有限元法分析結(jié)果的誤差影響

1、有限元法分析結(jié)果的誤差影響本文指出了有限元法分析結(jié)果的誤差影響存在于其每一操作步驟，并對這些誤差進行了歸類分析。隨后，結(jié)合工程實例，通過改變單元類型（形狀和精度）、調(diào)整單元尺寸大小和應(yīng)用多種分網(wǎng)方式，顯示理想化誤差和離散化誤差對計算結(jié)果的影響。最后，提出建議和今后的研究方向。一、引言有限元法分析起源于50年代初桿系結(jié)構(gòu)矩陣的分析。隨后，Clough于1960年第一次提出了“有限元法”的概念。其基本思想是利用結(jié)構(gòu)離散化的概念，將連續(xù)介質(zhì)體或復(fù)雜結(jié)構(gòu)體劃分成許多有限大小的子區(qū)域的集合體，每一個子區(qū)域稱為單元（或元素），單元的集合稱為網(wǎng)格，實際的連續(xù)介質(zhì)體（或結(jié)構(gòu)體）可以看成是這些單元在它們的節(jié)點上

2、相互連接而組成的等效集合體；通過對每個單元力學特性的分析，再將各個單元的特性矩陣組集成可以建立整體結(jié)構(gòu)的力學方程式，即力學計算模型；按照所選用計算程序的要求，輸入所需的數(shù)據(jù)和信息，運用計算機進行求解。當前，有限元方法/理論已經(jīng)發(fā)展的相當成熟和完善，而計算機技術(shù)的不斷革新，又在很大程度上推進了有限元法分析在工程技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用。然而，如此快速地推廣和應(yīng)用使得人們很容易忽視一個前提，即有限元分析軟件提供的計算結(jié)果是否可靠、滿足使用精度的前提，是合理地使用軟件和專業(yè)的工程分析。只有這兩者很好地結(jié)合，我們才能得到工程上切實可信的計算結(jié)果，否則只會在工程上造成極大的浪費，甚至帶來嚴重的工程事故。二、誤差分

3、析有限元法分析一般包括四個步驟：物理模型的簡化、數(shù)學模型的程序化、計算模型的數(shù)值化和計算結(jié)果的分析。每一個步驟在操作過程中都或多或少地引入了誤差，這些誤差的累積最終可能會對計算結(jié)果造成災(zāi)難性的影響，進而蒙蔽我們的認識和判斷。第一步，物理模型的簡化，主要有幾何實體、連接/裝配關(guān)系、環(huán)境邊界條件和材料特性的簡化，進而構(gòu)建數(shù)學模型。這些簡化或者說假設(shè)，是必要的，也是必須的，但是也由此在模型中引入了理想化誤差（idealizationerror）。有些理想化誤差是非良性奇異的，比如幾何實體簡化時細節(jié)部位上忽略小的圓/倒角，連接/裝配關(guān)系簡化時忽略焊縫和螺栓連接等，往往導(dǎo)致模型發(fā)生結(jié)構(gòu)方面（諸如L形截面

4、的角點）的奇異，即結(jié)構(gòu)奇異（奇異的數(shù)學定義是在某一點處導(dǎo)數(shù)無窮）；有些理想化誤差是良性奇異的，比如邊界條件簡化時添加集中載荷和孤立點約束，導(dǎo)致模型發(fā)生邊界條件的奇異，即邊界奇異；其它理想化誤差，比如幾何實體簡化時三維殼/面體簡化為二維殼/面、三維梁簡化為一維梁，邊界條件簡化時非均勻溫度場和壓力場簡化為均勻溫度場和壓力場等，只會影響計算結(jié)果的準確度，不會引發(fā)計算結(jié)果方面的數(shù)值奇異，即應(yīng)力奇異和位移奇異等。理想化誤差是在有限元法分析開始之前引入的，因此我們不可能通過改進有限元分析技術(shù)來達到消除其的目的，而只能通過修改數(shù)學模型本身來實現(xiàn)消除其的目的。第二步，數(shù)學模型的程序化，主要有幾何實體的單元離散

5、、單元網(wǎng)格的裝配連接、模型環(huán)境邊界條件的添加，進而構(gòu)建計算模型。幾何實體的離散，和單元類型（形狀和精度）、單元尺寸以及分網(wǎng)方式的選擇有關(guān)，不可避免地會引入離散化誤差（discretizationerror）。離散化誤差，是根植于有限元法分析本身的，因此只能通過改進有限元分析技術(shù)或者技巧來盡力消除/減小這方面的誤差，比如采用規(guī)則化的單元形狀避免單元在形狀上產(chǎn)生奇異（即單元奇異）、提高單元精度和增加網(wǎng)格密度減小計算方面的誤差等方法。單元網(wǎng)格的裝配連接一般采用MP夠點約束法，因而會引入人為誤差（artficialerror）,這方面誤差的消除更多是需要長期計算經(jīng)驗的積累。模型環(huán)境邊界條件的添加，其誤

6、差影響依賴于第一步的理想化簡化。第三步，計算模型的數(shù)值化，主要是用數(shù)值計算方法（程序求解器）求解、逼近真實的解析值，因而必然存在數(shù)值化誤差（numericalerror）。數(shù)值計算方法的精度（非人為可控）越高，計算結(jié)果的誤差就越小，但計算的工作量也越大。實際考慮到計算精度和計算資源的利用，必然要做一個適當?shù)慕y(tǒng)一。第四步，計算結(jié)果的分析，主要是利用數(shù)值計算結(jié)果來分析、評判，或預(yù)知真實的物理模型，由此也存在著認知誤差（recognizederror）。認知誤差的消除，一方面需要真實物理試驗的指導(dǎo)，另一方面依賴于分析人員的工程經(jīng)驗和認知能力。同時，不要忘記了我們的前提假設(shè)，即第一步物理模型的簡化，或

7、假設(shè)。下文，將通過一個簡單的例子來說明理想化誤差和離散化誤差對有限元法分析結(jié)果的影響。計算時，采用有限元數(shù)值分析軟件ANSYS11.O本，32位操作系統(tǒng)軟件WindowsXPK本，HPxw4200服務(wù)器硬件平臺，保證了程序求解器及其運行環(huán)境的統(tǒng)一，以消除數(shù)值化誤差。三、實例分析圖1中所示為工程上最常見的起豎支耳模型，具包括兩個部分：橫板和豎耳。工藝生產(chǎn)上，即可以將橫板和豎耳做成一個整體鑄件（如圖1.a）,也可以將二者作為兩個單獨的部件焊接而成（如圖1.b）o有限元分析時，一般會忽略鑄件上小的過渡圓角，也經(jīng)常忽略焊接件上的焊縫，即而簡化為適于分析的幾何實體（如圖1.c）。工程使用中，起豎機構(gòu)通過

8、銷軸作用于豎耳銷孔以推動橫板連接機構(gòu)完成起豎，具體壓力載荷P的數(shù)學形式可表示為：產(chǎn)二sind（0,180）PQtzRL上式（1）中，P0為最大壓力載荷幅值，8為載荷作用面上某點的周向角度，F(xiàn)為真實的載荷力，R為銷孔半徑，L為銷孔縱向長度。數(shù)學建模時，僅為滿足工程簡單計算的需求，材料模型通常取為線性彈性模型。為了顯示計算結(jié)果的誤差影響，這里選用三種評估方法：智能化自由網(wǎng)格劃分、規(guī)則化網(wǎng)格劃分和自適應(yīng)P改進，見表1。智能化自由網(wǎng)格劃分，利用SMRTSIZE選項控制單元尺寸大小，分割幾何實體為四面體單元，單元形狀較差，計算效率低;規(guī)則化網(wǎng)格劃分，利用線段分割數(shù)參數(shù)NSize控制網(wǎng)格單元大小，保證幾何

9、實體規(guī)則劃分，以避免單元奇異，進而消除離散化帶來的誤差影響；自適應(yīng)P改進在規(guī)則化網(wǎng)格劃分的基礎(chǔ)上，通過提高單元精度以展示所關(guān)心位置處節(jié)點的應(yīng)力收斂過程，進而顯示理想化誤差帶來的影響。表1三種評估方法分網(wǎng)方式1單元類型單元形狀單元尺寸智能化自由網(wǎng)格劃分SOLID187四面體工階SMKTSIZE=k234.5規(guī)則化網(wǎng)格劃分SOLID186六面體2階NSizTmO.”自適應(yīng)P改進SOLIDU7六面體工8階'L"'"br"""HI關(guān)心位置包括：幾何簡化引起結(jié)構(gòu)奇異的位置，豎耳根部左下角LUGDL右下角LUGDR左上角LUGUI®

10、;右上角LUGRL這些位置的節(jié)點應(yīng)力通常不會收斂，即應(yīng)力奇異；邊界約束引起邊界奇異的位置，橫板約束根部左下角PLATEDL右下角PLATEDR左上角PLATEUlf口右上角PLATEUR這些位置受剛性約束限制了其橫向位移（泊松比效應(yīng)）從而導(dǎo)致應(yīng)力不收斂；實體離散可能引起單元奇異的位置，銷孔左下角PINDL右下角PINRL左上角PINUL和右上角PINUL,這些位置若網(wǎng)格規(guī)則其應(yīng)力集中，若網(wǎng)格不規(guī)則其應(yīng)力奇異。3.1 智能化自由網(wǎng)格劃分按照有限元分析軟件前處理步驟，首先定義了單元類型（三維十節(jié)點四面體結(jié)構(gòu)單元SOLID187、實常數(shù)和材料模型參數(shù)；然后，采用智能化自由網(wǎng)格劃分技術(shù)對幾何實體圖1.

11、c進行分網(wǎng)（見圖2所示），單元尺寸大小由SMRTSIZ參數(shù)控制;最后，對模型進行檢查，確保無誤后退出前處理模塊。圖7 有差至根出 圖多，的L卜下邊能府士帝比曲統(tǒng)弓Mfrrsi運一FLATEDL FLHRH kLAlEWLf - F LaTTZu R-llgdl-LUGOR* LlUUL¥ - LLOl F圖4豎耳根部角點應(yīng)力變化曲線圖5橫板約束角點應(yīng)力變化曲線進入有限元分析軟件計算模塊，首先給計算模型添加環(huán)境邊界條件：橫板左、右面固定約束，豎耳銷孔位置施加式（1）形式的載荷，其合力沿水平正Z軸方向;隨后，設(shè)置求解環(huán)境參數(shù)，靜態(tài)分析；最后，對模型進行檢查，確保無誤后求解退出計算模塊。由

12、圖3圖5所示，可以發(fā)現(xiàn)：1）豎耳根部、銷孔上下緣和橫板約束根部的節(jié)點應(yīng)力具有比較明顯的網(wǎng)格敏感特性，當網(wǎng)格密度達到一定程度時其整體趨勢是隨著網(wǎng)格密度的增加（SMRTSIZ越?。?yīng)力值無限增加，即不收斂；2）由于網(wǎng)格不太規(guī)則，使得載荷和位移邊界條件偏離對稱特性，因而對稱位置的應(yīng)力數(shù)值有明顯偏差。眾所周知，特定工況下結(jié)構(gòu)的真實應(yīng)力，其數(shù)值只能有一個，具有唯一性?？紤]到數(shù)值計算的精度問題，其應(yīng)力計算值可能是一個圍繞真實應(yīng)力在一定精度范圍內(nèi)波動的數(shù)值，而隨著數(shù)值精度的不斷提高，應(yīng)力計算值將會逐漸趨于一個有限數(shù)值，即真實應(yīng)力。由此看來，圖3圖5所示關(guān)心位置處應(yīng)力并非真實的應(yīng)力，而是計算得到的虛假應(yīng)力。3

13、.2 規(guī)則化網(wǎng)格劃分采用三維二十節(jié)點六面體實體單元SOLID184利用線段分割數(shù)參數(shù)NSize控制網(wǎng)格單元大小，掃略劃分圖1.c幾何實體，見圖6所示。由圖7圖8所示，可以看出：1）由于網(wǎng)格規(guī)則，使得載荷和位移邊界條件滿足對稱特性，因而對稱位置的應(yīng)力數(shù)值基本完全重合；2）豎耳根部和橫板約束根部的節(jié)點應(yīng)力仍具有比較明顯的網(wǎng)格敏感特性，其整體趨勢是隨著網(wǎng)格密度的增加（NSize越大）應(yīng)力值無限增加，即不收斂；3）銷孔上下邊緣的節(jié)點應(yīng)力在4.454.50MPa范圍內(nèi)波動，且有收斂態(tài)勢，因而其應(yīng)力計算值為真實應(yīng)力。以上分析表明，銷孔上下邊緣的應(yīng)力結(jié)果誤差為離散化誤差，而豎耳根部角點和橫板約束角點的應(yīng)力結(jié)果誤差為理想化誤差。E6看眼單元嗅型IP箱孔上下邊豫應(yīng)力變比曲線II I "-PLATEIX戶LAVE也- I . LI2圖9橫板約束角點應(yīng)力變化曲線圖8豎耳根部角點應(yīng)力變化曲線3.3自適應(yīng)P改進采用三維二十節(jié)點六面體實體P單元SOLID147（其位移模式中形函數(shù)的階次可以在28之間自適應(yīng)選擇），設(shè)置線段分割數(shù)參數(shù)NSize=3控制網(wǎng)格單元大小，掃略劃分圖1.c幾何實體，見圖10所示。L L F ? -'"=圉川韋項單元蜃于L ! OL -1 1 戶聲口圖工i I酹L上下邊傣膽變化曲戲s.dteLir ie. 3、1-Ldt-