微分方程初值問題求解matlab實驗

1、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗課程實驗報告 實驗名稱 微分方程初值問題求解matlab實驗 班級學(xué)號姓名序號任課教師實驗地點數(shù)學(xué)實驗中心評分一、實驗?zāi)康?、 學(xué)習(xí)簡單問題的常微分方程建模。2、 學(xué)習(xí)并理解食餌-捕食者模型；3、 掌握微分方程（組）初值問題的matlab數(shù)值求解；二、實驗要求和結(jié)果1.地中海鯊魚問題意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？ 年代1

2、9141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.71符號說明：食餌在t時刻的數(shù)量； 捕食者在t時刻的數(shù)量；食餌獨立生存時的增長率；捕食者獨自存在時的死亡率；捕食者掠取食餌的能力； 食餌對捕食者的供養(yǎng)能力.e捕獲能力系數(shù)2基本假設(shè)：（1）食餌由于捕食者的存在使增長率降低，假設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比； （2）捕食者由于食餌為它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增長，假定增長 的程度與食餌數(shù)量成正比。3模型建立與求解 模型（一） 不考慮人工捕獲 針對一組具體的數(shù)據(jù)用Mat

3、lab軟件進(jìn)行數(shù)值求解，畫出食餌和捕食者圖形以及相軌線圖.設(shè)食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為，對于數(shù)據(jù)，的終值經(jīng)試驗后確定為15，即模型為： 解：Matlab運行 首先建立M文件fun.m如下：function dx=fun(t,x)dx=zeros(2,1)dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1); 然后，輸入以下命令： t,x=ode45(fun,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)x1(t)和x2(t)的曲線圖如下x2(t)x1(t)食餌捕食者圖形 相軌線

4、y(x)的圖形如下：數(shù)值結(jié)果為t=77*1double, x=77*2double.該模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是最簡單的模型。食餌的量增加，捕食者也隨之增加；食餌的量減少，捕食者的量也隨之減少?？梢圆孪離1(t)和x2(t)都是周期函數(shù)。而且它們的循環(huán)是有一定周期的。模型（二） 考慮人工捕獲設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=0.3, 戰(zhàn)爭中降為e=0.1, 則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭中的模型分別為: 建立主程序shark1.m, 求解兩個方

5、程，并畫出兩種情況下鯊魚數(shù)在魚類總數(shù)中所占比例 x2(t)/x1(t)+x2(t)解：先在matlab中建立M文件shier1.m:function dx=shier1(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.7-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.8+0.02*x(1);再在matlab中先建立M文件shier2.m：function dx=shier2(t,x)dx=zeros(2,1);dx(1)=x(1)*(0.9-0.1*x(2);dx(2)=x(2)*(-0.6+0.02*x(1);然后在matlab中輸入以下命令：t,x=ode45(shier

6、1,0 15,25 2);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),-)t,x=ode45(shier2,0 15,25 2);plot(t,x(:,2)./(x(:,1)+x(:,2),*)求解結(jié)果：戰(zhàn)前x=65*2double t=65*1double 戰(zhàn)爭中x=77*2double t=77*1double戰(zhàn)前戰(zhàn)爭中結(jié)論：戰(zhàn)爭中鯊魚的比例比戰(zhàn)前高。 2.慢跑者與狗 一慢跑者在平面上沿著他喜歡的路徑跑步，突然遭到一只狗的攻擊，這只狗以恒定的速度跑向慢跑者，試計算狗追趕的軌跡。并就當(dāng)慢跑者沿路徑或（t為時間參數(shù)）跑動時，給出具體的數(shù)值結(jié)果和運動軌跡圖（狗的初始位置和速度可以

7、自行設(shè)定）。解：1. 模型建立 當(dāng)慢跑者沿路徑2慢跑時，設(shè)時刻t慢跑者的坐標(biāo)為（X(t),Y(t),狗的坐標(biāo)為（x(t),y(t),狗的速率為w=20,則X=10+20cos t, Y=20+15sin t, 狗從（0,0）出發(fā)，建立狗的運動軌跡的參數(shù)方程： x(0)=0,y(0)=02. 模型求解建立M文件eq2.m如下：function dy=eq2(t,y)dy=zeros(2,1);dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sq

8、rt(10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 10,0 0); Y=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(t); Y=20+15*sin(t); plot(X,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*)得到圖形：在chase2.m中，不斷修改tf的值，用二分法分別取tf=5,2.5,3.5,.,至3.15時，狗剛好追上慢跑者，即如下圖三、思考 自然界中不少吃農(nóng)作物的害蟲都有其天敵益蟲，也就是以害蟲為食餌的捕食者。因此害蟲和益蟲也構(gòu)成了一個食餌捕食者系統(tǒng)。如果人類使用的某種殺蟲劑，既能殺死害蟲，也能殺