其為=3，= 下面對其進(jìn)行檢驗此A是否為一致陣。易知CI=-n/n-1=0則又知有RI=0.58則一致性比率為CR=0<0.1故知此矩陣A為正互反矩陣。其次做出方案層對準(zhǔn)則層的對應(yīng)（，）的權(quán)向量。其分別為：（針對藝術(shù)性）利用軟件求得： =4.3573 =0.092（針對教育性）= 利用軟件求得： =4.0968 =0.0359（針對娛樂性）利用軟件求得： =4.1241 ；這里RI均為0.90（參照一致性指標(biāo)RI的數(shù)值）利用上述所得數(shù)據(jù)易知，均為一致陣。并且給

12、出列表2： R 1 2 3 0.75180.19030.37680.5068 0.6242 0.2685 0.1706 0.7156 0.8162 0.4475 0.3252 0.1714 4.3573 4.0968 4.1241 0.092 0.0359 0.046 表2根據(jù)此表計算各方案的對目標(biāo)的權(quán)向量即組合權(quán)向量 組合權(quán)向量： ：（西游記） 0.87290.7518+0.43640.6242+0.21820.8162=1.106：（母親） 0.87290.1903+0.43640.2685+0.21820.4475=0.3808：（清史） 0.87290.3768+0.43640.170

13、6+0.21820.3252=0.4742：（雪山飛狐） 0.87290.5068+0.43640.7156+0.21820.1714=0.7918由所得出的權(quán)重知（西游記）在選擇中占的權(quán)重最大，應(yīng)做方案層時選擇（西游記）。最后需坐組合一致性檢驗。易從表中得其CI都小于0.1故選為最佳方案。 3 中學(xué)教學(xué)評價模型課堂教學(xué)的評價是一個多因素、多層次、多準(zhǔn)則的復(fù)雜的問題,其中的因素是人的主觀判斷,只能用定性表示,很難完全用定量的數(shù)學(xué)模型解決。而層次分析法是一種定量與定性相結(jié)合,將人的主觀判斷用數(shù)量形式表達(dá)和處理的方法。所以,利用層次分析法建立模型對這評價進(jìn)行輔助決策,確定方案的權(quán)重,使評價工作變得

14、更科學(xué)、合理、公正。（一）、層次分析法的基本思想層次分析法 AHP 是美國數(shù)學(xué)家薩迪 T. L. Saaty 在 70年代提出的。在決策中,困難之處往往在于社會經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的許多因素難以定量地測度,因為測度對象的屬性大多數(shù)具有相對的性質(zhì),很難確定一種絕對標(biāo)度,也往往缺少必要的測量工具進(jìn)行測度。層次分析法提供了一種表示決策因素測度的基本方法。這種方法采用相對標(biāo)度的形式,充分利用了人的經(jīng)驗和判斷能力。這種測度統(tǒng)一了有形和無形,可定量和不可定量的眾多因素。薩迪的層次分析法確定方案權(quán)重的思想如下:設(shè)有被選方案集 圖 1A ,A ,A ,依據(jù)某一準(zhǔn)則 C,采用 1 - 9標(biāo)度,用專家咨詢法對各方案教學(xué)兩兩

15、比較評分,得到的判斷矩陣為其中 a i, j=1,2, , n 表示方案 A 與方案 A 比較的相對重要性程度, a 越大,表示方案 A 比方案 A 越重要。如果判斷矩陣具有一致性,則判斷矩陣的最大特征根 對應(yīng)的特征矢量 就是方案的權(quán)重矢量。（二）、層次分析法的應(yīng)用運用層次分析法進(jìn)行決策時,一般可以分成下列 3個步驟進(jìn)行:1、建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)應(yīng)用 AHP進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的評價,首先把問題條理化、層次化,構(gòu)造一個層次分析的結(jié)構(gòu)模型,通過參考文獻(xiàn) 及征求專家意見,把中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)評價模型分為三層,其層次結(jié)構(gòu)表示如圖3所示。課堂教學(xué)質(zhì)量教師教學(xué)行為B1組織能力C1教學(xué)基本功C2教學(xué)態(tài)度C3教

16、學(xué)機(jī)智C4參與狀態(tài)C5思維狀態(tài)C6學(xué)習(xí)達(dá)成狀態(tài)C7目標(biāo)層A方案層C學(xué)生學(xué)習(xí)活動B2準(zhǔn)則層B 圖32、構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣,計算被比較元素對于該準(zhǔn)則的相對權(quán)重在構(gòu)造兩兩比較判斷矩陣的過程中,不是直接呈現(xiàn)出各個元素的權(quán)重,而是采用 1 - 9的標(biāo)度,利用兩兩比較法導(dǎo)出權(quán)重。選擇 1 - 9之間的整數(shù)作為比例標(biāo)的主要原因是它符合人們進(jìn)行判斷時的心理習(xí)慣。當(dāng)人們表達(dá)一對因素在某種屬性下的相對強(qiáng)度時,通常采用相當(dāng)、較強(qiáng) 弱 、明顯強(qiáng) 弱 、很強(qiáng) 弱 、絕對強(qiáng) 弱 、這類語言表達(dá)。如果再分得細(xì)一些,可以再相鄰兩級中再插入一級,這正好是 9級,這 9級就剛好和 1 - 9對應(yīng)。 在這一步中,決策者反復(fù)回答問

17、題:針對準(zhǔn)則 C,它所支配的下一層次的元素哪一個更加重要,重要多少,并按 1 - 9比例標(biāo)度對重要性賦值。根據(jù)決策者的回答,得到下列判斷矩陣: A-B 準(zhǔn)則層指標(biāo)判斷矩陣 表3 A 1 1/2 2 1 B-C 教師教學(xué)行為判斷矩陣 表4 1 5 5 7 1/5 1 1 2 1/5 1 1 2 1/7 1/2 1/2 1； 學(xué)生學(xué)習(xí)活動的判斷矩陣 表5 1 2 1 1/2 1 1 1 1 1；3 計算各方案對總目標(biāo)的合成權(quán)重，進(jìn)行排序運用層次分析法構(gòu)造模型的滿足一致性C,R<0.1,因此，每個判斷矩陣的一致性是可以接受的。計算得各方案對目標(biāo)層的權(quán)重為，歸一化后為； 結(jié)論：從這結(jié)果中看出,在

18、中學(xué)的教學(xué)質(zhì)量評價中,學(xué)生的參與狀態(tài)和學(xué)生的學(xué)習(xí)達(dá)成狀態(tài)的權(quán)重比較大,也就說明了在中學(xué)教學(xué)中突出學(xué)生的主體地位,打破了過去以教師為主要評價對象的框框,通過學(xué)生的學(xué)習(xí)情況來反應(yīng)出教師的課堂教學(xué)質(zhì)量。 運用層次分析法,將教學(xué)評估中一些定性分析進(jìn)行量化,避免了在確定評價指標(biāo)權(quán)重過程中主觀因素過大,使評價工作變得更科學(xué)、合理、公正。4. 大學(xué)生購買手機(jī)中的定量比較評價模型（一）、大學(xué)生手機(jī)購買問題的提出隨著科技的不斷進(jìn)步，經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們生活水平也在不斷改善和提高，消費水平也隨之提高，其中的手機(jī)消費也日益增長。整個社會的手機(jī)普及率在不斷升高，而且使用者范圍也在不斷擴(kuò)張。與前幾年相比，手機(jī)已漸漸不再

19、是身份的象征，也不再是大人們的專用，年輕人，尤其是大學(xué)生已悄悄成為新的消費群體。（二）、市場調(diào)查及資料說明我們再對手機(jī)銷售市場進(jìn)行調(diào)查，我們選擇大學(xué)生常用的八款手機(jī)的各種功能和性能指標(biāo)進(jìn)行分析，得到表6： 型號指標(biāo) 價格 功能 外觀即待機(jī)時間諾基亞6300 1580元智能手機(jī)；藍(lán)牙；直板；336小時；飛利浦768 1380元拍照；音樂；紅外；直板；300小時；摩托羅拉 ROKRE2 1450元拍照；藍(lán)牙；音樂；紅外；直板；196小時；阿爾卡特OT-S860 2000元藍(lán)牙；紅外；GSM;直板；330小時；索尼愛立信W600c 1750元藍(lán)牙；數(shù)據(jù)線；GSM;旋蓋；395小時；聯(lián)想S50 850

20、元拍照；音樂；滑蓋；290小時；多普達(dá)C750WM6.0 3680元智能；藍(lán)牙；GSM;GPRS;滑蓋；72小時；三星SGH-D848 1850元拍照；藍(lán)牙；數(shù)據(jù)線；GPRS;滑蓋；280小時； 表6將手機(jī)分4個主要方面進(jìn)行細(xì)化處理，即價格、品牌、功能和性能，每個層次按10分制進(jìn)行打分，并根據(jù)市場調(diào)查的數(shù)據(jù)對各層次評判標(biāo)準(zhǔn)加以限定：1.價格。調(diào)查數(shù)據(jù)說明大學(xué)生對手機(jī)價格的接受能力較低，綜合考慮以600元價位定為10分，價格每增加200元減1分，2000元以上為3分。2.品牌。以市場占有率進(jìn)行評判，每5%為2分，累進(jìn)計算。3.功能。包括拍照、藍(lán)牙、數(shù)據(jù)線、FM、MP3、MP4、JAVA、上網(wǎng)、鈴

21、聲、紅外等10項，有一項計1分。4.性能。包括外觀、通話時間、待機(jī)時間、短信功能、號碼存儲量及其它性能指針，每項2分，根據(jù)手機(jī)具體性能指標(biāo)確定。根據(jù)表1得到8款手機(jī)功能價格性能并依照評判標(biāo)準(zhǔn)我們可以對每個品牌的手機(jī)進(jìn)行分層次打分。其結(jié)果見表7。 價格 品牌 功能 性能諾基亞6300 4.9 7.5 9 8飛利浦768 6.1 5 8 9摩托羅拉 ROKRE2 6.8 7 8 7阿爾卡特OT-S860 3 3 8 6索尼愛立信W600c 5 6 9 8聯(lián)想S50 8.5 5 4 6多普達(dá)C750WM6.0 3 5 6 8三星SGH-D848 7 6 7 8 表（7）（三）、建立手機(jī)綜合評價數(shù)學(xué)模

22、型 目標(biāo)層：這一層次中只有一個元素，一般它是分析問題的預(yù)定目標(biāo)或理想結(jié)果，因此也稱為目標(biāo)層。 準(zhǔn)則層：這一層次中包含了為實現(xiàn)目標(biāo)所涉及的中間環(huán)節(jié)，它可以由若干個層次組成，包括所需考慮的準(zhǔn)則、子準(zhǔn)則，因此也稱為準(zhǔn)則層。 方案層：這一層次包括了為實現(xiàn)目標(biāo)可供選擇的各種措施、決策方案等，因此也稱為措施層或方案層。遞階層次結(jié)構(gòu)中的層次數(shù)與問題的復(fù)雜程度及需要分析的詳盡程度有關(guān)，一般地層次數(shù)不受限制。每一層次中各元素所支配的元素一般不要超過9個。這是因為支配的元素過多會給兩兩比較判斷帶來困難。下面就以手機(jī)購買這個問構(gòu)造遞階層次結(jié)構(gòu)。依據(jù)層次分析法，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)如下圖4： 圖42.建立了遞階層次

23、模型后，我們要對同一層次諸因素進(jìn)行兩兩比較，確定其相對重要程度通過相互比較，確定下一層各因素對上一層目標(biāo)的影響的權(quán)重，將定性的判斷定量化，即構(gòu)造因素判斷矩陣。兩兩比較的標(biāo)度方法，為了客觀地評價價格、功能、品牌、性能在手機(jī)購買中的重要性程度，根據(jù)大學(xué)生手機(jī)消費調(diào)查結(jié)果，影響購買手機(jī)的重要因素：價格38%、功能22%、品牌15%、性能21%。，建立各因素成對比較矩陣。B層的比較排序，具體比較見下表： B層的比較序列 表8 價格 主要功能 品牌 性能 3 2 1 2 由此得到準(zhǔn)則層對目標(biāo)層的判斷矩陣：表9A-B B! B2 B3 B4 W B1 1 2 3 2 0.4236 B2 1/2 1 2 1

24、 0.2270 B3 1/3 1/2 1 1/2 0.1223 B4 1/2 1 2 1 0.2270借助Matlab軟件進(jìn)行求取最大模特征根max及響應(yīng)特征向量的計算，再將所求的特征向量單位化后得到的就是因素B對目標(biāo)A相對重要性的權(quán)重，記為W。3.為了使這種比較具有客觀性，需對判斷矩陣進(jìn)行一致性檢驗，判斷矩陣的一致性指標(biāo)由下式給出：，為矩陣階數(shù)。查找相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)RI。對=1，9，其數(shù)值如表4所示： 隨機(jī)判斷矩陣的一致性指標(biāo)值 表10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45計算一致性比例CR；當(dāng)CR<0

25、.10時，認(rèn)為判斷矩陣的一致性是可以接受的，否則應(yīng)對判斷矩陣作適當(dāng)修正。根據(jù)表9構(gòu)造的判斷矩陣，計算相應(yīng)層次權(quán)值并作一致性檢驗如下。由數(shù)學(xué)軟件Matlab計算得，=（0.4236 0.2270 0.1223 0.2270），=0.0035， =0.0039<0.1一致性比例小于0.1，判斷矩陣是可以接受的。這樣，我們就得到大學(xué)生對手機(jī)相關(guān)指標(biāo)權(quán)重系數(shù) 價格 主要功能 品牌 性能 0.4236 0.2270 0.1223 0.2270 表11至此我們再根據(jù)每款手機(jī)的價格、品牌、功能、性能分值及其所占權(quán)重系數(shù)，運用數(shù)學(xué)的模糊綜合評判方法，即可得出大學(xué)生對每款手機(jī)總體評價值。計算方式為：價格*權(quán)重系數(shù)+品牌*權(quán)重系數(shù)