BS模型在資產評估中的應用

1、B-S模型在資產評估中的應用主講老師  趙強一、Black-Scholes模型介紹（一）Black-Scholes模型介紹Black-Scholes模型是Fisher Black和Myron Scholes首先提出了一種估算期權價值的方法：Black-Scholes模型（即：B-S模型）。除此之外，期權價值還可以采用以下方法估算：（1）二項式定價模型方法；（2）風險中性定價方法。期權定價存在多種方法中，B-S模型最為常用。（二）B-S模型的適用前提B-S模型是建立在以下假設基礎上的：（1）股票價格是一個隨機變量服從對數(shù)正態(tài)分布；（2）在期權有效期內，無風險利率是恒定的；（3

2、）市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割；（4）該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施；（5）不存在無風險套利機會；（6）證券交易是持續(xù)的；（7）投資者能夠以無風險利率借貸。設：為股票每年投資回報率期望值；為股票價格的年波動率。在t時刻股票價格為S，則在tdt時刻股票的價格應該為SS，如果用微分方程描述就是：上述推導過程說明，股票價格與時間之間的關系服從指數(shù)函數(shù)的關系。進一步推導，可以得出結論：即：Ln（ST）Ln（S0）Ln（ST/S0）N（2/2）T，2T）。其中：S0：股票初始價格；T：是初始時間距目前階段的時間。進一步：Ln（ST）N（Ln（S0）（2/2）T，2T）

3、如果設ST是股票在T時刻的價值，則看漲期權的價值應該可以用下列函數(shù)表述：如果ST是一個隨機變量，滿足STX的概率為P，則滿足STX的概率就是1P，這樣投資者獲利的數(shù)學期望值就是：E（ST）（STX）×P0×（1P）這就是看漲期權C的價值估算。對于看跌期權P：如果滿足STX的概率為P，則滿足STX的概率就是1P，這樣投資者獲利的數(shù)學期望值就是：E（ST）（XST）×P0×（1P）這就是看跌期權P的價值估算。B-S模型的推導：由于看漲期權的收益：Ce-rTE（max（STX），0）e-rTE（STX/STX）E（STX/STX）上式中的后半部分，根據(jù)看漲期權

4、的定義是等于0的，因此可以得到看漲期權的收益：Ce-rTE（STX/STX）設：YLn（），則Y服從正態(tài)分布，而eY，這樣看漲期權的收益C可以改寫為：注意關注下式：該等式定義了N（d2）是隨機變量大于行權價X的概率，也就是發(fā)生行權事件的概率。（三）B-S模型的分類B-S模型一般分為兩類：（1）不含分紅派息的B-S模型：所謂不含分紅派息的B-S模型就是在估算股票期權價值時，認為標的股票在期權到期日之前這段時間內沒有分紅派息，或者說不考慮分紅派息；（2）含分紅派息的B-S模型：所謂含分紅派息的B-S模型就是在估算股票期權價值時，需要考慮標的股票在期權到期日之前這段時間內進行的分紅派息對期權價值的影

5、響。不含分紅派息的買期權C（Call Option）：C0SN（d1）Xe-rTN（d2）上式中：C0：不含分紅派息買期權（看漲期權）；X：期權執(zhí)行價；S：標的資產現(xiàn)實價格；r：連續(xù)復利計算的無風險收益率；T：期權到期時間；N（）：標準正態(tài)密度函數(shù)；d1，d2：B-S模型的兩個參數(shù)。上式中：X：期權執(zhí)行價；S：標的資產現(xiàn)實價格；r：連續(xù)復利計算的無風險收益率；T：期權到期時間；：股票波動率。含分紅派息的買期權C（看漲期權）：C1Se-TN（d1）Xe-rTN（d2）上式中：C1：含分紅派息的買期權（買期權、看漲期權）；X：期權執(zhí)行價；S：標的資產現(xiàn)實價格；r：連續(xù)復利計算的無風險收益率；T：期

6、權限制時間；：連續(xù)復利計算的股息率；N（）：標準正態(tài)密度函數(shù)；d1，d2：B-S模型的兩個參數(shù)。上式中：X：期權執(zhí)行價；S：標的資產現(xiàn)實價格；r：連續(xù)復利計算的無風險收益率；T：期權到期時間；：股票波動率；：連續(xù)復利計算的股息率。不含分紅派息的賣期權P0（看跌期權）：P0Xe-rTN（-d2）SN（-d1）含分紅派息賣期權P1（看跌期權）:P1Xe-rTN（-d2）Se-TN（-d1）看漲期權實際就是當標的資產的價格ST高于約定的行權價X時，期權擁有人就會行權，按行權價X買入標的資產，這時由于STX，因此期權擁有者可以獲利STX，反之當標的資產價格STX時，權利人不會行權，這時期權價值就是0，

7、上述情況可以用以下函數(shù)表述：看漲期權函數(shù)曲線看跌期權實際就是當標的資產的價格ST低于約定的行權價X時，期權擁有人就會行權，按行權價X賣出標的資產，這時由于STX，因此期權擁有者按X價賣出標的資產，還可以按ST再買回標的資產，這樣就可以獲利XST，反之當標的資產價格STX時，權利人不會行權，這時期權價值就是0，上述情況可以用以下函數(shù)表述：看跌期權函數(shù)曲線（四）特殊形式的期權兩點式期權（Binary Option）：所謂兩點式期權就是具有不連續(xù)收益的期權。典型的例子就是現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）期權?，F(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）看漲期權當標的資產價格低于執(zhí)行價時該

8、期權價值為0，當標的資產價格高于執(zhí)行價時，期權價值為給定值Q?，F(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）看漲期權的圖形：現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）看跌期權當標的資產價格低于執(zhí)行價時該期權價值為Q，當標的資產價格高于執(zhí)行價時，期權價值為制定值0?，F(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing）看跌期權的圖形：在B-S看漲期權模型中：C1Se-TN（d1）Xe-rTN（d2）標的資產價格高于執(zhí)行價的概率為N（d2），因此當標的資產低于執(zhí)行價時現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing Call）看漲期權價值為0，當標的資產價值高于執(zhí)行價時，該期權價值為：QXe-rTN（d2）在B-

9、S看跌期權模型中：P0Xe-rTN（-d2）SN（-d1）當標的資產高于執(zhí)行價時現(xiàn)金或無值（Cash-or-Nothing Put）看跌期權價值為0，當標的資產價值低于執(zhí)行價時，該期權價值為：QXe-rTN（-d2）（五）股票波動率的估算1股票波動率一般有兩個估算途徑（1）采用歷史數(shù)據(jù)估算；（2）采用隱含方式估算。2采用歷史數(shù)據(jù)估算的計算方法（1）采用與期權到期時間T相同年限的股票歷史數(shù)據(jù)計算；（2）每期數(shù)據(jù)采用Ln（St1/St）（t=1，2，3，n）；（3）估算歷史數(shù)據(jù)的標準差。3采用歷史數(shù)據(jù)法估算的方法（1）采用標的股票歷史數(shù)據(jù)估算。（2）采用對比公司或行業(yè)多個股票歷史數(shù)據(jù)估算。由于股票

10、波動是隨機的，因此對于某個特定股票的預期波動率與其歷史數(shù)據(jù)之間應該不存在關系，因此最好采用該股票所在行業(yè)的多個對比股票或全部股票的波動率方差平均值估算。（3）采用隱含法估算，一般都采用彭博數(shù)據(jù)，目前國內尚沒有相關機構提供相關數(shù)據(jù)。所謂隱含法就是向相關專業(yè)人員進行股票期權詢價，采用專業(yè)認定的期權價格反算股票的波動率。B-S模型中無風險收益率r、期權到期時間T和波動率三個參數(shù)估算應該相互匹配：如果r是采用年收益率，則T需要按年計算，也需要估算其年度波動率；如果r是采用月度收益率，則T需要按月計算，也需要估算其月度波動率；實際中多采用年度為時間單位計算r、T和。二、B-S模型在股票期權公允價值評估中

11、的應用（一）股票期權作為一種管理層激勵的一種手段越來越多地被國內上市公司所采用按照相關會計準則的要求，企業(yè)實施股權（票）激勵，需要按公允價值計量；實施股權（票）激勵的企業(yè)每年至少需要將其正在實施的股權（票）激勵的期權的公允價值評估出來，為財務報告目的服務；期權的公允價值評估的基準日選擇需要根據(jù)需要與企業(yè)或審計人員協(xié)商后確定。（二）股票期權激勵的概念所謂股票激勵期權通常是上市公司的董事會以決議的方式確定無償授予公司高級管理人員一個購買股票的權利，該權利規(guī)定授權人可以在一個特定時間內，在一定的條件下，以某一個特定的價格購買公司若干股股票。上市公司僅僅是授權公司高管可以以約定的價格購買股票，也就是授

12、權僅是可以購買股票，并不是授給公司高管股票。從另外一個角度分析，股票期權就是上市公司與公司的高級管理人員約定進行一項股票交易。上市公司是約定股票的賣方（空頭），其承擔義務是一旦買方要求購買股票，則其必須要按約定的價格賣出其持有的股票。公司管理人員則是股票的買方（多頭），其具有一項權利，可以在一個有效期內，按照約定低價格去購買一定數(shù)量的股票，管理人員可以選擇實際購買，也可以選擇不購買。上述交易中空頭方給予多頭方的權利不是免費的，需要多頭方給予對價補償，這個對價就是期權的價值。但是股票激勵實務中，管理層并不實際支付這個對價，因此造成上市公司需要自行支付對價，即在當期損益中增加相應的成本，這也是需要

13、進行財務報告目的評估的原因，準確計量上市公司替管理層支付這個期權的成本。從上述分析中可以看到股票激勵期權應該是一個有權購買股票的權利，因此是一個看漲期權（Call Option）。（三）股票期權公允價值評估案例分析1案例情況介紹ABC公司同事會決定對公司高管給予40萬份股票期權激勵。股票期權的授予日為：2011年X月28日。股票期權行權價格為16.85元，但是股票期權有效期內發(fā)生資本公積轉增股本、派發(fā)股票紅利、股份拆細或縮股、配股、派息等事宜，行權價格將做相應的調整。行權安排：本計劃授予的股票期權自本期激勵計劃授予日起滿12個月后。2模型選擇股票激勵期權的模型是看漲期權，通常包括兩種：（1）不

14、含分紅派息模型CSN（d1）Xe-rTN（d2）（2）包含分紅派息模型CSe-TN（d1）Xe-rTN（d2）根據(jù)案例介紹，本次授予的期權是要考慮分紅派息問題的，因此應該選擇含有分紅派息的模型：CSe-TN（d1）Xe-rTN（d2）3參數(shù)取值估算S：現(xiàn)實股票價格，取評估基準日ABC公司的股票均價15.1元/股；X：行權價格，根據(jù)ABC公司2011年X月28日的關于股票期權授予相關事項的公告，股票期權的行權價格為16.85元；T：股權有效期，選擇行權日距基準日的期間，按年計算，本次評估為一年（12個月）；r：連續(xù)復利計算的年無風險收益率，在Wind數(shù)據(jù)中選擇剩余年限為1-2年內的國債年到期收益

15、率平均值為3.579%；：股票波動率，選取Wind行業(yè)中可選消費-耐用消費品與服裝家庭耐用消費品家用器具與特殊消費品行業(yè)中的上市公司作為對比公司，取其基準日前股價并計算1年（12個月）的股票波動率為32.933%，并以此作為期權的預期波動率；：連續(xù)復利計算的股息率，ABC公司于2007年上市，截止評估基準日共進行兩次分紅，通過計算其歷史平均分紅率為0.530%，以此作為未來股息收益率。股票期權評估案例計算表三、B-S模型在限制流通股價值評估中的應用（一）采用期權估價方式估算缺少流通性折扣最早出現(xiàn)在1993年David B.H. Chaffe，III建議采用對沖交易手段作為缺少流通折扣的估算模式

16、；1995年，F(xiàn)rancis Longstaff發(fā)表了一個研究。采用的對沖交易策略是利用一個回望式看跌期權（Look-back Put）。（二）采用B-S模型估算限制流通價值的思路分析設股票現(xiàn)實價格為S，限制期為T年后的股票價格為X，如果投資者僅單買股票：（1）當限制期T年后，股票價格XS時，可以認為這個T年的限制期對于投資者沒有損失，不論股票是否存在限制，T年后全部盈利XS；（2）當限制期T年后，股票價格XS時，可以認為這個T年限制使得投資限制流通股票的投資者損失SX。如果投資者在投資買股票的同時又購買了一個期限為T，并且在期限T滿后的賣出股票行權價為股票初始價S的賣期權（看跌期權）：（1）

17、當限制期T年后，股票價格XS時，股票投資盈利XS，投資者不會行權，期權價值為0；（2）當限制期T年后，股票價格XS時，股票投資損失SX，但投資者擁有一個行權價為S賣期權，因此仍然可以以S的價格賣出股票，因此期權的價值為SX，也就是可以對沖股票投資的損失。結論：如果限制股票投資者在買股票的同時，再買一個相應賣期權，就可以有效對沖股票限制可能造成的損失。（三）采用B-S模型估算限制流通股價值案例1B-S模型選擇（1）最好應該選擇含分紅派息法B-S模型；（2）選擇行權日為限制期結束時的歐式期權。2各類參數(shù)的估算S：標的股票現(xiàn)實價值，取評估基準日標的股票的收盤價（或均價）；X：標的股票行權價，限制期結束日股票的期望價格，可以選