微分方程110131

1、第四講 微分方程問題4.1 微分方程的基本概念問題4.2 如何求解一階微分方程？例題11.，當(dāng)時(shí)，令，則，代入方程，得，即，故.2.【齊次方程】，令，代入，得，即.3.【齊次方程或者伯努利方程】，令，則，代入方程，得，即，即，又，故.4.【一階線性微分方程】，將代入上式，得，故.5.【關(guān)于函數(shù)為一階線性微分方程】，.6.【一階線性微分方程】，時(shí)，時(shí)，又連續(xù)，故，即，故由，得，所以7.【伯努利方程】，令，代入上式，得，通解為.8.【可化為齊次方程】令，則代入方程，得，令，解得，故，代入方程，得方程化為，令，則，代入上式，得，通解為.9.【化為微分方程】，令，得，將代入上式，得，故，.10.【一階

2、線性微分方程】將代入微分方程，得，代入方程，得，即，又，故所求特解為.11.【經(jīng)變量替換化為可分離變量方程】，代入，得，即，即.例題2 1.，由得，故當(dāng)時(shí)，.2.，故所滿足的一階微分方程為.，得，代入，得，故.3.【方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，化為微分方程，并注意初始條件】令，方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，令，即，又，故.4.方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，又，故，又，代入上式，得，故.5.令，方程化為，即，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即，故.習(xí)題1.【可分離變量方程】，.2.【一階線性微分方程】，又，得，故所求特解為.3.【可分離變量方程】，又，故所求特解為.4.【一階線性微分方程】，由，得，故所求特解為.5.【可分離變量方程】，所求通解為

3、.6.【齊次方程】，設(shè)，代入方程得，將代入上式，得，故，即不滿足初始條件，舍去，由，即，解得.7.【齊次方程】設(shè)，代入方程得，即，將初始條件代入，得，故所求特解為.8.【一階線性微分方程】，即，所求通解為.9.由題設(shè)條件和線性微分方程解的性質(zhì)知，是的非零解，故的通解為，由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)知，的通解為.問題4.3 如何求解可降階的二階微分方程？例題1.令，則，方程化為，再令，2.令，則，方程化為，分離變量，得，兩邊積分，得，即.將初始條件代入，得，故，解得，（不合題意，舍去）.再解，分離變量，得，兩邊積分，得，將初始條件代入，得，所求特解為，即.二階可降階方程求特解過程中，任意常數(shù)出現(xiàn)一個(gè)，

4、確定一個(gè)，有利于下一步求解.習(xí)題1.【不顯含未知函數(shù)】令，則，方程化為，即，.2.【不顯含未知函數(shù)】令，則，方程化為，即，將代入上式，得，故，將代入上式，得，故特解為.3.【不顯含自變量】令，代入原方程，得，得或者，即，解得.，即，解得，即.4.【不顯含自變量】令，代入原方程，得，將代入，得，解得，即，將代入，得，故或者，即.5.【不顯含未知函數(shù)】令，則，方程化為，即，故，即，將代入上式，得，于是，或者（不合題意，舍去），故，將代入上式，得，所求特解為.問題4.4 關(guān)于線性微分方程解的性質(zhì)、解的結(jié)構(gòu).例題 是非齊次方程的三個(gè)線性無關(guān)的解，則是齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解，故的通解為.問題4.5

5、如何求解二階常系數(shù)線性齊次方程？問題4.6 如何求二階常系數(shù)線性非齊次方程的特解？例題1.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，設(shè)的特解為， ，故，所求通解為，將代入，得，解得，所求特解為.本題也是二階可降階方程.2.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，時(shí)，設(shè)的特解為，代入方程，得，所求通解為，其中為任意常數(shù).時(shí)，設(shè)的特解為，代入方程，得，所求通解為，其中為任意常數(shù).3.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，設(shè)的特解為，代入方程，得，故，設(shè)的特解為，代入方程，得，比較系數(shù)，得，故，由疊加原理，設(shè)的一個(gè)特解為，所求通解為，其中為任意常

6、數(shù).4.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】根據(jù)疊加原理，此方程的特解形式可設(shè)為.5.【只要驗(yàn)證滿足方程和初始條件】的特征方程的根為，通解為， ，故令，代入方程，得，且.習(xí)題1.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，設(shè)的特解為，代入方程，得，所求通解為，其中為任意常數(shù).2.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，設(shè)的特解為，代入方程，得，所求通解為，其中為任意常數(shù).3.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，設(shè)的特解為，代入方程，得，所求通解為，其中為任意常數(shù).4.【三階常系數(shù)線性齊次微分方程】的特征方程的根為，通解為，其中為任意常數(shù).5.【

7、已知二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解，求微分方程】選擇D，理由如下：對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程的根為，特征方程為，即，函數(shù)所滿足的微分方程為，將特解代入方程，得.6.【已知三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解，求微分方程】選擇D，理由如下：此方程的特征方程的根為，特征方程為，即，函數(shù)所滿足的微分方程為.7.【線性微分方程的解的性質(zhì)】選擇A，理由如下：由線性微分方程解的性質(zhì)，解得.本題也可以用下面的方法求解：將代入，得，將代入，得，解得.8.【二階常系數(shù)線性非齊次微分方程】特征方程，解得，齊次方程的通解為，設(shè)非齊次方程的特解，則，代入方程，得，即，故，解得，故，所求通解為，其中為任意常數(shù).問題4.7

8、 如何求解歐拉方程？（數(shù)學(xué)一）例題 【歐拉方程】令，則，方程化為，即，特征方程的根，所求通解為.問題4.8 如何利用變量替換化簡(jiǎn)方程？例題1.【函數(shù)替換，關(guān)鍵是求出】，代入原方程，得.（下略），再代入原方程.2.【自變量替換，關(guān)鍵是求出】，代入原方程，得.（下略）問題4.9 如何求解含變限積分的方程（積分方程）？例題1.【積分方程】方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，即，又，故.2.【積分方程】，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，兩邊再對(duì)求導(dǎo)，得，故滿足微分方程，由，得初始條件.3.【積分方程】由，得，令，即，又，得，故.【不等式】當(dāng)時(shí)，其中，故當(dāng)時(shí)，.4.【積分方程】方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，令，得，兩邊對(duì)求導(dǎo)，又，故.5.【積分方程】方

9、程兩邊對(duì)求導(dǎo)，即，得，故.6.令，方程化為，即，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即，即，即.問題4.10 如何用微分方程求解應(yīng)用問題？例題1.（略）2.【利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立微分方程】曲線在點(diǎn)處的法線方程為，令 ，得，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題設(shè)知，即，解得，將代入上式，得，故曲線的方程為.曲線在上的弧長，的參數(shù)方程為弧長.3.由題設(shè)得，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，故所滿足的微分方程為，將方程改寫成，即，令，代入方程得，即，由初始條件，得，故，即.4.【考查切線、微分方程、定積分的應(yīng)用】設(shè)切點(diǎn)為，切線方程為，即切線與軸的交點(diǎn)為，由交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為，得，即，由得，故.曲線、軸、軸為邊界的區(qū)域的面積5.【利用建立方程，關(guān)鍵是受

10、力分析】質(zhì)量，水平速度，飛機(jī)所受的總阻力，依題意，兩邊積分，得，即，將代入上式，得，故，飛機(jī)滑行的最長距離（km）6.【利用速度的方向和大小建立方程】設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為，時(shí)刻，物體位于，物體位于，依題意，有，即，對(duì)求導(dǎo)，得， 又，對(duì)求導(dǎo)，得，代入，得，初始條件為，.7. 設(shè)雪堆時(shí)刻的半徑為，體積，側(cè)面積，則（注意符號(hào)），即，即，初始條件為，解得.由，解得，雪堆全部融化時(shí)，.8.在任意時(shí)刻， ，初始條件為，解得.9.時(shí)刻液面的面積，故；時(shí)刻容器內(nèi)液體體積，對(duì)求導(dǎo)，得，即，初始條件為，解得，所求曲線的方程為.10.建立坐標(biāo)系如下：以橋墩下底面直徑為軸，橋墩中心軸為軸，設(shè)橋墩母線方程為，.考察中心軸上點(diǎn)處水平截面上所受的壓力，有，方程兩邊的對(duì)求導(dǎo)，得，初始條件為，解得.11.【用微元法建立方程】設(shè)時(shí)刻桶內(nèi)液體的含鹽量，在內(nèi)桶內(nèi)液體的含鹽量的改變量，即，初始條件為.（下略）問題4.11 差分與差分方程例題1. .2. .3.先解特征方程，得特征根，齊次方程的通解為，令非齊次方程的特解為，代入原方程，得，比較同次冪系數(shù)，得，特解為，所求通解為.4.先解特征方程，得特征根