微分中值定理推廣及其應(yīng)用

1、微分中值定理推廣及其應(yīng)用目 錄 一、引言3二、微分中值定理及其證明32.1羅爾定理42.2拉格朗日中值定理4三、微分中值定理的應(yīng)用53.1證明方程根的存在性53.2證明不等式63.3 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題73.4求極限83.5用來證明函數(shù)恒為常數(shù)83.6中值點存在性的應(yīng)用9一個中值點的情形93.6.2.2 泰勒公式法11四小結(jié)：12致謝13參考文獻(xiàn)：13 微分中值定理推廣及其應(yīng)用【摘要】微分中值定理是數(shù)學(xué)分析中非常重要的基本定理, 它是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的橋梁. 本文主要對羅爾中值定理的條件做一些適當(dāng)?shù)母淖?，能得出如下一些結(jié)論，從而擴(kuò)大羅爾定理的應(yīng)用范圍。從拉格朗日中值定

2、理的幾何意義出發(fā)，通過幾何直觀，把數(shù)學(xué)分析空間解析幾何知識有機(jī)的結(jié)合起來，改變傳統(tǒng)的構(gòu)造函數(shù)差的方法，通過構(gòu)造行列式函數(shù)得出定理的新方法。通過對這兩個定理進(jìn)行分析，并加以推廣，結(jié)合幾個常見的實例論述了羅爾中值定理、拉格朗日中值定理。在證明不等式，求函數(shù)極限等方面的應(yīng)用，從而加深對兩個定理的理解?！娟P(guān)鍵詞】羅爾定理 拉格朗日中值定理 推廣 應(yīng)用一、引言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，在數(shù)學(xué)分析中占有重要的地位，是研究函數(shù)在某個區(qū)間的整體性質(zhì)的有力工具。其中，拉格朗日定理是核心，羅爾定理是其特殊情況，柯西定理是其推廣。通過查閱大量資料文獻(xiàn)和網(wǎng)上查閱，我找到了很多相關(guān)資料。本文以案例形式介紹了微分中

3、值定理在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用，論述了微分中值定理在求極限、證明不等式以及泰勒公式和中值點存在性等幾個方面的應(yīng)用研究比較細(xì)致和深入。其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點的存在性是微分中值定理非常重要的應(yīng)用，也是在歷年考研試題中經(jīng)常出現(xiàn)的題型之一。利用中值定理證明中值點的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路。充分理解微分學(xué)的相關(guān)知識，掌握微分中值定理的內(nèi)容，并會熟練的應(yīng)用。使用微分中值定理證題，方法多種多樣，技巧性強(qiáng)。本文對這一部分的典型例題進(jìn)行整理歸納總結(jié)，總結(jié)出一套符合初學(xué)者認(rèn)知規(guī)律的解題方法是非常必要的，這也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)。二、微分中值定理及其證明為了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的概念和運算

4、來研究函數(shù)與實際問題，需要一個聯(lián)系局部與整體的工具，這就是微分中值定理.微分學(xué)是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分, 微分中值定理作為微分學(xué)的核心, 是溝通導(dǎo)數(shù)和函數(shù)值之間的橋梁.羅爾中值定理、 拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式是微分學(xué)的基本定理, 統(tǒng)稱為微分學(xué)的中值定理, 這四個定理作為微分學(xué)的基本定理, 是研究函數(shù)形態(tài)的有力工具.2.1羅爾定理若函數(shù)滿足如下條件：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；（）,則在內(nèi)至少存在一點使得羅爾定理的幾何意義是說：在每一點可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上，如果曲線的兩端點高度相等，則至少存在一條切線.證明：因為在上連續(xù)，所以有最大值與表示，現(xiàn)分兩種情況來討論：（1）

5、若,則在上必為常數(shù)，從而結(jié)論顯然成立.（2）若,則因使得最大值與最小值至少有一個在內(nèi)某點處取得，從而是的極值點，由條件在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在點處可導(dǎo)，故由費馬定理推知注：定理中的三個條件缺少任何一個，結(jié)論將不一定成立.先講羅爾定理,并由此推出微分學(xué)的兩個基本定理拉格朗日中值定理和柯西中值定理.2.2拉格朗日中值定理若函數(shù)滿足如下條件：（）在閉區(qū)間上連續(xù)；（）在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；則在內(nèi)至少存在一點使得 （1） 顯然，特別當(dāng)時為羅爾定理。這表明羅爾定理是拉格朗日的定理的一個特殊情形.證明：做輔助函數(shù)顯然，(=0),且在上滿足羅爾定理的另兩個條件，故存在使，移項既得到所要證明的（1）式.拉格朗日中值定理的幾

6、何意義是：在滿足定理條件的曲線上至少存在一點，該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線,我們在證明中引入輔助函數(shù)，正是曲線與直線.三、微分中值定理的應(yīng)用3.1證明方程根的存在性把要證明的方程轉(zhuǎn)化為的形式.對方程用下述方法：（1） 根的存在定理若函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且，則至少存在一點，.（2） 若函數(shù)的原函數(shù)在上滿足羅爾定理的條件，則在內(nèi)至少有一個零值點.（3） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)也存在，由費馬定理知即.（4） 若函數(shù)的原函數(shù)在處導(dǎo)數(shù)也存在，由費馬定理知即.（5） 在證明方程根的存在性的過程中，經(jīng)常用到拉格朗日定理，積分中值定理，有時也用到柯西中值定理來證明滿足方程的存在性所需的條件，然后利

7、用上的方法來證明方程根的存在性.例 若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明在內(nèi)方程。分析：由于題目是要求方程是否有根存在，所以可以先對方程進(jìn)行變形，把方程變?yōu)?。那么方程有根的話，則原方程也有根。變形之后的方程有存在，所以可以利用不定積分把方程，轉(zhuǎn)變?yōu)椤，F(xiàn)在我們返回來看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。證明:令，顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，而.根據(jù)Rolled定理, 至少存在一點，使. 證畢本文主要在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，我們從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，使得該題可以利用中值定理來證明，接下

8、來是考慮利用微分中值定理中的哪一個即可。對于構(gòu)造輔助函數(shù)我們可以得到，所以選在利用羅爾定理證明。這是對解該類問題的總結(jié)，也是自己對該類問題解題提出的一個解題思路模式，大家可以借鑒。3.2證明不等式在證明不等式時,可以考慮從微分中值定理入手,找出切入點,靈活運用相關(guān)微分中值定理,進(jìn)行系統(tǒng)的分析,從而得以巧妙解決.例 設(shè),證明.證明 顯然等式當(dāng)且僅當(dāng)時成立.下證 當(dāng)時,有 作輔助函數(shù),則在上滿足拉格朗日中值定理,則使 由于,所以 由有,即.小結(jié) 一般證明方法有兩種利用泰勒定理把函數(shù)在特殊點展開,結(jié)論即可得證.利用拉格朗日中值定理證明不等式,其步驟為：第一步 根據(jù)待證不等式構(gòu)造一個合適的函數(shù),使不等

9、式的一邊是這個函數(shù)在區(qū)間上的增量；第二步 驗證在上滿足拉格朗日中值定理的條件,并運用定理,使得等式的另一邊轉(zhuǎn)化為；第三步 把適當(dāng)放大或縮小.3.3 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題例 若在內(nèi)可導(dǎo),且,求.分析 由式,引進(jìn)輔助函數(shù),顯然.解 由,知,當(dāng)時,令,對,在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當(dāng)時有和,于是,使即.小結(jié)方法1 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點及極限的迫斂性求的最終結(jié)果.方法2 選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用柯西中值定理結(jié)合具體題意求的最終結(jié)果.3.4求極限對于有些求極限的題， 如果使用洛必達(dá)法則,則求導(dǎo)數(shù)的計算量很大.微分中值定理為求這樣一

10、些較難的極限提供了一種簡單而有效的方法.其方法是對極限題中的某些部分構(gòu)造輔助函數(shù),使用微分中值定理,然后求出極.例 求,其中.解：對應(yīng)用拉格朗日中值定理,有= 其中3.5用來證明函數(shù)恒為常數(shù)導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 但用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的著眼點在局部范圍. 而在整體上或比較大的范圍運用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)性態(tài), 主要工具還是微分中值定理,它是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究整體性問題的重要工具. 證明函數(shù)恒為常數(shù)這是函數(shù)的整體性質(zhì),在這個應(yīng)用中微分中值定理很實用.例9 設(shè)在上連續(xù), ,且在內(nèi)恒有. 其中為小于1 的常數(shù),試證:為常數(shù)函數(shù).證明：,不妨設(shè),則,而,所以有=, 其中.同理 , , 其中所以 ,

11、其中.又在上連續(xù), 從而有界. 故.即(當(dāng)時同樣成立) , 從而, ， .故在上為常數(shù)函數(shù).3.6中值點存在性的應(yīng)用3.6.1一個中值點的情形3.6.1.1原函數(shù)法在利用微分中值定理證明中值點的存在性問題時，關(guān)鍵是根據(jù)所證明的結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造輔助函數(shù)最基本最重要的思想就是尋求原函數(shù)，而尋求原函數(shù)的方法又因所證結(jié)論不同而不同.（1）直接法這種方法的解題思路主要是根據(jù)題目所證結(jié)論中常數(shù)項的特點直接得到輔助函數(shù).例 函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明:在內(nèi)至少存在一點，使得.分析：結(jié)論等號左側(cè)顯然是函數(shù)在區(qū)間兩端點函數(shù)值的差與區(qū)間長度之商,于是聯(lián)想到對函數(shù)使用拉格朗日中值定理.證明：令，顯然在上滿足

12、拉格朗日中值定理條件.于是知：在內(nèi)至少存在一點，使 得，而，即得結(jié)論 .（2） 積分法這種方法的基本思想是利用不定積分尋求輔助函數(shù)，具體做法如下：將結(jié)論中的換成，通過恒等變形將結(jié)論化成的形式，然后用觀察或直接積分（如果不易通過觀察得到）求得原函數(shù)，積分常數(shù)取為0. 例 設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點，使.分析：結(jié)論即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點，因結(jié)論中含有函數(shù)導(dǎo)數(shù)，故考慮利用羅爾定理，而此函數(shù)的原函數(shù)通過觀察可能感到有點困難.將變形為 ，即要證明函數(shù)在內(nèi)有零點.而，顯然與的導(dǎo)數(shù)有相同的零點，于是可取原函數(shù)為.證明：令,顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，于是由羅爾定理知至少存在一點，使，

13、而，故，又，于是.當(dāng)所證明的結(jié)論中出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)時通?？煽紤]兩次使用中值定理證明.3.6.2.2 泰勒公式法當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)高階導(dǎo)數(shù)（三階或三階以上的導(dǎo)數(shù)）時，通常可考慮使用泰勒公式證明中值點的存在性.例 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，.試證：在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使.證明：由，得在處的二階泰勒公式為 （介于0與之間，）.由題設(shè)知 ， ，兩式相減，可得.又在區(qū)間連續(xù)，從而在上也連續(xù)，故在區(qū)間上有最大值和最小值.從而有，由介值定理知，至少存在一點，使得.3.6.2 兩個中值點的情形在證明兩個中值點存在性的命題時，通?？煽紤]使用兩次中值定理.例 函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，試證:存在，使得.分析：結(jié)

14、論中兩點只要存在即可，不要求一定不同，故可在同一區(qū)間上使用兩次中值定理.同時結(jié)論中的部分可看作函數(shù)與在點處的導(dǎo)數(shù)之商，故聯(lián)想到柯西中值定理.再對使用拉格朗日中值定理，然后尋求兩個結(jié)論之間的關(guān)系.證明：令，易知與在上連續(xù)，在可導(dǎo)，且.由柯西中值定理知,存在，使得即 ，.而由拉格朗日中值定理知，存在，使得 .由以上兩式得:存在，使 即 .微分中值定理應(yīng)用非常廣泛(在使用時應(yīng)特別注意驗證定理的條件) ,以上只介紹了幾種常見的應(yīng)用. 通過對微分中值定理的研究,加深了對微分中值定理的理解,有助于更好掌握該定理的解題應(yīng)用.四小結(jié)：微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，而且它也是微分學(xué)的理論核心，有著廣泛的應(yīng)用。

15、本課題是對微分中值定理在證明方程根的存在性、證明不等式、求極限、泰勒公式、中值點存在性的應(yīng)用等幾個方面的論述,其中證明某區(qū)間上滿足一定條件的中值點的存在性是微分中值定理非常重要的應(yīng)用，利用中值定理證明中值點的存在性，要兼顧條件與結(jié)論，綜合分析，尋求證明思路。我們知道，運用微分中值定理證明有關(guān)命題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)，構(gòu)造滿足某個中值定理條件的而得到要證明的結(jié)論。而構(gòu)造輔助函數(shù)技巧性較強(qiáng)，構(gòu)造合適的輔助函數(shù)往往是困難的。由于本人能力有限，查找的資料也有局限性，本文對輔助函數(shù)的構(gòu)造還未進(jìn)行深入的研究， 這將是我以后研究的方向。致謝行文至此，我的論文已接近尾聲；歲月如梭，我三年的大學(xué)時光也即將敲響結(jié)

16、束的鐘聲。離別在即，我站在人生的又一個轉(zhuǎn)折點上，心中難免思緒萬千，心中一種感恩之情油然而生。育我成才者是老師。感謝我的指導(dǎo)老師，這篇論文是在林老師的的悉心指導(dǎo)與鼓勵下完成的。林老師以其嚴(yán)謹(jǐn)求實的治學(xué)態(tài)度、高度的敬業(yè)精神、兢兢業(yè)業(yè)、孜孜以求的工作作風(fēng)和大膽創(chuàng)新的進(jìn)取精神對我產(chǎn)生重要影響尤其是林老師淵博的學(xué)識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、精益求精的工作作風(fēng)和誨人不倦的高尚師德，都將深深地感染和激勵著我。在此謹(jǐn)向林老師致以誠摯的感謝！寫作畢業(yè)論文是一次再系統(tǒng)學(xué)習(xí)的過程，畢業(yè)論文的完成，同樣也意味著新的學(xué)習(xí)生活的開始。參考文獻(xiàn)：1主編：紀(jì)樂剛.數(shù)學(xué)分析.新世紀(jì)高等師范院校教材. 華東師范大學(xué)出版社:2003年10月.第一版 .2005年6月第7次印刷2主編：紀(jì)樂剛.數(shù)學(xué)分析.新世紀(jì)高等師范院校教材. 華東師范大學(xué)出版社:2003年10月.第一版 .2005