怎樣求點到平面的距離

1、怎樣求點到平面的距離徐加生在立體幾何中，求點到平面的距離是一個常見的題型，同時求直線到平面的距離、平行平面間的距離及多面體的體積也常轉(zhuǎn)化為求點到平面的距離。本文總結(jié)幾種求點到平面距離的常用方法，供參考。一 直接法根據(jù)空間圖形的特點和性質(zhì)，找到垂足的位置，直接向平面引垂線，構(gòu)造可解的直角三角形求解。例1. （1998年全國高考題）已知斜三棱柱的側(cè)面與底面ABC垂直，且；（I）求側(cè)棱與底面ABC所成角的大小；（II）求側(cè)面與底面ABC所成二面角的大小；（III）求頂點C到側(cè)面的距離。圖1簡析：（I）如圖1，取AC中點D，易得側(cè)棱與底面ABC所成的角為。（II）由于底面ABC，過D作于E，連，知，則

2、為所求二面角的平面角。易求得。（III）要求C到平面的距離，可直接作面于，CH的長就是點到平面的距離。關(guān)鍵是怎樣求CH的長。注意到，連BH，則由三垂線定理得，即為二面角的平面角。由（II）知，所以為所求。注：此法的關(guān)鍵是要找到可解的直角三角形來求解。二. 找垂面法找（作）出一個過該點的平面與已知平面垂直，然后過該點作其交線的垂線，則得點到平面的垂線段。例2. 正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，的中點為D。（1）求證平面；（2）求點B到平面的距離。圖2簡析：（1）連與相交于O，連DO。由三角形中位線定理易得，則。（2）由于O為的中點，所以點B到平面的距離等于點到平面的距離。由，得，又，所以面，交

3、線為AD（找到了垂面）。過作于H，則，所以的長度就是點到平面的距離。在中，所以點B到平面的距離為。三. 轉(zhuǎn)化法當(dāng)由點向平面引垂線發(fā)生困難時，可利用線面平行或面面平行轉(zhuǎn)化為直線上（平面上）其他點到平面的距離。例3. （1991年全國高考題）已知ABCD是邊長為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。簡析：如圖3，連AC分別與BD相交于O，與EF相交于H，由EF/BD，得BD/平面EFG。所以O(shè)到平面EFG的距離就是B到平面EFG的距離。易證平面平面GEF，交線為GH。在中，過O作于K，則OK長就是B到平面EFG的距離。利用相似三

4、角形，易得。圖3四. 等積法即利用三棱錐的換底法,通過積體計算得到點到平面的距離.本法具有設(shè)高不作高的特殊功效，減少了推理，但計算較為復(fù)雜。例4. 同例3。簡析：設(shè)B到面EFG的距離為h，由于，所以另一方面，所以，得即為B到平面GEF的距離。五. 坐標(biāo)向量法通過建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求模長的知識可求得點到平面的距離。例5. （2003年江蘇高考題）如圖4，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，D、E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是的重心G。（I）求與平面ABD所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（II）求點A1到平面AED的距離。圖4簡析：（I）易知為與平面ABD所成的角。不難求出。（II）分別以CA、CB、為x軸、y軸、z軸，建立如圖4所示的空間直角坐標(biāo)系。設(shè)，則A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），（2a，0，2），E（a，a，1）， ，所以由，解得。所以A（2，0，0），（2