微分中值定理及應(yīng)用綜述

1、微分中值定理及應(yīng)用綜述謝娟 09211045江蘇師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 徐州 221116摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的總稱，是研究函數(shù)的有力工具，包括費(fèi)馬中值定理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理組成的一組中值定理是一整個微分學(xué)的重要理論。它不僅溝通了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，而且也是微分學(xué)理論應(yīng)用的橋梁和基石.本文對微分中值定理中的一些條件給予了相關(guān)說明，介紹了微分三大中值定理以及它們之間的關(guān)系，后又在此基礎(chǔ)上，綜述了微分中值定理在研究函數(shù)性質(zhì)，討論一些方程零點(diǎn)（根）的存在性，和對極限的求解問題，以及一些不等式的證明.關(guān)鍵詞：微分中

2、值定理；關(guān)系；應(yīng)用引言微分中值定理是微分學(xué)的基本定理，是溝通函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的局部性研究函數(shù)整體性的重要數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用十分廣泛.1 淺談微分中值定理1.1 微分中值定理的基本內(nèi)容微分中值定理是反映導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)值之間的聯(lián)系的定理, 它們分別是羅爾定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具體內(nèi)容如下:1.1.1 羅爾定理如果函數(shù) 滿足:( 1) 在閉區(qū)間上連續(xù);( 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);( 3) 在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等, 即, 那么在區(qū)間 內(nèi)至少有一點(diǎn) , 使函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零, 即幾何分析在（圖1） 中可見曲線在上是一條連續(xù)光滑的曲線, 曲線在 內(nèi)處處有切線且沒有垂直于 軸的切線

3、.在曲線的兩端點(diǎn)一般高(羅爾定理的三條件在平面幾何中成立), 因而在內(nèi)曲線至少有一點(diǎn)處的切線平行于 軸(羅爾定理的結(jié)論成立,).通過對羅爾定理的幾何分析, 抽象的羅爾定理得到了具體化(這也反應(yīng)了數(shù)學(xué)的一般思想, 抽象思維具體化)。對于我們理解和掌握羅爾定理大有幫助.（圖1） 拉格朗日定理如果函數(shù) 滿足:( 1) 在閉區(qū)間上連續(xù);( 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 那么在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn) , 使等式成立.幾何意義從（圖2）可知, 曲線在上是連續(xù)光滑的曲線(即拉格朗日定理的條件在幾何上的反映), 那么曲線弧在上至少有一點(diǎn)的切線平行于弦AB (弦AB 的斜率為 ,在處的切線平行于AB, 則 （圖2）1.1.

4、3 柯西中值定理如果函數(shù)及滿足:( 1) 在閉區(qū)間上連續(xù);( 2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo);( 3) 對任意，那么在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn) , 使等式成立.2 三個定理之間的關(guān)系在拉格朗日定理中, 如果, 則變成羅爾定理; 在柯西中值定理中, 如果 , 則變成拉格朗日定理.因此, 拉格朗日定理是羅爾定理的推廣, 柯西中值定理是拉格朗日定理的推廣.反之, 拉格朗日定理是柯西中值定理的特例, 羅爾定理是拉格朗日定理的特例。3 微分中值定理的應(yīng)用 微分中值定理主要是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上所具有的特征去研究函數(shù)本身在該區(qū)間上的性質(zhì), 在研究函數(shù)的性質(zhì)上是一個非常有利且方便的工具.中值定理的應(yīng)用主要是以中值定理為基礎(chǔ)，

5、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、取極值、拐點(diǎn)等項的重要性質(zhì).從而把握函數(shù)圖象的各種幾何特征.3.1 討論方程零點(diǎn)（根）的存在性問題例、 設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo),試證在內(nèi)，方程至少存在一個根.證明：令，顯然，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，而且 根據(jù)羅爾定理，至少存在一個 ，使.故在內(nèi)，方程至少存在一個根.由10中的例1，我們可以知道，在我們要討論的方程中，除了二次方程根的問題容易討論之外，如果遇到復(fù)雜的方程，往往無從下手時，對于存在性的問題，我們可以分析題設(shè)條件，結(jié)合已學(xué)過的定理進(jìn)行分析并解決.微分中值定理的條件很寬松，給一個定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，只需函數(shù)在這個區(qū)間連續(xù)、可導(dǎo)（并不要求區(qū)間端點(diǎn)可導(dǎo)），再加一些看似苛

6、刻但實(shí)不苛刻的條件,用羅爾定理，就可以解決一些復(fù)雜的代數(shù)方程的判根問題，其步驟相當(dāng)簡單，一般是：命題條件構(gòu)造輔助函數(shù)驗(yàn)證驗(yàn)證滿足羅爾定理的條件命題結(jié)論3.2 求解不定式的極限柯西中值定理的一個及其重要的應(yīng)用就是可以用來計算未定型的極限.（洛必達(dá)法則若函數(shù)和滿足：（i）， ；（ii）在點(diǎn)的某空心領(lǐng)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；（iii）（A可為實(shí)數(shù)，也可以為或），則 證 補(bǔ)充定義 ，使得 與 在點(diǎn)處連續(xù)。任取，在區(qū)間（或）上應(yīng)用柯西中值定理，有 即 （介于與之間）當(dāng)令時，也有，故得 注：若將其中換成，只要相應(yīng)地修正條件（ii）中的條件，也可得到同樣的結(jié)論.我們在仔細(xì)觀察柯西中值定理里的表達(dá)式的形式，可以看

7、到兩個函數(shù)式的比值，在一定條件下可以化成這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的比值，這樣就可能使得作為未定型的分式的分子和分母所表示的函數(shù)，通過求導(dǎo)，而得到非未定型.由這個思路，我們即得到了洛必達(dá)法則. 例求解 容易檢驗(yàn)與在點(diǎn)的條件下滿足洛必達(dá)法則的條件，又因 所以 例. 求 解 由洛必達(dá)法則有 由17中的例2和17中的例3，我們可以看出，利用微分中值定理不但可以在理論分析和證明中有著十分重要的作用，而且它也為求某些較難的極限提供了一種簡單而有效的方法，其方法就是對極限題中的某些部分使用拉格朗日定理，然后求出其極限，4,6,10中均提到了微分中值定理在這方面的應(yīng)用.3.3 利用微分中值定理的證明例、 設(shè)定義于，存

8、在且單調(diào)下降，試證明對于，恒有。分析：，證明：由已知條件可知在區(qū)間和 上均滿足拉格朗日定理，于是使得：，即。，使得：，即。由于，所以由已知存在且單調(diào)下降，可得：，從而有 例、求證：當(dāng)時，。證明 設(shè)輔助函數(shù)，在區(qū)間上對使用拉格朗日中值定理，則 ， 即 由于，則有 因此 整理可得 不等式的證明是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，15中提到常用的方法是利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而證明不等式，由例題5，我們可以總結(jié)下利用微分中值定理證明不等式的方法.首先給出使用微分中值定理證明不等式的步驟：（1） 構(gòu)造輔助函數(shù)；（2） 構(gòu)造微分中值定理需要的區(qū)間；（3） 利用，對進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。4 結(jié)束語 由上綜述，我們對微分中

9、值定理的理解和內(nèi)在聯(lián)系，在解題的時候會利用微分中值定理和幾何意義思考解題，討論方程零點(diǎn)（根）的存在性，求極限和證明不等式等方面的應(yīng)用.微分中值定理的應(yīng)用，除了本文介紹的幾個方面，還有8,12,15中提到的其他最值、凹凸性等多方面的結(jié)論，所以深入研究微分中值定理，有助于加深對這些定理的理解，清楚這些定理的證明，能促使我們掌握微分中值定理的具體應(yīng)用.參考文獻(xiàn)1 黨艷霞，淺談微分中值定理及其應(yīng)用. 廊坊師范學(xué)院學(xué)報.(自然科學(xué)報)2010(10):10-1.2 紀(jì)華霞, 微分中值定理的幾個推廣結(jié)論. 高等函授學(xué)報( 自然科學(xué)版)2006(06): 19-6.3 郭軍, 微分中值定理之探討. 兵團(tuán)職工

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11、章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析（上）M北京：科學(xué)出版社，200413 項明寅，方輝平，微分中值定理的不等式形式及其應(yīng)用.新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報）自然科學(xué)版）.14 王秀玲，微分中值定理的另類證明與應(yīng)用.安慶師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）.2010.1115 邢建平，徐湘云.微分中值定理的解題應(yīng)用J.中小企業(yè)管理與科技（上旬刊）.2010(08)15816 劉章輝.微分中值定理及應(yīng)用J.山西大同大學(xué)學(xué)報,2007,23(2):79-81.17 孫本旺.數(shù)學(xué)分析中的典型例題和解題方法M長沙：湖南科技出版Differential Mean Theorem and Its ApplicationXie Juan 092110

12、45Department of Mathematics, Jiang su Normal University, Xuzhou, 221116Abstract: The differential mean value theorem is a general term for a series of mean value theorem, a powerful tool to study the function, Which including the Fermat's theorem, Rolles theorem, Lagrange theorem, Cauchy theorem

13、, Taylor theorem, and L'Hospital rule. A group consisting of Rolle mean value theorem, Lagrange theorem of mean value theorem and Cauchy mean value theorem is the basic principle of the differential calculus, which is not only communicate the relationship between the function and its derivatives

14、, but also build the bridge and foundation of application of differential theory. Firstly, this paper gives a description of some conditions in differential mean value theorem and introduces three differential mean value theorem and its relations. Secondly, on the basis of this, they author summering the differential mean