微積分下期末復習提綱

1、微積分復習提綱一、 微分1、會求多元函數(shù)的偏導數(shù)，進而會求函數(shù)的全微分或者梯度函數(shù)多元顯函數(shù)的偏導數(shù)，見P16 例1-例3，P24習題1多元抽象函數(shù)的偏導數(shù)，見P28 例5-例7，P36 習題3高階偏導數(shù)，見P19 例8，P24習題2，P36 習題4復合函數(shù)的偏導數(shù)，見P26例1，例3，例4，P36習題1，22、會求由方程確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)“顯”方程確定的隱函數(shù)求偏導數(shù)，（公式法），見P34 例12，P36習題6，7抽象方程確定的隱函數(shù)求偏導數(shù)，（直接法），見P34 例13，P36習題8由方程組確定的隱函數(shù)的導數(shù)，（直接法：在方程兩端同時對求導，求導過程中把都看做是的函數(shù)，然后解方程組即可）

2、，見P35例14，P37習題9由方程組確定的隱函數(shù)的偏導數(shù)（直接法） 見P37習題93、多元函數(shù)微分學的幾何應用空間曲線在點處的切線方程及法平面方程， 見P46 例1，例2， P50習題1、2空間曲線在點處的切線方程及法平面方程 見P46 例3， P50習題2 曲面在點處的切平面方程與法線方程 見P46 例5，例6， P50習題3 4、方向?qū)?shù)與梯度二、 積分1、二重積分的計算步驟：1）畫出積分區(qū)域， 2）根據(jù)積分區(qū)域選擇適當?shù)淖鴺讼祦碛嬎愦硕胤e分3）化二重積分為二次積分 4）做兩次定積分，計算此積分的值注：多元函數(shù)對某個自變量積分的時候，要把其他的自變量看做常數(shù)。 注：要會做改變二次積分的

3、積分次序，并計算此二次積分的值這種題型，見半期考試試題2、三重積分的計算步驟：1）根據(jù)題意寫出積分區(qū)域的邊界曲面的方程 2）根據(jù)積分區(qū)域選擇適當?shù)淖鴺讼祦碛嬎愦巳胤e分3）化三重積分為三次定積分 4）做三次定積分，計算此積分的值3、曲線積分的計算化曲線積分為定積分1）第一類曲線積分（對弧長的曲線積分）步驟：寫出積分弧段的參數(shù)方程，并確定參數(shù)的取值范圍 根據(jù)的參數(shù)方程寫出弧長元素根據(jù)的參數(shù)方程化曲線積分為對參數(shù)的定積分2）第二類曲線積分（對坐標的曲線積分）方法一：直接化為定積分步驟：寫出積分弧段的參數(shù)方程，并確定的起點和終點對應的參數(shù)值根據(jù)的參數(shù)方程化曲線積分為對參數(shù)的定積分：方法二：利用曲線積

4、分與路徑無關及格林公式步驟：找出，并求若在一個單連通區(qū)域上恒成立，則曲線積分與路徑無關，從而我們可以選擇平行于坐標軸的折線段計算此曲線積分：如圖選擇折線段作為積分路徑：利用方法一把這兩個曲線積分，分別化為兩個定積分即可求出，即若在一個單連通區(qū)域上恒成立，則曲線積分與路徑有關，可用格林公式求解添補直線段BC: 和CA: ,則與BC，CA構成一條封閉的曲線，記此閉曲線圍成的平面有界閉區(qū)域為。如圖所示：利用格林公式及第二類曲線積分的垂直投影性得：注：計算曲線積分的時候，一般先用方法一把曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分，當這個定積分不容易求解時，就改用方法二求解4、曲面積分的計算化曲面積分為二重積分1)第一類曲面

5、積分(對面積的曲面積分)步驟：將積分曲面的方程改寫為：；畫出積分曲面在面上的投影區(qū)域；根據(jù)積分曲面的方程寫面積元素：化曲面積分為二重積分：2)第二類曲面積分(對坐標的曲面積分)方法一：（直接化曲面積分為二重積分）步驟：將積分曲面的方程改寫為：，并指明此有向曲面取上側(cè)還是下側(cè)；畫出積分曲面在面上的投影區(qū)域；化曲面積分為二重積分：特別地，注：1）計算出此二重積分的值就為所求的曲面積分的值； 2）若此二重積分不好計算或是積分曲面是由幾個部分組成，分區(qū)面做積分比較麻煩的時候可以考慮利用高斯公式求解。方法二：利用高斯公式分情況討論：)若積分曲面是一個取外側(cè)的封閉的曲面，且，及其偏導數(shù)在此閉曲面圍成的空間

6、有界閉區(qū)域上連續(xù)，則由高斯公式有：)若積分曲面不是封閉的曲面，則不能直接利用高斯公式，一般需要添補平面：，并指明所取的側(cè)，使得與圍成一個取外側(cè)的閉曲面，記此閉曲面圍成的空間有界閉區(qū)域為，從而： （此處用到了第二類曲面積分的垂直投影性）5、多元函數(shù)積分學的應用1）（用于求平面圖形的面積）2）（用于求立體的體積）3）（用于求曲線的弧長）4）（用于求曲面的面積）5）物理應用三、 無窮級數(shù)一） 常數(shù)項級數(shù)1、正項級數(shù)的斂散性的判定步驟：1) 做極限，若，則此級數(shù)發(fā)散；若，則2)2) 根據(jù)一般項的形式選擇適當?shù)姆椒ㄅ袛嗥鋽可⑿浴?、交錯級數(shù)或的斂散性的判定萊布尼茲判別法：找到做極限，若，則此交錯級數(shù)發(fā)散

7、；若，則此交錯級數(shù)收斂。3、判斷一般項級數(shù)是否收斂，若收斂，是條件收斂還是絕對收斂？解：1）判斷的斂散性，（注：是一個正項級數(shù)）2）若收斂，則作結論：收斂，且絕對收斂。3）若發(fā)散，則還要討論本身的斂散性。二） 冪級數(shù)1、 求冪級數(shù)的收斂域。（先求收斂半徑，再討論端點處冪級數(shù)的斂散性）2、 求冪級數(shù)的和函數(shù)。1） 充分利用等比級數(shù)的求和公式及冪級數(shù)可用逐項求導或逐項積分的性質(zhì)，先求，再求。2） 利用冪級數(shù)展開式，計算系數(shù)中含有階乘的冪級數(shù)的和函數(shù)。3、 將函數(shù)用的冪級數(shù)逼近或?qū)⒄归_成的冪級數(shù)方法：利用已知的冪級數(shù)展開式，通過變量代換求的冪級數(shù)展開式；先求的冪級數(shù)展開式，再利用冪級數(shù)可以逐項積分或逐項求導得性質(zhì)求出的冪級數(shù)展開式。4、 將函數(shù)用的冪級數(shù)逼近或?qū)⒄归_成的冪級數(shù)方