第十一章彈性力學的變分原理

1、第十一章 彈性力學的變分原理一.內容介紹 由于偏微分方程邊值問題的求解在數(shù)學上的困難，因此對于彈性力學問題，只能采用半逆解方法得到個別問題解答。一般問題的求解是十分困難的，甚至是不可能的。因此，開發(fā)彈性力學的數(shù)值或者近似解法就具有極為重要的作用。 變分原理就是一種最有成效的近似解法，就其本質而言，是把彈性力學的基本方程的定解問題，轉換為求解泛函的極值或者駐值問題，這樣就將基本方程由偏微分方程的邊值問題轉換為線性代數(shù)方程組。變分原理不僅是彈性力學近似解法的基礎，而且也是數(shù)值計算方法，例如有限元方法等的理論基礎。 本章將系統(tǒng)地介紹最小勢能原理和最小余能原理，并且應用變分原理求解彈性力學問題。最后，

2、將介紹有限元方法的基本概念。 本章內容要求學習變分法數(shù)學基礎知識，如果你沒有學過上述課程，請學習附錄3或者查閱參考資料。二.重點 1. 幾何可能的位移和靜力可能的應力； 2. 彈性體的虛功原理； 3. 最小勢能原理及其應用； 4. 最小余能原理及其應用；5. 有限元原理的基本概念。知識點靜力可能的應力彈性體的功能關系功的互等定理彈性體的總勢能虛應力應變余能函數(shù)應力變分方程最小余能原理的近似解法扭轉問題最小余能近似解有限元原理與變分原理有限元原理的基本概念有限元整體分析幾何可能的位移虛位移虛功原理最小勢能原理瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz）法伽遼金(）法最小余能原理平面問題最小余能近似解

3、基于最小勢能原理的近似計算方法基于最小余能原理的近似計算方法有限元單元分析附錄3 變分原理 泛函是指某一個量，它的值依賴于其它一個或者幾個函數(shù)。因此泛函也稱為函數(shù)的函數(shù)。 變分法的基本問題是求解泛函的極值。 對于彈性力學問題，根據(jù)能量關系可以使偏微分方程的邊值問題轉化為代數(shù)方程。彈性體的應變能是基本未知量應力或者應變分量的函數(shù)，當然應力或者應變分量是坐標的函數(shù)。因此，應變能就是泛函。 在數(shù)學分析中，討論函數(shù)和函數(shù)的極值。變分法討論泛函的極值，是極值問題的推廣。 下面簡單介紹復變函數(shù)的定義和基本性質。如果需要深入探討復變函數(shù)問題，請查閱參考資料。參考資料1 泛函和泛函的極值 2 泛函極值的必要條

4、件-歐拉方程 3 自然邊界條件 4 泛函變分的基本運算法則11.1 彈性變形體的功能原理學習思路: 本節(jié)討論彈性體的功能原理。能量原理為彈性力學開拓了新的求解思路，使得基本方程由數(shù)學上求解困難的偏微分方程邊值問題轉化為代數(shù)方程組。而功能關系是能量原理的基礎。 首先建立靜力可能的應力和幾何可能的位移概念；靜力可能的應力和幾何可能的位移可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼此獨立而且無任何關系。 建立彈性體的功能關系。功能關系可以描述為：對于彈性體，外力在任意一組幾何可能的位移上所做的功，等于任意一組靜力可能的應力在與上述幾何可能的位移對應的應變分量上所做的功。 學習要點： 1.

5、 靜力可能的應力； 2. 幾何可能的位移； 3. 彈性體的功能關系； 4. 真實應力和位移分量表達的功能關系。假設彈性變形體的體積為V，包圍此體積的表面積為S。表面積為S 可以分為兩部分所組成：一部分是表面積的位移給定，稱為Su；另外一部分是表面積的面力給定，稱為Ss 。如圖所示。顯然 S=Su+Ss 假設有一組應力分量sij 在彈性體內部滿足平衡微分方程在面力已知的邊界Ss ，滿足面力邊界條件 這一組應力分量稱為靜力可能的應力。 靜力可能的應力未必是真實的應力，因為真實的應力還必須滿足應力表達的變形協(xié)調方程，但是真實的應力分量必然是靜力可能的應力。 為了區(qū)別于真實的應力分量，我們用 表示靜力

6、可能的應力分量。假設有一組位移分量ui和與其對應的應變分量eij，它們在彈性體內部滿足幾何方程 在位移已知的邊界Su上，滿足位移邊界條件 這一組位移稱為幾何可能的位移。幾何可能的位移未必是真實的位移，因為真實的位移還必須在彈性體內部滿足位移表示的平衡微分方程；在面力已知的邊界Ss 上，必須滿足以位移表示的面力邊界條件。但是，真實的位移必然是幾何可能的。 為了區(qū)別于真實的位移，用 表示幾何可能的位移。幾何可能的位移產生的應變分量記作 。對于上述的靜力可能的應力 、幾何可能的位移 以及其對應的應變分量 ，設Fbi 和Fsi 分別表示物體單位體積的體力和單位面積的面力 （面力也包括在位移邊界Su的約

7、束反力）。則不難證明，有以下恒等式 證明： 由于 和 滿足幾何方程，而且應力 是對稱的，所以 將上式代入等式的右邊，并且利用高斯積分公式，可得由于滿足面力邊界條件，上式的第一個積分為由于 滿足平衡微分方程，所以第二個積分為 將上述結果回代，可以證明公式為恒等式。公式揭示了彈性體的功能關系。功能關系可以描述為：對于彈性體，外力在任意一組幾何可能位移上所做的功，等于任意一組靜力可能應力在上述幾何可能位移對應的應變分量上所做的功。 這里需要強調指出的是：對于功能關系的證明，沒有涉及材料的性質，因此適用于任何材料。當然，證明時使用了小變形假設，因此必須是滿足小變形條件。 其次，功能關系中，靜力可能的應

8、力 、幾何可能的位移 以及其對應的應變分量 ，可以是同一彈性體中的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼此獨立而且無任何關系。 假如靜力可能的應力和幾何可能的應變分量 滿足材料本構方程時，則對應的靜力可能的應力 和幾何可能的位移 以及其對應的應變分量 均成為真實的應力，位移和應變分量。對于真實的應力，位移和應變分量，功能關系為顯然這是應變能表達式。不過在應變能公式中，假設外力，即體力和面力是由零緩慢地增加到最后的數(shù)值的，因此應變能關系式中有1/2。而在功能關系公式的推導中，并沒有這一加載限制。 功能關系是彈性力學中的一個普遍的能量關系，這一原理將用于推導其它的彈性力學變分原理。11.2 變形體的

9、虛功原理學習思路:本節(jié)討論的重點是彈性體的虛功原理。 首先定義虛位移概念，通過將幾何可能的位移定義為真實位移與虛位移的和，可以確定虛位移是位移邊界條件所容許的位移微小改變量。對于虛位移所產生的虛應變，記作deij 。 根據(jù)彈性體的功能關系，可以得到虛功方程表達式 dW =dU 。虛功方程的意義為：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，外力在虛位移上所做的虛功，等于真實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功，即虛應變能。這就是虛功原理。 虛功原理等價于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿足了靜力平衡的要求。學習要點： 1. 虛位移與虛應變； 2. 虛功原理； 3. 虛功原理的意義。功是指力與力作用點處沿力方向

10、位移的乘積。顯然，功包括力和位移兩個基本量。如果力或者應力在其自身引起的真實位移或者應變上作功，這種功稱為實功；如果力或者應力在其他某種原因引起的微小位移或者應變上作功，這種功稱為虛功。 設幾何可能的位移為 這里ui為真實位移，d ui稱為虛位移。虛位移是位移邊界條件所容許的位移的微小改變量。由于幾何可能的位移在邊界 Su上，應該滿足位移邊界條件，因此,邊界 Su，有 d ui=0 將幾何可能位移公式代入幾何方程 顯然，上式右邊的第一項是真實應變，而第二項是虛位移所產生的虛應變，記作deij 。因此，上式可以寫作 幾何可能的位移對應的應變可以用真實應變與虛位移所產生的虛應變之和表如果用虛位移表

11、達的幾何可能位移、和真實應力作為靜力可能應力代入功能關系表達式，注意到真實應力和位移是滿足功能關系的，因此可以得到用虛位移d ui 和虛應變deij 表達的虛功方程 上式中應力分量為實際應力。注意到在位移邊界Su上，虛位移是恒等于零的，所以在上述面積分中僅需要在面力邊界Ss上完成。 就力學意義而言，虛功原理表達式的等號的左邊為外力在虛位移中所做的功，稱為外力虛功d W ；右邊為應力分量在虛位移對應的虛應變上產生的應變能，稱為虛應變能d U 。即 d W =dU 根據(jù)上述分析，可以得出結論：如果彈性體是處于靜力平衡狀態(tài)的，對于滿足變形連續(xù)條件的虛位移及其虛應變而言，外力在虛位移上所做的虛功，等于

12、真實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功，即虛應變能。這就是虛功原理。對于虛功方程，其右邊的積分可以寫作 上式在推導中應用了在位移邊界Su上，d ui0的邊界條件?，F(xiàn)在將上式回代到虛功方程，整理可得 因為虛位移d ui 是任意的，因此上式的成立，要求在彈性體內 在位移已知邊界Su 上,有 顯然，虛功原理等價于平衡微分方程和面力邊界條件，它滿足了靜力平衡的要求。應該指出：虛功原理的推導并沒有涉及任何材料性質，因此適用于任何材料。當然，由于使用了小變形假設，即線性的幾何方程，因此虛功原理必須是在小變形條件下適用于任何材料。除此以外應力和應變分量之間不需要滿足任何關系。11.3 功的互等定理學習思路:

13、 本節(jié)討論功的互等定理。定理的證明比較簡單，將功能方程應用于同一彈性體的兩種不同的受力和變形狀態(tài)，則可以得到功的互等定理。它是彈性體功能原理的另一種應用形式。功的互等定理可以描述為：作用在彈性體上的第一種狀態(tài)的外力，包括體力和面力，在第二種狀態(tài)外力對應的位移上所做的功為例，等于第二種狀態(tài)的外力在第一種狀態(tài)對應的位移上所做的功。功的互等定理是一個十分重要的力學概念。它的應用可以幫助我們推導和理解有關的有關的力學公式和概念，同時也可以直接用于求解某些彈性力學問題。學習要點： 1. 功的互等定理； 2. 功的互等定理的應用。如果將功能方程應用于同一彈性體的兩種不同的受力和變形狀態(tài)，則可以得到功的互等定理。 假設第一種狀態(tài)的體力為 ， 在面力邊界Ss上的面力為 ，在位移已知的邊界Su的位移為 ，彈性體內部的應力，應變和位移分別為 ； 第二種狀態(tài)的體力，面力，應力，應變和位移分別為 ， , 。由于兩種狀態(tài)的應力和應變分量都是真實解，所以它們當然也就是靜力可能的和幾何可能的。 現(xiàn)在把第一種狀態(tài)的應力作為靜力可能的應力，而把第二種狀態(tài)的位移和應變作為幾何可能的位移和應變。將上述兩種狀態(tài)的應力和位移分別代入功能方