二次函數(shù)與面積

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 二次函數(shù)與面積專題仔細(xì)觀察下列常見(jiàn)圖形，說(shuō)出如何求出各圖中陰影部分圖形的面積. 在以上問(wèn)題的分析中研究思路為：（1）分析圖形的成因（2）識(shí)別圖形的形狀（3）找出圖形的計(jì)算方法注意：（1）取三角形的底邊時(shí)一般以坐標(biāo)軸上線段或以與軸平行的線段為底邊.（2）三邊均不在坐標(biāo)軸上的三角形及不規(guī)則多邊形需把圖形分解.（即采用割或補(bǔ)的方法把它分解成易于求出面積的圖形）（12分）（2013玉林）如圖，拋物線y=（x1）2+c與x軸交于A，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（1，0）（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；（2）判斷CDB的形狀并說(shuō)明理由；

2、（3）求四邊形ABCD的面積。解：（1）點(diǎn)A（1，0）在拋物線y=（x1）2+c上，0=（11）2+c，得c=4，拋物線解析式為：y=（x1）2+4，令x=0，得y=3，C（0，3）；令y=0，得x=1或x=3，B（3，0）（2）CDB為直角三角形理由如下：由拋物線解析式，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作DMx軸于點(diǎn)M，則OM=1，DM=4，BM=OBOM=2過(guò)點(diǎn)C作CNDM于點(diǎn)N，則CN=1，DN=DMMN=DMOC=1在RtOBC中，由勾股定理得：BC=；在RtCND中，由勾股定理得：CD=；在RtBMD中，由勾股定理得：BD=BC2+CD2=BD2，CDB為直角三角形（勾

3、股定理的逆定理）(3) 略(2009年牡丹江市)如圖二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，且交軸于點(diǎn)（1）試確定、的值；（2）過(guò)點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)點(diǎn)為此拋物線的頂點(diǎn)，試確定的形狀0xyABC（2013牡丹江）如圖，拋物線y=x2+bx+c過(guò)點(diǎn)A（4，3），與y軸交于點(diǎn)B，對(duì)稱軸是x=3，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求拋物線的解析式（2）若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD=8，求BCD的面積注：拋物線y=ax2+bx+c（a0）的對(duì)稱軸是x=22解：（1）把點(diǎn)A（4，3）代入y=x2+bx+c得：164b+c=3，c4b=19，對(duì)稱軸是x=3，=3，b=6，c=5，拋物線的解析式是

4、y=x2+6x+5；（2）CDx軸，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x=3對(duì)稱，點(diǎn)C在對(duì)稱軸左側(cè)，且CD=8，點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為7，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為（7）2+6×（7）+5=12，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，5），BCD中CD邊上的高為125=7，BCD的面積=×8×7=2823、（2009仙桃）如圖，已知拋物線yx2bxc經(jīng)過(guò)矩形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B，AB平行于x軸，對(duì)角線BD與拋物線交于點(diǎn)P，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，2)，AB4(1)求拋物線的解析式；(2)若SAPO，求矩形ABCD的面積（2013哈爾濱，24，6分）某水渠的橫截面呈拋物線形，水面的寬為AB(單位：米)，現(xiàn)以AB所在直線為x軸，

5、以拋物線的對(duì)稱軸為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為O，已知AB=8米，設(shè)拋物線解析式為y=ax2-4(1)求a的值；(2)點(diǎn)C(-1,m)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD、BC、BD，求BCD的面積【答案】解：(1)AB=8，由拋物線的對(duì)稱性可知OB=4，B(4,0)，0=16a-4，a=(2)過(guò)點(diǎn)C作CEAB于E，過(guò)點(diǎn)D作DFAB于F，a=，y=x2-4.令x=-1，m=×(-1)2-4=-,C(-1, -).點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為D，D(1，)，CE=DF=，SBCD=SBOD+SBOC=OB·DF+OB·CE=×4

6、×+×4×=15BCD的面積為15平方米24（2013佛山）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）把拋物線向上平移，使得頂點(diǎn)落在x軸上，直接寫(xiě)出兩條拋物線、對(duì)稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖中陰影部分）考點(diǎn)：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換分析：（1）把點(diǎn)A、B、C代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把拋物線解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸即可；（3）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)求出向上平移

7、的距離，再根據(jù)陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進(jìn)行計(jì)算即可得解解答：解：（1）拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（3，0），C（4，3），解得，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），對(duì)稱軸為直線x=2；（3）如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），PP=1，陰影部分的面積等于平行四邊形AAPP的面積，平行四邊形AAPP的面積=1×2=2，陰影部分的面積=2點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為平行四邊形的面積是解題的關(guān)鍵如圖7，把拋物線y=x2平移得到拋物線m，拋物線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-6，0）和原點(diǎn)O（0，0），它的頂點(diǎn)為P，它的對(duì)稱軸與拋物線y=x2交于點(diǎn)Q，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)圖7