數(shù)分與高代相互滲透淺析

1、數(shù)分與高代相互滲透淺析姓名 史瑞東 指導(dǎo)教師 馬金亭（太原師范學(xué)院呂梁辦學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)系0301班 山西.離石 033000）摘要 數(shù)分高代是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)兩門獨(dú)立的基礎(chǔ)課，在大一初接觸這兩門課時(shí)，總感覺這兩門課程的思想方法有很大區(qū)別，可隨著專業(yè)課程的深入，特別是到了泛函、拓樸、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、概率論等課程的展開，數(shù)分與高代中所體現(xiàn)的思想方法的交叉滲透越來越多。本文就從一些很基礎(chǔ)的方面以及一些常見的例題入手，淺析一下數(shù)分與高代之間的相互交叉。關(guān)鍵詞 正交矩陣 正定矩陣 正交補(bǔ) 高階無窮小 廣義積分 向量函數(shù) 黑賽矩陣一、 高代在數(shù)分中的應(yīng)用 隨著科技的發(fā)展，代數(shù)學(xué)的內(nèi)容都在不斷地充實(shí)和更新。在大學(xué)里開設(shè)的，

2、高等代 數(shù)課大致涉及了這么三塊：多項(xiàng)式、線性代數(shù)、樣環(huán)域理論、高等代數(shù)在數(shù)分里的應(yīng)用主要體現(xiàn)了以下兩點(diǎn)： a 在某些定義的給出或定理的證明上采用了行列式矩陣的書寫形式，以尋求簡(jiǎn)明。 這一點(diǎn)主要體現(xiàn)在多元函數(shù)微分學(xué)和隱函數(shù)組定理及應(yīng)用這兩章中。比如象多元函數(shù) 極值問題；隱函數(shù)組定理、反函數(shù)組定理的給出和證明；空間曲線切線與法平面的表達(dá) 式；條件極值等問題。這里只對(duì)多元函數(shù)極值問題中的二元函數(shù)極值充分條件定理的表述及證明列如下： 為了給出二元函數(shù)f在點(diǎn)取得極值的充分條件，我們假定具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并記 它稱為在點(diǎn)的黑賽（）矩陣 定理1（極值充分條件）設(shè)二元函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

3、是的穩(wěn)定點(diǎn)。則當(dāng)是正定矩陣時(shí)，在取得極小值；當(dāng)是負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值；當(dāng)是不定矩陣時(shí)，在不取極值 證由在的二階泰勒公式，并注意到條件，有由于正定，所以對(duì)任何，恒使二次型因此存在一個(gè)與無關(guān)的正數(shù)，使得 從而對(duì)于充分小的，只要就有即在點(diǎn)取得極小值同理可證為負(fù)定矩陣時(shí)，在取得極大值最后，當(dāng)不定時(shí)，在不取極值這是因?yàn)樘热羧O值（例如取極大值），則沿任何過的直線，在亦取極大值由一元函數(shù)取極值的充分條件是不可能的（否則在將取極小值），故而 這表明必須是負(fù)半定的。同理，倘若取極小值，則將導(dǎo)致必須是正半定的。也就是說，當(dāng)在取極值時(shí)，必須時(shí)正半定或負(fù)半定矩陣，但這與假設(shè)相矛盾 根據(jù)正半定或負(fù)半定對(duì)稱陣所屬主

4、子行列式的符號(hào)規(guī)則，定理1又可寫成如下比較實(shí)用的形式：若函數(shù)如定理1所設(shè)。是的穩(wěn)定點(diǎn)，則有：()當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極小值；()當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)取得極大值；()當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)不能取得極值；()當(dāng)時(shí)，不能肯定在點(diǎn)是否取得極值b數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)在研究領(lǐng)域上的交叉這一點(diǎn)，主要體現(xiàn)在向量函數(shù)微分這一章，向量本來是線性代數(shù)里的一個(gè)概念，雖然向量函數(shù)微分學(xué)轉(zhuǎn)化成了一個(gè)數(shù)學(xué)分析問題，但要解決這一問題高等代數(shù)里的n維歐氏空間，向量一向量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以及行列式，矩陣的手段是不可缺的。為了展示數(shù)分一高代在研究領(lǐng)域上的一些交叉，我們通過參考有關(guān)資料僅對(duì)向量在某些點(diǎn)可微和可微函數(shù)（向量函數(shù)）的定義給出表述如下： 定義：設(shè)為開集

5、，若存在某個(gè)線性變換，使得時(shí)有 或則稱向量函數(shù)f在可微，若與上述線性變換相聯(lián)系的矩陣為，則稱為f在點(diǎn)的微分，并稱A為f 在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，因而是的一個(gè)線性逼近，只是當(dāng)時(shí)，它不再是一個(gè)實(shí)數(shù)，則稱f是D上的可微函數(shù)，下面來導(dǎo)出矩陣A的元素與f的坐標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的聯(lián)系，為此設(shè)，其中，此時(shí)，可微，由實(shí)值函數(shù)可微性的結(jié)論知道于是當(dāng)f在可微時(shí)，f在的導(dǎo)數(shù)矩陣為 二、數(shù)分在高代中的應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)里我們已初步接觸了極限，微積分的思想，大學(xué)數(shù)學(xué)分析正是對(duì)，極限、微積分這一思想進(jìn)一步加深與推廣，微分在高代里應(yīng)用，實(shí)質(zhì)上也就是微積分思想在高等代數(shù)里的滲透，具體地講這種滲透也可以分為以下兩種類型： a 在研究代數(shù)問題時(shí)，

6、采用微積分運(yùn)算尋求簡(jiǎn)捷。這種交叉主要體現(xiàn)在多項(xiàng)式這一章，如下面的定理（摘錄部分） 定理2不可約多項(xiàng)式是的k重因式那么它是微商的k-1重因式（證明略） 推論：不可約多項(xiàng)式是的重因式的充分條件為是與的公因式。 定理3 如果，則沒有重根（證明略） 等等這一系列定理的表述正式有了微分形式的參與才顯得格外的簡(jiǎn)明。 b 數(shù)分在高代中的應(yīng)用還體現(xiàn)在研究領(lǐng)域上的一些滲透，這種交叉主要體現(xiàn)在線性空間及線性變換知識(shí)塊上。當(dāng)把微積分運(yùn)算當(dāng)作一種變換的時(shí)候，就可以形成空間到空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而這正是數(shù)分與高代都要研究的領(lǐng)域之間的交叉。如下面的例子： 例1、在線性空間或者中求微商是一個(gè)線性變換（證明略） 例2、定義在閉區(qū)

7、間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實(shí)數(shù)域上一線性空間，以為代表這個(gè)空間中變換是一線性變換（證明略） 這兩種線性變換在某組基下均可寫成矩陣的形式，并且象這樣的變換例子是很多的。 從以上第一點(diǎn)和第二點(diǎn)可以看出數(shù)學(xué)中有些問題本身就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析與高等代數(shù)的聯(lián)系，所以在一些高數(shù)題的解法上自然免不了數(shù)分與高代的交叉。三、數(shù)分與高代問題與解法的滲透：在這一點(diǎn)上我們可以舉出大量的題例：例1：設(shè)A是n階方陣，且 分析：本題是典型的數(shù)分與高代相結(jié)合的問題，以行列式形式給出多項(xiàng)式，求其在x=0時(shí)的導(dǎo)數(shù)。解：是關(guān)于x的次數(shù)不大于n的多項(xiàng)式，設(shè)，故，易知b是行列式展開式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)和。對(duì)于這個(gè)n階行列式中含x的一次冪的項(xiàng)只

8、可能是主對(duì)角線上各元素的乘積這一項(xiàng)，即含于中，顯然： 例2：已知，1是二階單位陣，求 解： 令其中 則 若 因?yàn)?同樣。 于是，所以 例3：求特征值為的所有二階實(shí)對(duì)稱陣中元素的最大值。 解：對(duì)于二階實(shí)對(duì)稱陣A，存在二交陣Y，使得，其中Y一定的是下面形式由=計(jì)算得： 例4：設(shè)二次型，其中為n階實(shí)對(duì)稱陣，證明：（1） 若，則|A|>0（2） 若A為正定陣，則也為正定陣 分析：數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)典型無窮積分， 利用到本題中：證明：（1）已知?jiǎng)t 對(duì)于一切，被積函數(shù)都大于0，所以積分值大于0，即對(duì)于任何不為0的x都使則為正定的二次型，A為正定陣，所以|A|>0(2)設(shè)令則上面廣義積分被積函數(shù)為

9、：對(duì)于任意不為0的X，Y也不為0。而A為正定矩陣，故二次型正定，綜合上述，任意都有,則被積函數(shù)意總大于0。積分值一定為正值，所以為正定二次型，B為正定陣。例5求中定向量列平面的最短距離。解：設(shè)則由于由的一維子空間，且，其中K為常數(shù)。由 又知為到平面的最短距離。由以上這些例子可以看出，純代數(shù)問題處理時(shí)用到數(shù)分知識(shí)，處理起來很簡(jiǎn)潔，同樣，數(shù)學(xué)分析中有些問題出可以用典型的代數(shù)方法處理，當(dāng)然有些題型的題設(shè)就是數(shù)分與高代的交義。參考文獻(xiàn)1數(shù)學(xué)分析（第二版） 華東師大數(shù)學(xué)系編2高等代數(shù) 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)組編3數(shù)學(xué)分析的方法及例題評(píng) 徐利治 王興華 高等教育出版社4數(shù)學(xué)分析中的問題與定理

10、張奠宙 宋國棟 譯 上海科技出版社Mutual infiltrate into higher algebra and mathematical analysis AnalysisName: ShiRuidong Instructor: MaJinting（Class0301 Department Mathmatics Lvliang High College Shanxi·Lishi 033000）Abstract University mathematics was the high number of hours on the basis of two independent c

11、lasses in the early contacts freshman, I always felt there's a big difference between these two courses of thinking, along with the in-depth courses, especially in the functional, topology, mathematical statistics, probability theory and other courses start with a few minutes of thinking, as reflected in the high generation has infiltrated the irreplaceable. This paper is based on some common examples, as well as some start, a