《理論力學》期末復習資料

1、一、質點運動學：一、質點運動學：rdtvdardtrdvrr 1 1、直角坐標分量式：、直角坐標分量式：zky jxirzvayvaxvazzyyxx 2 2、平面極坐標分量：、平面極坐標分量：rrr0rvrvr rrarrar223 3、自然坐標分量、自然坐標分量dtdsv dtdvavan2ddszvyvxvzyx大小大小大小大小)(),(ttrr1二、質點動力學：二、質點動力學：牛頓運動定律牛頓運動定律_三條推論三條推論、自然坐標分量式平面極坐標分量式直角坐標分量式3. 2. 1amF三、非慣性系力學：三、非慣性系力學： rv vv. 10 v2) r( rdtda aa. 202) (

2、. 30vmrmrdtdmamFam0FmrFududuh)()(22220zFyFyz,0 xFzFzx0yFxFxy2比耐公式比耐公式四、質點組動力學四、質點組動力學1 1、三條基本定理：、三條基本定理：動能定理及其守恒定律對質心的動量矩定理：律動量矩定理及其守恒定質心運動定理：動量定理及其守恒定律.(3)F rdtJd.(2)Frm).1 (ieiicieic 2 2、柯尼希定理：、柯尼希定理：iiicrmmvT222121對平面平行運動剛體：對平面平行運動剛體：222121ccImvT3 3、變質量運動微分方程：、變質量運動微分方程：ieiFudtdmdtvmd)(3五、剛體力學五、剛

3、體力學：（：（平面平行運動）平面平行運動）1 1、運動學：、運動學： 特點：特點： 對任何基點都相同。對任何基點都相同。 剛體上任何一點的速度和加速度剛體上任何一點的速度和加速度) (rrdtdaarvvApAp 瞬心：瞬心：純滾動條件0v0,vAr rx,rx,rxccc作水平面純滾動：2 2、靜力學、靜力學( (平衡條件平衡條件) )：iieiiiieiFrMF0043 3、動力學：、動力學：基本動力學方程：基本動力學方程：iiCiiyiixcMFFxm ccIymiiciincniicFmaFmaFrm 2 22mR52I,ml121I21I球桿圓盤，mR動能定理：動能定理：EVI21m

4、v21d)I21mv21(d2c2c2c2c機械能守恒W六、分析力學：六、分析力學：1 1、虛功原理：、虛功原理：0zFyFxF, 0rFiiiziiyiixiii適用條件：理想約束，質點組和剛體適用條件：理想約束，質點組和剛體 可求約束力可求約束力5解題步驟：解題步驟： 選對象和確定選對象和確定q 找主動力找主動力 建立坐標系，列出虛功方程建立坐標系，列出虛功方程 將虛位移化成獨立變量將虛位移化成獨立變量 令獨立的虛位移前的系數(shù)等于零，解出結果令獨立的虛位移前的系數(shù)等于零，解出結果2 2、拉氏方程：、拉氏方程：sQqTqT , 2 , 1,dtdsqLqL , 2 , 1, 0dtd解題步驟

5、：解題步驟： 選研究系統(tǒng)選研究系統(tǒng) 取廣義坐標取廣義坐標 求求 或或 QL)(VTL 列出拉氏方程列出拉氏方程 解出結果解出結果6 1、判斷一個力場是不是保守力場的判據(jù)是？ 力場存在勢能的充要條件是？保守力做功特點？ 質點組機械守恒條件是？ 2、由？定理可推出可變質量動力學方程，其表達式為？ 3、在定、動坐標原點重合的空間轉動坐標系中，質點所受的牽連慣性力有？科氏慣性力為？ 4、比耐公式適用條件？一質點受有心力 作用，負號表示有心力為？力，則列出求解其軌道的微分方程為？ 5、質點系的內力不能改變？則能改變？概念舉例：概念舉例：2rkmF7 6、水面上浮著一只小船。如果船上一人向船尾走去，則船向

6、？移動，若水的阻力不計，人和船組成的系統(tǒng)其質心速度為？質心加速度為？ 7、研究平面平行運動剛體的運動學規(guī)律時基點可任意選取嗎？ 研究其動力學問題時基點可任意選取嗎？ 通常取哪一點為基點？ 8、作平面平行運動剛體上任一點的速度公式和加速度公式為？ 9、在光滑的水平面上放一半徑為r，質量為m1的圓環(huán)，有一質量為m2的甲蟲沿此環(huán)爬行，則由甲蟲和圓環(huán)組成的系統(tǒng)所受的外力矢量和為？質心加速度為？8例例1 1、已知質點的運動方程：已知質點的運動方程：求軌道、速度、加速度的大小。求軌道、速度、加速度的大小。計算題舉例：計算題舉例：ct21,aerbtct2解解：軌道方程為：軌道方程為：cbaer2btabe

7、r bteabr2 c212222242cbrrrv)4()2()(22222cbrrrrra 9例例2 2、一質點作平面運動，在選定的極坐標系下徑向速度和橫向速度分別為一質點作平面運動，在選定的極坐標系下徑向速度和橫向速度分別為恒量恒量c1和和c2。求質點的軌跡方程和加速度的大小。設。求質點的軌跡方程和加速度的大小。設t0時時r= =b，= = 0。0r 0 rr221rccrr rc2rccrrrarcrrrar2122222 2221222ccrcaaar解：解：dtcdrrbt01質點的軌道方程為質點的軌道方程為: :已知已知tcbr1ln)ln(1120012btcbccdttcbc

8、dtbrccln1221ccber 1cr 2cr10例例3 3、已知質點的運動方程已知質點的運動方程 x=2*m*sin(t/3)，y=2*m*cos(t/3)。求其軌。求其軌道方程和曲率半徑，切向加速度和法向加速度。道方程和曲率半徑，切向加速度和法向加速度。 0dtdvamvan2292tmx3cos32tmy3sin32222294myxv解：解：2224myx質點的軌道方程為質點的軌道方程為m211例例4 4、一質點受有心力一質點受有心力 作用，列出求解其作用，列出求解其軌道的微分方程。軌道的微分方程。2rkmF解：解：222hkududmrFududuh)()(222222kmurk

9、mF例例5 5、如下圖所示，船長為如下圖所示，船長為L=2=2a，質量為，質量為M的小船，在船頭上站一質量為的小船，在船頭上站一質量為m的的人，人，如不計水的阻力。試證當人非勻速從船頭走到船尾時，船移動的距離為多少如不計水的阻力。試證當人非勻速從船頭走到船尾時，船移動的距離為多少? ?解：解：00cvt時ieiF0)(0camM)x(mMxx1010c0amM)x(mMxx11caMm2mxxxx101cc0aLx01213例例6 6、如圖所示質量為如圖所示質量為m的質點，在光滑的水平圓盤面上沿著弦的質點，在光滑的水平圓盤面上沿著弦AB滑動，圓滑動，圓盤以勻角速盤以勻角速繞鉛重軸繞鉛重軸c轉動

10、，如質點被兩個彈簧系住，彈簧的倔強系數(shù)各轉動，如質點被兩個彈簧系住，彈簧的倔強系數(shù)各為為k，質點在，質點在O點時彈簧未形變。求質點的振動周期。點時彈簧未形變。求質點的振動周期。yx21TTrm2vm2hcoscos22rxxhxxmxkxm2 02xmmkx 222mkmxmrmxk cos2解：解：14例例7 7、有一鏈條，堆放在一傾角為有一鏈條，堆放在一傾角為 的斜面底邊，的斜面底邊，今用一沿光滑斜面向上的力今用一沿光滑斜面向上的力F拉鏈條，使鏈條以拉鏈條，使鏈條以加速度加速度a沿斜面作勻加速運動，試求此力沿斜面作勻加速運動，試求此力F與鏈與鏈條在斜面上的長度條在斜面上的長度x函數(shù)關系。設

11、鏈條的質量線函數(shù)關系。設鏈條的質量線密度為密度為 。mg解解：0u根據(jù)可變質量運動微分方程可得：根據(jù)可變質量運動微分方程可得：sin)(mgFdtmvd2sinsinvmamgdtdmvdtdvmmgFaxv22)sin3(gaxF15例例8 8、已知均質圓柱、已知均質圓柱A與滑輪與滑輪B的質量均為的質量均為m1，半徑相同，圓柱，半徑相同，圓柱A向下作純滾向下作純滾動，物體動，物體C的質量為的質量為m2，斜面不光滑，斜面不光滑，A、B輪軸處摩擦不計。求圓柱輪軸處摩擦不計。求圓柱A質質心加速度及繩子對心加速度及繩子對C物的拉力。物的拉力。解：解：（1）分別取）分別取圓柱圓柱A、滑輪、滑輪B球球

12、和物體和物體C為研究對象為研究對象（2）受力分析、運動分析）受力分析、運動分析2T1T1Tfgm2gm1N2212121)(rmrTT滑輪滑輪BamgmT222物體物體CcamTfgm111sin12121rmfr 圓柱圓柱Agmmmmac21212singmmmmmmmT)2( 2sin)2(3212121211gmmmmmT221112)2sin2(vA,CvC21rraac約束條件：約束條件：純滾動純滾動、繩子剛性（不可伸長）繩子剛性（不可伸長）16例例9 9、質量為質量為M、半徑為、半徑為R的勻質圓柱放在粗糙的斜面上，斜面的傾角為的勻質圓柱放在粗糙的斜面上，斜面的傾角為 ，圓柱外繞有細

13、繩，繩子跨過一輕滑輪，并懸掛一質量為圓柱外繞有細繩，繩子跨過一輕滑輪，并懸掛一質量為m的物體。設圓柱的物體。設圓柱體作純滾動，圓柱體和滑輪間的繩子與斜面平行，求被懸掛物體的加速度體作純滾動，圓柱體和滑輪間的繩子與斜面平行，求被懸掛物體的加速度及繩子中的張力。及繩子中的張力。 解：解：RaaRaMRRfTMaMgfTmaTmgTTT12121221,21)(sinmMgmMTgmMMmaa83)sin43(83)sin2(42)(rrdtdaaAp17例例1010、半徑為半徑為r r的實心勻質圓柱質量為的實心勻質圓柱質量為m1，其中部繞以細繩，再繞過滑輪，其中部繞以細繩，再繞過滑輪B與物體與物體

14、A相連，物相連，物A的質量為的質量為m2，物，物A與水平面間的摩擦系數(shù)為與水平面間的摩擦系數(shù)為m m，試求物體，試求物體A A和圓柱中心和圓柱中心C的加速度各為多少？（滑輪與繩子的質量均忽略不計）的加速度各為多少？（滑輪與繩子的質量均忽略不計） TTgm1gm2fN解：解：21112221rmIamTgmgmfamfTcAmraaTrIAc解上述方程得：解上述方程得： gmmmmaA212133mgmmmmac21213)2(m18例例1111、（作業(yè)（作業(yè)3.23.2）長為長為2 2L的均質棒，一端抵在光滑墻上，而棒的均質棒，一端抵在光滑墻上，而棒身則如圖示斜靠在與墻相距為身則如圖示斜靠在與

15、墻相距為d（dLcos ）的光滑棱角上。用虛的光滑棱角上。用虛功原理求出棒在平衡時與水平面所成的角功原理求出棒在平衡時與水平面所成的角 。mgxyo)tansin(dLyc0)seccos(2dLyc0)seccos(2dLmgLd3cos解解：0cymg虛功原理方程虛功原理方程19例例1212、如下圖所示的機構，已知各桿長為如下圖所示的機構，已知各桿長為L，彈簧的原長，彈簧的原長L，彈性系數(shù)，彈性系數(shù) k，若忽略各處摩擦不計，各桿的重量忽略不計。試用虛功原理求平衡，若忽略各處摩擦不計，各桿的重量忽略不計。試用虛功原理求平衡時時p的大小與角度的大小與角度 之間的關系。之間的關系。 TTyxo解

16、：解：02ADypxTsincosLxLxDDcos2sin2LyLyAA)tansin2(tan)cos2(tankLLLkTp0)cos2sin2(pLTL0cos2sin2pLTL20例例1313、如下圖所示的機構，已知各桿長為如下圖所示的機構，已知各桿長為L，彈簧的原長也，彈簧的原長也L，彈性系數(shù)為，彈性系數(shù)為 k，若忽略各處摩擦不計，各桿的重量也忽略不計。試用虛功原理求平衡時，若忽略各處摩擦不計，各桿的重量也忽略不計。試用虛功原理求平衡時 p的大小與角度的大小與角度 之間的關系。之間的關系。oTTxy解：根據(jù)虛功原理得：解：根據(jù)虛功原理得： 02cbypxT)cos1 (2Lxbsi

17、n2Lxbsin2LLyccos2Lyc0)cos2sin2cos2(pLLkLsin21kLp 21例例14、用光滑鉸鏈連成一六邊形，六根桿同長用光滑鉸鏈連成一六邊形，六根桿同長l同重同重w，其中一桿用螺釘固，其中一桿用螺釘固定在天花板上，上下桿的中點用一細繩相連接，繩長定在天花板上，上下桿的中點用一細繩相連接，繩長a（a 2l），求繩中張），求繩中張力。力。解：解：06BEyTywcos,sinlylyEEcos2,sin2lylyBB0)cos2cos6(TlwlwT 3w6TTE22例例15、如圖的機構中，如圖的機構中，AB=BC=L，BE=BD=b，彈簧的倔強系數(shù)為，彈簧的倔強系數(shù)為

18、k，當，當x=a時，彈簧拉力為零，該系統(tǒng)在力時，彈簧拉力為零，該系統(tǒng)在力F作用作用下平衡，桿重不計。求平衡時下平衡，桿重不計。求平衡時x=?TTyx解解： 根據(jù)虛功原理列出方程：根據(jù)虛功原理列出方程： 0EDcxTxTxFcos)(cos)(cos2bLxbLxLxxEDc代入上面的方程可得：代入上面的方程可得：FbLT Lx2cos)cos2cos2(0bbkT)cos2(aLbbkTLbab0cos222kbFLax)22(aLbLxbkFbL230sinlg 例例16、試用牛頓方法和拉氏方法證明單擺的運動微分方程試用牛頓方法和拉氏方法證明單擺的運動微分方程其中其中 為擺線與鉛直線之間的夾

19、角，為擺線與鉛直線之間的夾角，l為擺線長度為擺線長度。sinmgml 0sinlg 解：解： （1 1）用牛頓法：）用牛頓法： （2 2）用拉氏方法：）用拉氏方法： qcos2122mglmlVTL0sinlg 0LLdtd0sin2mglml mgTl240sinrg 例例17、試用牛頓方法和拉氏方法證明質點的運動微分方程試用牛頓方法和拉氏方法證明質點的運動微分方程（2 2）用拉氏方法：）用拉氏方法： qcos2122mgrmrVTL0sinrg sinmgmr 0sinrg (1)(1)用牛頓法：用牛頓法： 解：解：mgN0LLdtd0sin2mgrmr 25例例18、設有一與彈簧相連的滑

20、塊設有一與彈簧相連的滑塊A，其質量為，其質量為m1，它可沿光滑水平面無摩擦，它可沿光滑水平面無摩擦來回滑動。彈簧的彈性系數(shù)為來回滑動。彈簧的彈性系數(shù)為k。在滑塊。在滑塊A上又連一單擺。擺的質量為上又連一單擺。擺的質量為m2，擺，擺長為長為l（桿子的質量不計）。試用拉氏方程列出該系統(tǒng)的運動微分方程（桿子的質量不計）。試用拉氏方程列出該系統(tǒng)的運動微分方程。解：解：（1）?。┤1+ +m2+ +彈簧為研究系統(tǒng)，此彈簧為研究系統(tǒng)，此系統(tǒng)除了保守力之外，其它力均不作虛功系統(tǒng)除了保守力之外，其它力均不作虛功可以用保守系拉氏方程求解?？梢杂帽Ｊ叵道戏匠糖蠼?。（2）選廣義坐標：）選廣義坐標：21,qxq取

21、彈簧原長時取彈簧原長時A所在的位置為坐標原點。所在的位置為坐標原點。（3）求）求T，V，L：222212121vmxmT方法一：方法一：cos222222l xlxv方法二：方法二：sincoscossin2222lylxxlylxxcos2222222222l xlxyxv26cos21),cos2(212122222221glmkxVl xlxmxmTlgmkxl xlmxmmVTLcos21)cos2(21)(2122222221（4 4）列出拉氏方程）列出拉氏方程0sincos00sincos)(022221gxlLLdtdkxlmlmxmmxLxLdtd （5 5）解方程得出結果。）解方程得出結果。sin1cos，00)(22221gxlkxlmlmxmm 若系統(tǒng)做微振動若系統(tǒng)做微振動27例例19、一滑輪可繞過輪心的水平軸轉動。在此輪上繞過一條不可伸長的輕一滑輪可繞過輪心的水平軸轉動。在此輪上繞