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1、平面向量經(jīng)典例題:1. 已知向量a(1,2),b(2,0),若向量ab與向量c(1,2)共線,則實(shí)數(shù)等于()A2BC1 D答案C解析ab(,2)(2,0)(2,2),ab與c共線,2(2)20,1.2. (文)已知向量a(,1),b(0,1),c(k,),若a2b與c垂直,則k()A1 BC3 D1答案C解析a2b(,1)(0,2)(,3),a2b與c垂直,(a2b)·ck30,k3.(理)已知a(1,2),b(3,1),且ab與ab互相垂直,則實(shí)數(shù)的值為()A BC. D.答案C解析ab(4,1),ab(13,2),ab與ab垂直,(ab)·(ab)4(13)1×
2、;(2)6110,.3. 設(shè)非零向量a、b、c滿足|a|b|c|,abc,則向量a、b間的夾角為()A150° B120°C60° D30°答案B解析如圖,在ABCD中,|a|b|c|,cab,ABD為正三角形,BAD60°,a,b120°,故選B.(理)向量a,b滿足|a|1,|ab|,a與b的夾角為60°,則|b|()A. B.C. D.答案A解析|ab|,|a|2|b|22a·b,|a|1,a,b60°,設(shè)|b|x,則1x2x,x>0,x.4. 若·20,則ABC必定是()A銳角三角
3、形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰直角三角形答案B解析·2·()·0,ABAC,ABC為直角三角形5. 若向量a(1,1),b(1,1),c(2,4),則用a,b表示c為()Aa3b Ba3bC3ab D3ab答案B解析設(shè)cab,則(2,4)(,),ca3b,故選B.在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若a,b,則等于()A.ab B.abC.ab D.ab答案B解析E為OD的中點(diǎn),3,DFAB,|DF|AB|,|CF|AB|CD|,a()a(ba)ab.6. 若ABC的三邊長(zhǎng)分別為AB7,BC5,CA6,則
4、·的值為()A19 B14C18 D19答案D解析據(jù)已知得cosB,故·|×|×(cosB)7×5×19.7. 若向量a(x1,2),b(4,y)相互垂直,則9x3y的最小值為()A12 B2C3 D6答案D解析a·b4(x1)2y0,2xy2,9x3y32x3y26,等號(hào)在x,y1時(shí)成立8. 若A,B,C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn),若O不在l上,存在實(shí)數(shù)x使得x2x0,實(shí)數(shù)x為()A1 B0C. D.答案A解析x2x0,x2(x1)0,由向量共線的充要條件及A、B、C共線知,1xx21,x0或1,當(dāng)x0時(shí),0,與條件矛盾,x1
5、.9. (文)已知P是邊長(zhǎng)為2的正ABC邊BC上的動(dòng)點(diǎn),則·()()A最大值為8 B最小值為2C是定值6 D與P的位置有關(guān)答案C解析以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),直線BC為x軸建立如圖坐標(biāo)系,則B(1,0),C(1,0),A(0,),(1,)(1,)(0,2),設(shè)P(x,0),1x1,則(x,),·()(x,)·(0,2)6,故選C.(理)在ABC中,D為BC邊中點(diǎn),若A120°,·1,則|的最小值是()A. B.C. D.答案D解析A120°,·1,|·|·cos120°1,|·|2,|2|
6、22|·|4,D為BC邊的中點(diǎn),(),|2(|2|22·)(|2|22)(42),|.10. 如圖,一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E、F兩點(diǎn),且交其對(duì)角線于K,其中,則的值為()A. B.C. D.答案A解析如圖,取CD的三等分點(diǎn)M、N,BC的中點(diǎn)Q,則EFDGBMNQ,易知,.11. 已知向量a(2,3),b(1,2),若ma4b與a2b共線,則m的值為()A.B2C2 D答案C解析ma4b(2m4,3m8),a2b(4,1),由條件知(2m4)·(1)(3m8)×40,m2,故選C.12. 在ABC中,C90°,且C
7、ACB3,點(diǎn)M滿足2,則·等于()A2B3C4D6答案B解析·()·()···|·|·cos45°×3×3×3.13. 在正三角形ABC中,D是BC上的點(diǎn),AB3,BD1,則·_.答案解析由條件知,|3,60°,60°,··()··3×3×cos60°×3×3×cos60°.14. 已知向量a(3,4),b(2,1),則a在b方向上的投影
8、等于_答案。解析a在b方向上的投影為.15. 已知向量a與b的夾角為,且|a|1,|b|4,若(2ab)a,則實(shí)數(shù)_.答案1解析a,b,|a|1,|b|4,a·b|a|·|b|·cosa,b1×4×cos2,(2ab)a,a·(2ab)2|a|2a·b220,1.16. 已知:|1,|,·0,點(diǎn)C在AOB內(nèi),且AOC30°,設(shè)mn(m,nR),則_.答案3解析設(shè)m,n,則,AOC30°,|·cos30°|m|m,|·sin30°|n|n,兩式相除得:,3.
9、17. (文)設(shè)i、j是平面直角坐標(biāo)系(坐標(biāo)原點(diǎn)為O)內(nèi)分別與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量,且2ij,4i3j,則OAB的面積等于_答案5解析由條件知,i21,j21,i·j0,·(2ij)·(4i3j)835,又·|·|·cos,5cos,cos,sin,SOAB|·|·sin,××5×5.(理)三角形ABC中,a,b,c分別是角A,B,C所對(duì)的邊,能得出三角形ABC一定是銳角三角形的條件是_(只寫序號(hào))sinAcosA·<0b3,c3,B30°tan
10、AtanBtanC>0.答案解析若A為銳角,則sinAcosA>1,sinAcosA,A為鈍角,·<0,·>0,B為銳角,由B為銳角得不出ABC為銳角三角形;由正弦定理得,sinC,C60°或120°,c·sinB,3<<3,ABC有兩解,故都不能得出ABC為銳角三角形由tanAtanBtanCtan(AB)(1tanAtanB)tanCtanC(1tanAtanB)tanCtanAtanBtanC>0,及A、B、C(0,),ABC知A、B、C均為銳角,ABC為銳角三角形18. 已知平面向量a(1,x)
11、,b(2x3,x)(1)若ab,求x的值(2)若ab,求|ab|.解析(1)若ab,則a·b(1,x)·(2x3,x)1×(2x3)x(x)0,整理得x22x30,解得x1或x3.(2)若ab,則有1×(x)x(2x3)0,則x(2x4)0,解得x0或x2,當(dāng)x0時(shí),a(1,0),b(3,0),|ab|(1,0)(3,0)|(2,0)|2,當(dāng)x2時(shí),a(1,2),b(1,2),|ab|(1,2)(1,2)|(2,4)|2.19. 已知向量a(sinx,1),b(cosx,),函數(shù)f(x)(ab)·a2.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期T;(2)
12、將函數(shù)f(x)的圖象向左平移上個(gè)單位后,再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)的解析式及其對(duì)稱中心坐標(biāo)解析(1)f(x)(ab)·a2a2a·b2sin2x1sinxcosx2sin2xsin2xcos2xsin(2x),周期T.(2)向左平移個(gè)單位得,ysin2(x)sin(2x),橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的3倍得,g(x)sin(x),令xk得對(duì)稱中心為(,0),kZ.20. (文)三角形的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a、b、c,設(shè)向量m(ca,ba),n(ab,c),若mn.(1)求角B的大小;(2)若sinAsinC的取值
13、范圍解析(1)由mn知,即得b2a2c2ac,據(jù)余弦定理知cosB,得B.(2)sinAsinCsinAsin(AB)sinAsin(A)sinAsinAcosAsinAcosAsin(A),B,AC,A(0,),A(,),sin(A)(,1,sinAsinC的取值范圍為(,(理)在鈍角三角形ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,m(2bc,cosC),n(a,cosA),且mn.(1)求角A的大小;(2)求函數(shù)y2sin2Bcos(2B)的值域解析(1)由mn得(2bc)cosAacosC0,由正弦定理得2sinBcosAsinCcosAsinAcosC0,sin(AC)sinB,2
14、sinBcosAsinB0,B、A(0,),sinB0,A.(2)y1cos2Bcos2Bsin2B1cos2Bsin2Bsin(2B)1,當(dāng)角B為鈍角時(shí),角C為銳角,則<B<,<2B<,sin(2B)(,),y(,)當(dāng)角B為銳角時(shí),角C為鈍角,則0<B<,<2B<,sin(2B)(,),y(,),綜上,所求函數(shù)的值域?yàn)?,)21. 設(shè)函數(shù)f(x)a·b,其中向量a(2cosx,1),b(cosx,sin2x),xR.(1)若f(x)1且x,求x;(2)若函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m,n)(|m|<)平移后得到函數(shù)yf(x
15、)的圖象,求實(shí)數(shù)m、n的值解析(1)依題設(shè),f(x)2cos2xsin2x12sin(2x)由12sin(2x)1,得sin(2x),x,2x,2x,即x.(2)函數(shù)y2sin2x的圖象按向量c(m,n)平移后得到函數(shù)y2sin2(xm)n的圖象,即函數(shù)yf(x)的圖象由(1)得f(x)2sin2(x)1.|m|<,m,n1.22. 已知向量(2cosx1,cos2xsinx1),(cosx,1),f(x)·.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)當(dāng)x0,時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)的x值解析(1)(2cosx1,cos2xsinx1),(cosx,1),f(x)
16、·(2cosx1)cosx(cos2xsinx1)2cos2xcosxcos2xsinx1cosxsinxsin(x),函數(shù)f(x)最小正周期T2.(2)x0,x,當(dāng)x,即x時(shí),f(x)sin(x)取到最大值.23. ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,向量m(1,1),n(cosBcosC,sinBsinC),且mn.(1)求A的大??;(2)現(xiàn)在給出下列三個(gè)條件:a1;2c(1)b0;B45°,試從中選擇兩個(gè)條件以確定ABC,求出所確定的ABC的面積(注:只需要選擇一種方案答題,如果用多種方案答題,則按第一方案給分)解析(1)因?yàn)閙n,所以cosBcosC
17、sinBsinC0,即cosBcosCsinBsinC,所以cos(BC),因?yàn)锳BC,所以cos(BC)cosA,所以cosA,A30°.(2)方案一:選擇,可確定ABC,因?yàn)锳30°,a1,2c(1)b0,由余弦定理得,12b2(b)22b·b·解得b,所以c,所以SABCbcsinA···,方案二:選擇,可確定ABC,因?yàn)锳30°,a1,B45°,C105°,又sin105°sin(45°60°)sin45°cos60°cos45°
18、;sin60°,由正弦定理c,所以SABCacsinB·1··.(注意:選擇不能確定三角形)(理)如圖,O方程為x2y24,點(diǎn)P在圓上,點(diǎn)D在x軸上,點(diǎn)M在DP延長(zhǎng)線上,O交y軸于點(diǎn)N,且.(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)設(shè)F1(0,)、F2(0,),若過F1的直線交(1)中曲線C于A、B兩點(diǎn),求·的取值范圍解析(1)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),代入xy4得,1.(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),顯然·4,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),不妨設(shè)AB的方程為:ykx,由得,(94k2)x28kx160,不妨設(shè)A1(x1,y1),B(x2,y2),則,·(x1,y1)·(x2,y2)(x1,kx12)·(x2,kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)2020204,k20,94k29,0<,4&l
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