常系數(shù)線性微分方程的解法

1、 常系數(shù)線性微分方程的解法 摘要：本文對常系數(shù)線性方程的各種解法進行分析和綜合，舉出了每個方法的例題，以便更好的掌握對常系數(shù)線性微分方程的求解. 關(guān)鍵詞：特征根法；常數(shù)變易法；待定系數(shù)法Method for solving the system of differential equationwith Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each

2、 sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root；Variation law；The undetermined coefficient method 前言：常系數(shù)性微分方程因形式簡單，應(yīng)用廣泛，解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我們必須掌握的重要內(nèi)容之一，只是由于各種教材涉及的解法較多，較雜，我們一般不易掌

3、握，即使掌握了各種解法，在具體應(yīng)用時應(yīng)采用哪種方法比較適宜，我們往往感到困難。本文通過對一般教材中涉及的常系數(shù)線性微分方程的主要解法進行分析和比較，讓我們能更好的解常系數(shù)線性微分方程。 1預(yù)備知識 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解 如果對于區(qū)間中的每一實數(shù)，有復(fù)值與它對應(yīng)，其中和是在區(qū)間上定義的實函數(shù)，是虛數(shù)單位，我們就說在區(qū)間上給定了一個復(fù)值函數(shù).如果實函數(shù)，當(dāng)趨于時有極限，我們就稱復(fù)值函數(shù)當(dāng)趨于時有極限，并且定義 .如果，我們就稱在連續(xù).顯然，在連續(xù)相當(dāng)于，在連續(xù).當(dāng)在區(qū)間上每一點都連續(xù)時，就稱在區(qū)間上連續(xù).如果極限存在，就稱在有導(dǎo)數(shù)（可微）.且記此極限為或者，顯然在處有導(dǎo)數(shù)相當(dāng)于，在處有導(dǎo)數(shù)，且 .如果

4、在區(qū)間上每點都有導(dǎo)數(shù)，就稱在區(qū)間上有導(dǎo)數(shù).對于高階導(dǎo)數(shù)可以類似地定義. 設(shè)，是定義在上的可微函數(shù)，是復(fù)值常數(shù)，容易驗證下列等式成立： ， ， .在討論常系數(shù)線性微分方程時，函數(shù)將起著重要的作用，這里時復(fù)值常數(shù).我們現(xiàn)在給出它的定義，并且討論它的簡單性質(zhì)。設(shè)時任依復(fù)數(shù)，這里，是實數(shù)，而為實變量，我們定義 .由上述定義立即推得 ， .2常系數(shù)齊次線性微分方程解法分析形如 (1)的方程稱為n階常系數(shù)線性非齊次方程，其中，如果，即 (2)稱為n階常系數(shù)線性齊次微分方程. 為求(2)的解，可以用特征根法（或稱待定指數(shù)函數(shù)法），其基本思想是將微分方程（2）的求解問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程： (3)的求根問題，而不

5、必經(jīng)過積分運算，只要求出方程(3)的全部根，就能寫出方程(3)的通解，問題徹底解決.根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理，只要求出方程(1)的的任一特解，借助于方程(2)的通解，就可寫出方程(1)的通解。求方程(1)的特解的方法有常數(shù)變易法，待定系數(shù)法，拉普卡斯變換法。常數(shù)變易法是求特解(1)較一般方法，適用于較為一般的函數(shù)，缺點是計算較為繁瑣，而且還必須進行積分運算，可能會遇到積分上的困難，此解決還有一個缺點是滿足的方程組不易推導(dǎo)，因此在求方程(1)的特解時，一般不提倡此法。其余二種解法只適用于（其中為非負(fù)整數(shù)，分別是次和次實系數(shù)多項式）.3.一階常系數(shù)線性方程組的解法分析形如 (4)的方程組稱為一階常系數(shù)線性

6、非齊次方程組.其中，.當(dāng)時，即 (5)稱為一階常系數(shù)線性齊次方程組.求方程組(5)的解，一般需先考慮A的特征根。當(dāng)A的特征根為單根時，用特征根法，此時只需提出每個特征根所對應(yīng)的特征根向量，便可得到方程組(5)的通解；（當(dāng)特征根時單復(fù)根時，需引入復(fù)根的概念在經(jīng)過技術(shù)處理得到實解）；當(dāng)A的特征根有重根時，用特定系數(shù)法，也可以用A的特征根求出指數(shù)矩陣而得到方程組(5)的通解，還可以不考慮A的特征根，Laplace變換法求解，至于求方程組(4)的某一特征解，一般用常數(shù)變易法.4.典型例題4.1特征根法例1 求方程的通解.解 特征方程的根為有兩個實根和兩個復(fù)根，均是單根，故方程的通解為，這里是任意常數(shù).

7、例2 求解方程解 特征方程為，或，即特征根是重根.因此，方程有四個實值解故通解為，其中為任意常數(shù).例3 求方程的通解.解 特征方程或即是三重根，因此方程的通解具有形狀其中為任意常數(shù).4.2常數(shù)變易法例1 求方程的通解，已知它的對應(yīng)齊次線性微分方程的基本解組為解 應(yīng)用常數(shù)變易法，令將它帶入方程，則可得決定和得兩個方程 及 解得由此于是原方程的通解為 其中為任意常數(shù).例2 求方程于域上的所有解 解 對應(yīng)的齊次線性微分方程為求得它的基本解組.事實上，將方程改寫成積分即得所以這里為任意常數(shù) 易見基本解組 為應(yīng)用上面的結(jié)論，我們將方程組改寫為 并以代入，可得決定和的兩個方程和 于是故得原方程組的通解為

8、這里是任意常數(shù)，它包含了方程組的所有解.4.3比較系數(shù)法例1 求方程的通解.解 先求對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解.這里特征方程有兩個根.因此，通解為，其中為任意常數(shù).再求非齊次線性微分方程的一個特解.這里又因為不是特征根，故可取特解形如，其中為特定常數(shù)，為了確定，將代入原方程，得到比較系數(shù)得由此得，從而，因此，原方程的通解為.例2 求方程的通解.解 從上例知道對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為 其中為任意常數(shù).現(xiàn)求原方程的一個特解,這里,因為剛好特征方程的單根,故有特解形如,將它代入原方程得到,從而,于是,而原方程的通解為.例3 求方程的通解解 特征方程有重根因此，對應(yīng)的其次線性微分方程的通解為其

9、中為任意常數(shù)?，F(xiàn)求非其次線性微分方程的一個特解。因為不是特征根，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到比較同類項系數(shù)得，從而，因此原方程的通解為復(fù)數(shù)法解例3解 有例3一直對應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為為求非齊次線性微分方程的一個特解，我們先求方程 的特解。這屬于類型，其中及 為實常數(shù)而不是特征根，故可設(shè)特解為，將它代入方程并消去因子得，因而，分出它的實部，根據(jù)定理9這就是原方程的特解，于是原方程的特解為與例3所得結(jié)果相同?？偨Y(jié)：常微分線性方程的求解還有很多方法，以上是對它的解法的部分求解，還不全面，還需要我們從多個方面來了解常微分線性方程的求解方法.參考文獻葉彥謙.常微分方程講義.第二版.北京:高等教育出版社,1988,182-192.王懷柔,伍桌群.常微分方程講義.北京:人民教育出版社,1979,122-133.國振喜.工程微分方程.北京:機械工業(yè)出版社,2004,85-87.李瑞遐.應(yīng)用微分方程.上海:華東理工大學(xué)出版社,2005,25-27.丘維生.高等代數(shù)(下冊) .北京:高等教育出版社,1