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1、第四講 微分方程問題4.1 微分方程的基本概念問題4.2 如何求解一階微分方程?例題11.,當(dāng)時(shí),令,則,代入方程,得,即,故.2.【齊次方程】,令,代入,得,即.3.【齊次方程或者伯努利方程】,令,則,代入方程,得,即,即,又,故.4.【一階線性微分方程】,將代入上式,得,故.5.【關(guān)于函數(shù)為一階線性微分方程】,.6.【一階線性微分方程】,時(shí),時(shí),又連續(xù),故,即,故由,得,所以7.【伯努利方程】,令,代入上式,得,通解為.8.【可化為齊次方程】令,則代入方程,得,令,解得,故,代入方程,得方程化為,令,則,代入上式,得,通解為.9.【化為微分方程】,令,得,將代入上式,得,故,.10.【一階
2、線性微分方程】將代入微分方程,得,代入方程,得,即,又,故所求特解為.11.【經(jīng)變量替換化為可分離變量方程】,代入,得,即,即.例題2 1.,由得,故當(dāng)時(shí),.2.,故所滿足的一階微分方程為.,得,代入,得,故.3.【方程兩邊對(duì)求導(dǎo),化為微分方程,并注意初始條件】令,方程兩邊對(duì)求導(dǎo),令,即,又,故.4.方程兩邊對(duì)求導(dǎo),得,又,故,又,代入上式,得,故.5.令,方程化為,即,兩邊對(duì)求導(dǎo),得,即,故.習(xí)題1.【可分離變量方程】,.2.【一階線性微分方程】,又,得,故所求特解為.3.【可分離變量方程】,又,故所求特解為.4.【一階線性微分方程】,由,得,故所求特解為.5.【可分離變量方程】,所求通解為
3、.6.【齊次方程】,設(shè),代入方程得,將代入上式,得,故,即不滿足初始條件,舍去,由,即,解得.7.【齊次方程】設(shè),代入方程得,即,將初始條件代入,得,故所求特解為.8.【一階線性微分方程】,即,所求通解為.9.由題設(shè)條件和線性微分方程解的性質(zhì)知,是的非零解,故的通解為,由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)知,的通解為.問題4.3 如何求解可降階的二階微分方程?例題1.令,則,方程化為,再令,2.令,則,方程化為,分離變量,得,兩邊積分,得,即.將初始條件代入,得,故,解得,(不合題意,舍去).再解,分離變量,得,兩邊積分,得,將初始條件代入,得,所求特解為,即.二階可降階方程求特解過程中,任意常數(shù)出現(xiàn)一個(gè),
4、確定一個(gè),有利于下一步求解.習(xí)題1.【不顯含未知函數(shù)】令,則,方程化為,即,.2.【不顯含未知函數(shù)】令,則,方程化為,即,將代入上式,得,故,將代入上式,得,故特解為.3.【不顯含自變量】令,代入原方程,得,得或者,即,解得.,即,解得,即.4.【不顯含自變量】令,代入原方程,得,將代入,得,解得,即,將代入,得,故或者,即.5.【不顯含未知函數(shù)】令,則,方程化為,即,故,即,將代入上式,得,于是,或者(不合題意,舍去),故,將代入上式,得,所求特解為.問題4.4 關(guān)于線性微分方程解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu).例題 是非齊次方程的三個(gè)線性無關(guān)的解,則是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解,故的通解為.問題4.5
5、如何求解二階常系數(shù)線性齊次方程?問題4.6 如何求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解?例題1.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,設(shè)的特解為, ,故,所求通解為,將代入,得,解得,所求特解為.本題也是二階可降階方程.2.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,時(shí),設(shè)的特解為,代入方程,得,所求通解為,其中為任意常數(shù).時(shí),設(shè)的特解為,代入方程,得,所求通解為,其中為任意常數(shù).3.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,設(shè)的特解為,代入方程,得,故,設(shè)的特解為,代入方程,得,比較系數(shù),得,故,由疊加原理,設(shè)的一個(gè)特解為,所求通解為,其中為任意常
6、數(shù).4.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】根據(jù)疊加原理,此方程的特解形式可設(shè)為.5.【只要驗(yàn)證滿足方程和初始條件】的特征方程的根為,通解為, ,故令,代入方程,得,且.習(xí)題1.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,設(shè)的特解為,代入方程,得,所求通解為,其中為任意常數(shù).2.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,設(shè)的特解為,代入方程,得,所求通解為,其中為任意常數(shù).3.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,設(shè)的特解為,代入方程,得,所求通解為,其中為任意常數(shù).4.【三階常系數(shù)線性齊次微分方程】的特征方程的根為,通解為,其中為任意常數(shù).5.【
7、已知二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解,求微分方程】選擇D,理由如下:對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根為,特征方程為,即,函數(shù)所滿足的微分方程為,將特解代入方程,得.6.【已知三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,求微分方程】選擇D,理由如下:此方程的特征方程的根為,特征方程為,即,函數(shù)所滿足的微分方程為.7.【線性微分方程的解的性質(zhì)】選擇A,理由如下:由線性微分方程解的性質(zhì),解得.本題也可以用下面的方法求解:將代入,得,將代入,得,解得.8.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】特征方程,解得,齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程的特解,則,代入方程,得,即,故,解得,故,所求通解為,其中為任意常數(shù).問題4.7
8、 如何求解歐拉方程?(數(shù)學(xué)一)例題 【歐拉方程】令,則,方程化為,即,特征方程的根,所求通解為.問題4.8 如何利用變量替換化簡(jiǎn)方程?例題1.【函數(shù)替換,關(guān)鍵是求出】,代入原方程,得.(下略),再代入原方程.2.【自變量替換,關(guān)鍵是求出】,代入原方程,得.(下略)問題4.9 如何求解含變限積分的方程(積分方程)?例題1.【積分方程】方程兩邊對(duì)求導(dǎo),即,又,故.2.【積分方程】,兩邊對(duì)求導(dǎo),得,兩邊再對(duì)求導(dǎo),得,故滿足微分方程,由,得初始條件.3.【積分方程】由,得,令,即,又,得,故.【不等式】當(dāng)時(shí),其中,故當(dāng)時(shí),.4.【積分方程】方程兩邊對(duì)求導(dǎo),令,得,兩邊對(duì)求導(dǎo),又,故.5.【積分方程】方
9、程兩邊對(duì)求導(dǎo),即,得,故.6.令,方程化為,即,兩邊對(duì)求導(dǎo),得,即,即,即.問題4.10 如何用微分方程求解應(yīng)用問題?例題1.(略)2.【利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程】曲線在點(diǎn)處的法線方程為,令 ,得,故點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題設(shè)知,即,解得,將代入上式,得,故曲線的方程為.曲線在上的弧長,的參數(shù)方程為弧長.3.由題設(shè)得,兩邊對(duì)求導(dǎo),得,故所滿足的微分方程為,將方程改寫成,即,令,代入方程得,即,由初始條件,得,故,即.4.【考查切線、微分方程、定積分的應(yīng)用】設(shè)切點(diǎn)為,切線方程為,即切線與軸的交點(diǎn)為,由交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為,得,即,由得,故.曲線、軸、軸為邊界的區(qū)域的面積5.【利用建立方程,關(guān)鍵是受
10、力分析】質(zhì)量,水平速度,飛機(jī)所受的總阻力,依題意,兩邊積分,得,即,將代入上式,得,故,飛機(jī)滑行的最長距離(km)6.【利用速度的方向和大小建立方程】設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為,時(shí)刻,物體位于,物體位于,依題意,有,即,對(duì)求導(dǎo),得, 又,對(duì)求導(dǎo),得,代入,得,初始條件為,.7. 設(shè)雪堆時(shí)刻的半徑為,體積,側(cè)面積,則(注意符號(hào)),即,即,初始條件為,解得.由,解得,雪堆全部融化時(shí),.8.在任意時(shí)刻, ,初始條件為,解得.9.時(shí)刻液面的面積,故;時(shí)刻容器內(nèi)液體體積,對(duì)求導(dǎo),得,即,初始條件為,解得,所求曲線的方程為.10.建立坐標(biāo)系如下:以橋墩下底面直徑為軸,橋墩中心軸為軸,設(shè)橋墩母線方程為,.考察中心軸上點(diǎn)處水平截面上所受的壓力,有,方程兩邊的對(duì)求導(dǎo),得,初始條件為,解得.11.【用微元法建立方程】設(shè)時(shí)刻桶內(nèi)液體的含鹽量,在內(nèi)桶內(nèi)液體的含鹽量的改變量,即,初始條件為.(下略)問題4.11 差分與差分方程例題1. .2. .3.先解特征方程,得特征根,齊次方程的通解為,令非齊次方程的特解為,代入原方程,得,比較同次冪系數(shù),得,特解為,所求通解為.4.先解特征方程,得特征根
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