第六章簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題

1、第六章 簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題§61超靜定結(jié)構(gòu)概述1. 定義2.用靜力學(xué)平衡方程無(wú)法確定全部約束力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)或結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，統(tǒng)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)，也稱為靜不定結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)。圖61 靜定結(jié)構(gòu)與幾何可變系2. 靜定、超靜定結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)）無(wú)多余聯(lián)系的幾何不變的承載結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其全部支承反力與內(nèi)力都可由靜力平衡條件求得，此系統(tǒng)稱為靜定結(jié)構(gòu)或系統(tǒng)。靜定結(jié)構(gòu)除了變形外，沒(méi)有可運(yùn)動(dòng)的自由度（圖6-1（a、b）圖62超靜定結(jié)構(gòu)如解除簡(jiǎn)支梁的右端鉸支座，或解除懸臂梁固端對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)約束，使之成為鉸支座，則此時(shí)的梁變成了圖6.1（c）的可動(dòng)機(jī)構(gòu)，是幾何可變系不能承受橫向載荷。在無(wú)多余聯(lián)系的幾何不變的靜定系統(tǒng)上增加約束或聯(lián)系

2、，稱為多余約束，并因而產(chǎn)生多余約束反力，則這樣的有多余約束的系統(tǒng)，僅利用靜力平衡條件無(wú)法求得其反力和內(nèi)力，稱為超靜定（或靜不定）系統(tǒng)。如圖6-2所示。3. 靜不定次數(shù)的確定 在超靜定問(wèn)題中，都存在維持平衡所必需的支座或桿件，習(xí)慣上稱其為“多余”約束。由于多余約束的存在，未知力的數(shù)目必然多于獨(dú)立平衡方程的數(shù)目。未知力數(shù)目超過(guò)獨(dú)立方程數(shù)的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。因此，超靜定次數(shù)就等于多余約束或多余未知力的數(shù)目。4. 基本靜定系（靜定基），相當(dāng)系統(tǒng) 解除靜不定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到靜定結(jié)構(gòu)，稱為原靜不定結(jié)構(gòu)的基本靜定系（簡(jiǎn)稱靜定基）。靜定基的選擇可根據(jù)方便來(lái)選取，同一問(wèn)題可以有不同選擇。在靜定基上加上外

3、載荷以及多余約束力的系統(tǒng)稱為超靜定結(jié)構(gòu)的相當(dāng)系統(tǒng)。5.解超靜定問(wèn)題的步驟(1) 建立相當(dāng)系統(tǒng)，列靜力學(xué)平衡方程。(2) 觀察靜定基在多余約束處的變形與實(shí)際相協(xié)調(diào)的關(guān)系式-建立變形協(xié)調(diào)方程。(3) 建立物理方程（如胡克定律，熱膨脹規(guī)律等）。(4) 聯(lián)立靜力平衡方程以及根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程和物理方程所建立的補(bǔ)充方程，求出未知力（約束力或內(nèi)力）。注意：注意：變形協(xié)調(diào)條件應(yīng)使靜定基變形與原超靜定結(jié)構(gòu)相一致。§62 拉壓超靜定問(wèn)題 拉壓超靜定問(wèn)題解法【例21】 如圖a所示，已知等截面直桿的兩端固定，求A，B處的約束反力，。圖a【解】此結(jié)構(gòu)的約束力個(gè)數(shù)為2，獨(dú)立平衡方程數(shù)為1，屬于一次超靜定問(wèn)題 （

4、1） 靜力平衡方程圖b如圖b所示解除B處約束，即得相應(yīng)靜定基，靜定基上除B處給以相應(yīng)約束力外，還作用有P，。 由得 即 （a）（2）變形協(xié)調(diào)方程 （b） （3）物理方程由胡克定律 = ，= （c）將（c）式代入（b）式得補(bǔ)充方程 或 （d）（4）求解 （a）、（d）式得，（） ，（） 裝配應(yīng)力和溫度應(yīng)力裝配應(yīng)力：由于裝配誤差使構(gòu)件尺寸相應(yīng)變化，引起結(jié)構(gòu)變形而產(chǎn)生的應(yīng)力。溫度應(yīng)力：由于溫度變化使構(gòu)件尺寸相應(yīng)變化，引起結(jié)構(gòu)變形而產(chǎn)生的應(yīng)力。溫度應(yīng)力、裝配應(yīng)力問(wèn)題一般可應(yīng)用超靜定的解法解決?！纠?-2】圖示所示為超靜定桿系結(jié)構(gòu)，1，3桿的拉伸剛度為E1A1，2桿的為E2A2，已知中間桿2加工制作時(shí)短

5、了，試求三桿在D點(diǎn)鉸接在一起后各桿的內(nèi)力?！窘狻繄D中紅線為裝配后的位置，藍(lán)線AD、CD為1、3桿裝配前的位置，由變形知1、3桿的軸力及為壓力，2桿的為張力，D點(diǎn)的受力圖如圖b。（1） 靜力平衡方程 （a）（2） 變形協(xié)調(diào)條件 （b） （3）物理方程 （c）由（b），（c）得補(bǔ)充方程 （d） 由（a），（d）解得： 【例2-3】如圖所示，等直趕AB的兩端分別與剛性支承連接。設(shè)兩支承間的距離（即桿長(zhǎng)）為,桿的橫截面積為A， 材料的彈性模量為E，線膨脹系數(shù)為。試求溫度升高時(shí)桿內(nèi)的溫度應(yīng)力?！窘狻?）由靜力平衡方程 （a）此結(jié)構(gòu)的約束力個(gè)數(shù)為2，獨(dú)立平衡方程數(shù)為1，屬于一次超靜定問(wèn)題 2）變形協(xié)調(diào)方程

6、 (b) 是桿件因作用而產(chǎn)生的縮短；是溫度上升時(shí)的伸長(zhǎng)。3）物理方程， （c）由（c），（b）式得補(bǔ)充方程即有應(yīng)力為 (d)結(jié)果為正，說(shuō)明當(dāng)初設(shè)定桿受軸向壓力是對(duì)的，故該桿的溫度應(yīng)力是壓應(yīng)力。 對(duì)于鋼桿，則當(dāng)溫度升高時(shí)，桿內(nèi)的溫度應(yīng)力由式（d）算得為 （壓應(yīng)力）以上結(jié)果表明，在超靜定結(jié)構(gòu)中，溫度應(yīng)力是一個(gè)不容忽視的因素。在鐵路鋼軌接頭處，以及混凝土路面中，通常都留有空隙；高溫管道隔一段距離要設(shè)一個(gè)彎管，都為考慮溫度的影響，調(diào)節(jié)因溫度變化而產(chǎn)生的伸縮。如果忽視了溫度變化的影響，將會(huì)導(dǎo)致破壞或妨礙結(jié)構(gòu)物的正常工作。§6-3扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題有些受扭桿件，其支反力偶矩或桿內(nèi)的扭矩，僅靠靜力學(xué)條

7、件無(wú)法求解，即未知力的數(shù)目超過(guò)靜力學(xué)平衡方程的數(shù)目，這類問(wèn)題稱為扭轉(zhuǎn)超靜定問(wèn)題。 【例2-4】 如圖所示等直圓桿，已知 KN·m，試求桿兩端的支反力偶矩?！窘狻吭O(shè)兩端約束扭轉(zhuǎn)力偶為，（1）由靜力平衡方程得 （a）此題屬于一次超靜定。 （2）由變形協(xié)調(diào)方程（可解除B端約束），用變形疊加法有 （b）（3）物理方程， （c）由式（c），（b）得 即 假設(shè)的力偶轉(zhuǎn)向正確。§6-4 簡(jiǎn)單超靜定梁1、 處理方法：變形協(xié)調(diào)方程、物理方程與靜力學(xué)平衡方程相結(jié)合，求全部未知力。【例2-5】結(jié)構(gòu)如圖，求B點(diǎn)反力。 【解】1） 建立靜定基2）幾何方程變形協(xié)調(diào)方程：3） 物理方程變形與力的關(guān)系4）

8、補(bǔ)充方程 本章小結(jié)1、 靜定、超靜定結(jié)構(gòu)與超靜定次數(shù)靜定結(jié)構(gòu)（或系統(tǒng)）：無(wú)多余聯(lián)系的幾何不變的承載結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其支承反力及內(nèi)力都可由靜力學(xué)平衡方程求得，靜定結(jié)構(gòu)除了受力變形外，沒(méi)有可運(yùn)動(dòng)的自由度。超靜定結(jié)構(gòu)：在靜定系統(tǒng)上增加多余約束，因而增加了多余約束未知力，用靜力平衡方程不能確定其全部未知支承反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，稱為超靜定結(jié)構(gòu)（或系統(tǒng)）。超靜定次數(shù)：超靜定結(jié)構(gòu)的所有未知支承反力和內(nèi)力的總數(shù)與結(jié)構(gòu)所能提供的獨(dú)立的靜力平衡方程數(shù)之差，即為此結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)（或階數(shù)）。2、 靜定系（靜定基）與相當(dāng)系統(tǒng) 解除靜不定結(jié)構(gòu)的某些約束后得到的靜定結(jié)構(gòu)，稱為原靜不定結(jié)構(gòu)的基本靜定系（又叫靜定基）。在基本靜定系上加上外載荷和多余約束力，這樣的系統(tǒng)稱為相當(dāng)系統(tǒng)。典型習(xí)題典型習(xí)題61 設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈