《導(dǎo)數(shù)的概念》

1、導(dǎo)數(shù)的概念教案A版）數(shù)學(xué)選修2 -2第本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容選自人教社普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書（ 一章第一節(jié)的變化率與導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的概念是第 2課時.教學(xué)內(nèi)容分析1 導(dǎo)數(shù)的地位、作用導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一，它是一種特殊的極限， 反映了函數(shù)變化的快慢程度.導(dǎo)數(shù)是求函數(shù)的單調(diào)性、極值、曲線的切線以及一些優(yōu)化問題的重要工具，同時對研究幾何、 不等式起著重要作用導(dǎo)數(shù)概念是我們今后學(xué)習(xí)微積分的基礎(chǔ)同時，導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)，經(jīng)濟 學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，是開展科學(xué)研究必不可少的工具2 本課內(nèi)容剖析教材安排導(dǎo)數(shù)內(nèi)容時，學(xué)生是沒有學(xué)習(xí)極限概念的教材這樣處理的原因，一方面是 因為極限概念高度抽象，不適合在沒有任何極限認(rèn)

2、識的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí).所以，讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)這個特殊的極限去體會極限的思想，這為今后學(xué)習(xí)極限提供了認(rèn)識基礎(chǔ).另一方面，函數(shù)是高中的重要數(shù)學(xué)概念，而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，因此，安排先學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)方便學(xué)生學(xué)習(xí)和研究函數(shù).基于學(xué)生已經(jīng)在高一年級的物理課程中學(xué)習(xí)了瞬時速度，因此，先通過求物體在某一 時刻的平均速度的極限去得出瞬時速度，再由此抽象出函數(shù)在某點的平均變化率的極限就是瞬時變化率的的模型，并將瞬時變化率定義為導(dǎo)數(shù)，這是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的.導(dǎo)數(shù)概念形成過程由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程的二種方式進(jìn)行導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)時還應(yīng)該看到，通過若干個特殊時刻的瞬時速度過渡到任意時刻的瞬時速度；從物體運動的平均速

3、度的極限是瞬時速度過渡到函數(shù)的平均變化率的極限是瞬時變 化率，我們可以向?qū)W生滲透從特殊到一般的研究問題基本思想.教學(xué)目的1 使學(xué)生認(rèn)識到：當(dāng)時間間隔越來越小時，運動物體在某一時刻附近的平均速度趨向 于一個常數(shù)，并且這個常數(shù)就是物體在這一時刻的瞬時速度；2使學(xué)生通過運動物體瞬時速度的探求，體會函數(shù)在某點附近的平均變化率的極限就 是函數(shù)在該點的瞬時變化率，并由此建構(gòu)導(dǎo)數(shù)的概念；3 掌握利用求函數(shù)在某點的平均變化率的極限實現(xiàn)求導(dǎo)數(shù)的基本步驟；4 通過導(dǎo)數(shù)概念的構(gòu)建，使學(xué)生體會極限思想，為將來學(xué)習(xí)極限概念積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗；5 通過導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)教程，使學(xué)生體會到從特殊到一般的過程是發(fā)現(xiàn)事物變化規(guī)律的重要過

4、程.教學(xué)重點通過運動物體在某一時刻的瞬時速度的探求，抽象概括出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.教學(xué)難點使學(xué)生體會運動物體在某一時刻的平均速度的極限意義，由此得出函數(shù)在某點平均變化率的極限就是函數(shù)在該點的瞬時變化率，并由此得出導(dǎo)數(shù)的概念.教學(xué)準(zhǔn)備1.查找實際測速中測量瞬時速度的方法；2 .為學(xué)生每人準(zhǔn)備一臺 Ti - nspire CAS圖形計算器，并對學(xué)生進(jìn)行技術(shù)培訓(xùn)；3制作數(shù)學(xué)實驗記錄單及上課課件.教學(xué)流程框圖教學(xué)流程設(shè)計充分尊重學(xué)生認(rèn)知事物的基本規(guī)律，使學(xué)生在操作感知的基礎(chǔ)上形成導(dǎo) 數(shù)概念的表象，再通過表象抽象出導(dǎo)數(shù)概念，并通過運用導(dǎo)數(shù)概念解決實際問題使學(xué)生進(jìn)一步體會導(dǎo)數(shù)的本質(zhì).教學(xué)的主要過程設(shè)計如下：教

5、學(xué)過程設(shè)計預(yù)計時間(分)教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動5分鐘(1)提問：請說出函數(shù)從 xi到X2的平均變化率公式.回答問題后理解:設(shè)計意圖： 讓學(xué)生理解 平均速度與 瞬時速度的 區(qū)別與聯(lián) 系，感受到 平均速度在 時間間隔很 小時可以近 似地表示瞬 時速度.(2) 提問：如果用X1與增量 x 表示平均變化率的公式是怎樣的？(3) 高臺跳水的例子中，在時間65段0,里的平均速度是零，而實際49上運動員并不是靜止的這說明平均 速度不能準(zhǔn)確反映他在這段時間里運 動狀態(tài).(4) 提問：用一個什么樣的量來 反映物體在某一時刻的運動狀態(tài)？(5) 提問：我們?nèi)绾蔚玫轿矬w在 某一時刻的瞬時速度？例如，要求物 體在2S

6、的瞬時速度，應(yīng)該怎么解決？(6) 我們一起來看物理中測即時 速度(瞬時速度)的視頻：(7) 提問：這里所測得的真的是 瞬時速度嗎？(8) 提問：怎樣使平均速度更好 的表示瞬時速度？(9) 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上講述： 真正的瞬時速度根本無法通過儀器測定，我們將平均速度作為瞬時速 度的近似值；為了使平均速度更好的表示瞬時 速度，應(yīng)該讓時間間隔盡量小.(1) f(X2)-f(xj .X -X1(2) f (X1：x) f (xjZX(3 )學(xué)生在教師的講 述中思考用什么量來 反映運動員的運動狀 態(tài).(4 )讓學(xué)生體會并明 確瞬時速度的作用.(5)學(xué)生思考.(6 )學(xué)生觀看視頻并 思考.(7)期望或引導(dǎo)

7、答出 “是平均速度”.(8 )學(xué)生回答，得出“時間間隔越小越 好！”(9 )學(xué)生體會教師所 講結(jié)論.教學(xué)評價(1)復(fù)習(xí)過程應(yīng) 使學(xué)生明確函數(shù) 的平均變化率表 示.(2)應(yīng)使學(xué)生明 確平均速度與瞬 時速度的關(guān)系， 為下一階段實驗 活動作鋪墊.2 體會模型15分鐘設(shè)計意 圖：讓學(xué) 生在信 息技術(shù) 平臺上， 通過定 量分析 感受平 均速度 在時間 間隔越 來越小 時向瞬 時速度 逼近的 過程.(1)向?qū)W生提出數(shù)學(xué)實驗任務(wù)： 已知跳水運動員在跳水過程中距離水面的高度與時間的函數(shù) h(t) = 4.9t2+6.5t+10，請你用計 算器完成下列表格中to=2秒附近的平均速度的計 算并填充好表格，觀察平均

8、速度的變化趨勢.x 0 時，在2 , 2+xXV 0 時，在2+x, 2內(nèi)，h(2 +-x) h(2)x內(nèi)，V-hh(2+x)-XXvxv0.10.10.010.010.0010.0010.00010.00010.000010.000010.0000010.000001數(shù)學(xué)實驗記錄單(1)你認(rèn)為運動員在to=2秒處的瞬時速度為m/s.(2)提問：x、g(x)的含義各是什么?卜*耒保存歇E3-4,?+&.s-r+ic克盤雎+-祇)_*)X(3) 提問：觀察你自己的實驗記錄單，你能 發(fā)現(xiàn)平均速度有什么變化趨勢嗎？先展示一個同學(xué)的實驗結(jié)果，并讓他說說他 的發(fā)現(xiàn)，再將計算器的結(jié)果投影，引導(dǎo)同學(xué)們一 起

9、觀察.(4) 將學(xué)生分四個組，讓他們分別完成to=1.6、1.7、1.8、1.9時的實驗記錄單(2)的 填寫，說出他們觀察的結(jié)果，并將4個結(jié)果寫列在黑板上.t0=1.6V t -9.18t0=1.7V t -10.16t0=1.8V t -11.14t0=1.9V t -12.12t0=2V t-13.1在學(xué)生實驗與觀察的基礎(chǔ)上指出：當(dāng)t趨近于0時，平均速度都趨近于一個確 定的常數(shù)，這個常數(shù)就是瞬時速(1)學(xué)生在 TI nspireCAS上完成以下操作：111 | *耒慄存如El-4.9 X2+&.S /+1C立成(2)學(xué)生操作得出如下 結(jié)果，完成數(shù)學(xué)實驗記 錄單(1 )的填寫：iKL.ffi

10、Q-13.500000000 $-13.1490000000s(O.OOl)-13.1000000E-4)-13 1004900000S(1 E-S)-13.100040i：i0-13 10PQQ50PQQ E曲il12610KOW-13.O5LK0：O-D.MSmM-倔和飛胡13.aw?s：o Ii3(3)讓學(xué)生講他所發(fā)現(xiàn) 的規(guī)律.(4)學(xué)生分4個組再次 實驗，分別完成本組的 數(shù)學(xué)實驗記錄單(2)的 填寫，并觀察平均速度 的變化趨勢，回答教師 的提問.(1 )應(yīng) 使學(xué)生 在技術(shù) 平臺上 通過多 次實驗 感受到 平均速 度在At t 0時 趨近于 一個常 數(shù)，并理 解這個 常數(shù)的 意義.(2

11、)應(yīng) 使學(xué)生 從感性 上獲得 求瞬時 速度的 方法.103 提煉模型設(shè)計意圖：使 學(xué)生認(rèn)識到 平均速度當(dāng) 時間間隔趨 向于零時的 極限就是瞬 時速度，為給 出導(dǎo)數(shù)概念 提煉出一個 具體的極限 模型.：t（1）學(xué)生思考，也可以討應(yīng)使學(xué)論.生通過（2）學(xué)生化簡動手計to=2處對應(yīng)的算，得平均速度的表到平均達(dá)式，觀察當(dāng)速度在 u O時平均At t O速度表達(dá)式的時趨近變化趨勢.于一個（3）學(xué)生化簡常數(shù)，to=1.6處對應(yīng)并且這的平均速度的個常數(shù)表達(dá)式，觀察就是瞬當(dāng)厶tTO時平時速均速度表達(dá)式度使的變化趨勢.學(xué)生理解極限（3）學(xué)生化簡符號表任意時刻to處示的意對應(yīng)的平均速 度的表達(dá)式， 觀察當(dāng) j O

12、 時平均速度表 達(dá)式的變化趨 勢.（4）學(xué)生根據(jù) 教師的講解理 解平均速度的 極限的意義.義.（1）提問：你認(rèn)為通過實驗所得結(jié)果（常數(shù)）就 是瞬時速度嗎？這個數(shù)據(jù)到底是精確值還是近似值？（2 ）讓學(xué)生動筆化簡to=2對應(yīng)的平均速度的表達(dá)式.（化簡結(jié)果為-4.9強一13.1）（3） 引導(dǎo)學(xué)生從化簡的表達(dá)式中發(fā)現(xiàn)當(dāng)t）0時， 一49 ：t 13.1； 13.1 （4）讓學(xué)生動手化簡 to=1.6對應(yīng)的平均速度的表 達(dá)式.（化簡結(jié)果為-4.9.譏-9.18）啟發(fā)學(xué)生歸納出結(jié)論： t 0時，平均速度所趨近 的這個常數(shù)是可以得到的， 它不是近似值，是一個精確 值，它與變量 t無關(guān)，只與時刻to有關(guān).（5

13、） 提問：我們得到了t o=1.6、1.7、1.8、1.9 時的瞬時速度，但這還不足以代表所有時刻的瞬時速度，能不能用同樣的辦法，得到to時的瞬時速度？啟發(fā)學(xué)生化簡平均速度的表達(dá)式，并與學(xué)生一起 總結(jié)出：f _ h（t。氏）-h（to）.廠.:t二 一9.&。一4.9 t 6.5-9.8to 6.5（ 4 、O）.（6） 教師講解：用Hmh th to表示v所 趨近的常數(shù)，即 lim h to J to = _9.8to 6.5 今 后把這個常數(shù)叫做在 t = to處，當(dāng)氏趨近于O時，平均 速度v的極限比如，13.1是在t = 2處，當(dāng) t趨近 于O時h 2 h 2的極限.5應(yīng)用概念設(shè)計意圖

14、學(xué)生進(jìn) 理解導(dǎo)數(shù)概 念，體會導(dǎo)數(shù) 的應(yīng)用價值， 氯形成求導(dǎo)數(shù) 勺步驟. 設(shè)計意 圖：完 成從運 動物體 的瞬時 速度到 函數(shù)瞬 時變化 率的過 渡，形 成導(dǎo)數(shù) 的概念 并給出 定義.化率道: 說， 系？(1 )提問：你能說說求函數(shù) y=f(x)在x= xo處勺導(dǎo)數(shù)的步驟嗎?：教師在學(xué)生說的基礎(chǔ)上要總結(jié)出步驟.華)講劇1： i瞬時速度將原油精練為汽油、 柴油、塑膠等各種不冋 如果第 X( h)(1)學(xué)生思考 并交流求函 在o處的 數(shù)的步驟.勺導(dǎo)產(chǎn)品需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱.J& O 1解時鋰原油的溫度銚率C)為:禹X=x+f5o化，師(2 )在教師講 解完后完成教-J 提習(xí).(1生是否清楚 求導(dǎo)

15、數(shù)的步 驟.(2 生能)檢查學(xué))檢查學(xué) 彳否準(zhǔn)確幺xw 8).計算第2 ( h)和第6 (h)時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義.(2)針對上述圖示，教師在啟發(fā)后提問：通過前面的小時旳瞬們知道平均速度就是說數(shù)在第2(t)的平均變 小時速度就是油大約以3勺瞬時變化度下降我們 平均速度在 t o.時的極限就是瞬時速度.那么，你能 一般情況下)提出數(shù)勺平均變化率與瞬時原油溫率是一個什么關(guān) 變化率，表述你所得結(jié)果的意義.求出回答1已經(jīng)知否說3)的意義(3)在學(xué)生理解了函數(shù)的平均變化率與瞬時變化率的后提問：函數(shù)f(x)在X=Xo處的瞬時變化率怎樣表示? 教師介紹如下的的表示方法：函數(shù)f(x)在x

16、= x0處的瞬時變化率可表示為.也f.f (Xo +Ax) - f (Xo)limlim x ：XX o關(guān)系(4)教師給出導(dǎo)數(shù)的定義:函數(shù)f(x)在X=X0處的瞬時變化率.x_QX.X-0 .X稱為y = f(X)在X = xo處的導(dǎo)數(shù)，記作 喉)或yfT?即f(X)f 區(qū))pmf(x)X)-f(Xo)地求出函數(shù) 在某點的導(dǎo) 數(shù).(3 生能在結(jié) 教師導(dǎo)數(shù) 發(fā)變化 考義！ 的平 變化 與瞬思、 數(shù) 均 率時變化 率之間 的關(guān)系.(2)回答教師的提問.(3)理 解函 導(dǎo)數(shù) 概念 導(dǎo)數(shù)數(shù) 的 與 的表示方 法.)應(yīng)使學(xué) 彳利用計 果解釋 生從“平 率均遮度 的極限 是瞬時 速度”這 個具體 的模型 中抽象 出導(dǎo)數(shù) 的概念， 并能理 解導(dǎo)數(shù) 是一個 極限，明 確導(dǎo)數(shù) 的表示.56 小結(jié)作業(yè) 設(shè)計意圖：讓 學(xué)生通過總 結(jié)，進(jìn)一步體 會導(dǎo)數(shù)的意 義及極限的 思想，訓(xùn)練學(xué) 生的概括能 力.通過布置 作業(yè)，鞏固所 學(xué)內(nèi)容.（1）讓學(xué)生小結(jié)并交流.（2）教師總結(jié)：本節(jié)課學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的概念，在這個過程中我們看到：數(shù)學(xué)使不可能的事情變成現(xiàn)實；導(dǎo)數(shù)的概念表明：當(dāng)自變量的增量趨向于零 時，函數(shù)在某點的平均變化率