數(shù)學(xué)模型——最佳廣告編排方案

1、實(shí)驗(yàn)八最佳廣告編排方案【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹?了解線性規(guī)劃問題及其可行解、基本解、最優(yōu)解的概念。2通過對實(shí)際應(yīng)用問題的分析，初步掌握建立線性規(guī)劃模型的基本步驟和方法。3學(xué)習(xí)掌握MATLAB軟件求解有關(guān)線性規(guī)劃的命令?！緦?shí)驗(yàn)內(nèi)容】一家廣告公司想在電視、廣播上做公司的宣傳廣告，其目的是爭取盡可能多地招徠顧客。下表是公司進(jìn)行市場調(diào)研的結(jié)果：電視網(wǎng)絡(luò)媒體雜志白天最佳時段每次做廣告費(fèi)用（千元）45862512受每次廣告影響的顧客數(shù)（千人）350880430180受每次廣告影響的女顧客數(shù)（千人）260450160100這家公司希望總廣告費(fèi)用不超過750（千元），同時還要求：（1）受廣告影響的婦女超過200萬；（2）

2、電視廣告的費(fèi)用不超過450（千元）；（3）電視廣告白天至少播出4次，最佳時段至少播出2次；（4）通過網(wǎng)絡(luò)媒體、雜志做的廣告要重復(fù)5到8次。【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】線性規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中產(chǎn)生較早的一個分支，如今在國防科技、經(jīng)濟(jì)學(xué)、現(xiàn)代工農(nóng)業(yè)、環(huán)境工程、生物學(xué)等眾多學(xué)科和領(lǐng)域里起著十分廣泛的應(yīng)用。線性規(guī)劃是在一組線性條件的約束之下，求某一個線性函數(shù)的最值問題。一般地，線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型為： () ( or , ) , 1 , 2 , , （1） 0 , 1 , 2 , , 用矩陣、向量符號，可以簡化線性規(guī)劃模型的表示： , , , 則線性規(guī)劃問題可寫為：() ( , ) （2） , 1 , 2 , , 這里， 稱

3、為目標(biāo)函數(shù)，為目標(biāo)函數(shù)的決策變量，為費(fèi)用系數(shù)，是常數(shù)向量； ( or , ) 稱為約束條件，為線性規(guī)劃的系數(shù)矩陣，它是常數(shù)矩陣，為利潤（費(fèi)用）向量，其中是subject to的縮寫，意思是“滿足約束條件”。1線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式線性規(guī)劃問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為 （3） 任何一種線性規(guī)劃都可以等價(jià)地轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式。（1）約束條件標(biāo)準(zhǔn)化松弛變量法如果約束條件中有不等式： 或 通過引入兩個非負(fù)變量xn+1，xn+2將上述約束條件轉(zhuǎn)換成下面等價(jià)形式： 或 可見約束不等式均可轉(zhuǎn)換為約束等式。（2）目標(biāo)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化若原問題是求（），可以轉(zhuǎn)換為求（）即可。2線性規(guī)劃問題的解在（3）中滿足約束條件，的向量（，）稱為線性

4、規(guī)劃問題的可行解，全體可行解組成的集合稱為可行域，使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的可行解稱為最優(yōu)解。如果矩陣的某列所構(gòu)成的方陣是滿秩的，則的列向量，構(gòu)成線性規(guī)劃的一組基，稱為線性規(guī)劃問題的一個基陣，的剩余部分組成的子矩陣記為，則可以寫成（，）。則相應(yīng)地可以寫成（，），的分量與的列相對應(yīng)，稱為基變量；的分量與的列相對應(yīng)，稱為非基變量。在約束中令所有非基變量取值為零時，得到的解（，0）稱為與相對應(yīng)的基解。當(dāng)基解所有的分量都取非負(fù)時，即滿足，則稱其為基可行解，相應(yīng)的基陣的列向量構(gòu)成可行基。既是最優(yōu)解，又是基可行解的稱為最優(yōu)基解。定理1如果線性規(guī)劃（3）有可行解，那么一定有基可行解。定理2如果線性規(guī)劃（3）有最

5、優(yōu)解，那么一定存在一個基可行解是最優(yōu)解。以上定理說明了如果所給的線性規(guī)劃（3）有最優(yōu)解，只要從基可行解上尋找最優(yōu)解就行了。由于基可行解的個數(shù)是有限的，只要對所有的基可行解一一檢查，就可以在有限次計(jì)算后確定最優(yōu)解或斷定該問題無最優(yōu)解。3求解線性規(guī)劃的MATLAB命令（1）MATLAB5.2及以下版本使用命令求解線性規(guī)劃模型： （4） 這里為×矩陣，為×1列向量，為×1列向量。x = lp( c , A , b )求解線性規(guī)劃模型（4）；x = lp( c , A , b , vlb , vub )指定決策變量的上下界vlbxvub；x = lp( c , A , b

6、 , vlb , vub , x0 )指定迭代的初始值x0；x = lp( c , A , b , vlb , vub , x0 , n )n表示中前n個約束條件等式約束；可以用help lp查閱有關(guān)該命令的詳細(xì)信息。（2）MATLAB5.3以上版本使用命令MATLAB5.3以上的版本中優(yōu)化工具箱（Optimization Toolbox）作了相當(dāng)大的改進(jìn)，雖然保留了lp命令，但已經(jīng)使用新的命令linprog取代lp，并且在未來版本中將刪除lp命令。求解的線性規(guī)劃模型： （5）·x = linprog( c , A , b )求解線性規(guī)劃模型（4）；x = linprog( c ,

7、A , b , Aeq , beq ) 求解模型（5），問題中沒有指定x的上下界；x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , lb , ub ) 求解線性規(guī)劃模型（5）；x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , lb , ub , x0 ) 指定迭代的初始值x0；如果模型（5）中不包含不等式約束條件，可用代替A和b表示缺??；如果沒有等式約束條件，可用代替Aeq和beq表示缺??；如果某個xi無下界或上界，可以設(shè)定lb（i）inf或ub（i）inf；用x , Fval代替上述各命令行中左邊的x，則可得到在最優(yōu)解x處的函數(shù)值Fval；可以

8、在MATLAB幫助文件中查閱有關(guān)該命令的詳細(xì)信息?！緦?shí)驗(yàn)方法與步驟】建立線性規(guī)劃模型有三個基本步驟：第一步，找出待定的未知變量（決策變量），并用代數(shù)符號來表示它們；第二步，找出問題的所有限制或約束條件，寫出未知變量的線性方程或線性不等式；第三步，找到模型的目標(biāo)，寫成決策變量的線性函數(shù)，以便求其最大或最小值。1引例問題的分析與模型的建立首先，確定決策變量，要求如何安排白天電視、最佳時段電視、網(wǎng)絡(luò)媒體、雜志廣告的次數(shù)，用符號表示，分別設(shè)定為，；其次，確定所有的約束條件，廣告總費(fèi)用不超過750（千元），則有45862512750受廣告影響的女顧客數(shù)不少于200萬，則有2604501601002000

9、電視廣告費(fèi)用不超過450（千元），且白天至少播4次，最佳時段至少播出2次，則有4586450 ，4 ，2由于網(wǎng)絡(luò)媒體和雜志廣告要重復(fù)5到8次，則有58 ，58最后，確定問題的目標(biāo)函數(shù)，由題意知確定廣告編排方案，使得受各種廣告影響的潛在顧客總數(shù)：350880430180最多。故該問題完整的線性規(guī)劃模型如下：35088043018045862512750 2604501601002000458600450000800084 ，2，5，52MATLAB計(jì)算機(jī)求解用MATLAB求解的程序代碼：>> c=-350 -880 -430 -180;%取將目標(biāo)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化>> a=45

10、86 25 12; -260 -450 -160 -100; 45 86 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1;>> b=750; -2000; 450; 8; 8;>> lb=4; 2; 5; 5;>> x , Fval=linprog(c, a, b, , , lb, )%無等式約束條件和的上界，取表缺省Optimization terminated successfully.x = 4.0000 3.1395 8.00008.0000Fval =-9.0428e+003【結(jié)果分析】引例問題的目標(biāo)函數(shù)是求受廣告影響的最多顧客人數(shù)，而MATLAB命令

11、linprog針對線性規(guī)劃模型（5）求最小值，那么我們?nèi)?，將目?biāo)函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，在求得的最小值后，我們即可得到的最大值，根據(jù)約束條件，受廣告影響的最多潛在顧客人數(shù)為9042800人。在這里，用命令lp可以求得相同的結(jié)果?！揪毩?xí)與思考】1一服務(wù)部門一周中每天需要不同數(shù)目的雇員：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少70人，周六至少85人?，F(xiàn)規(guī)定應(yīng)聘者需連續(xù)工作5天，試確定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在滿足需要的條件下聘用總?cè)藬?shù)最少。如果周日的需要量由75增至90人，方案應(yīng)如何改變？2某地液化氣公司兩營業(yè)點(diǎn)A和B每月的進(jìn)氣量分別為9萬 m3（立方）和12萬 m3（立方），聯(lián)合供應(yīng)4個居民區(qū)a、b、c、d，4個居民區(qū)每月對氣的需求量依次分別為7.5萬 m3、4.5萬 m3、6萬 m3、3萬 m3。營業(yè)點(diǎn)A離4個居民區(qū)的距離分別為7km、3km、6km、5.5km，營業(yè)點(diǎn)B離4個居民區(qū)的距離分別為4k