探究二次根式函數(shù)值域的求法

1、探究二次根式函數(shù)值域的求法有些含有二次根式的函數(shù)值域問題是高中數(shù)學(xué)中常見的題型，它的形式多種多樣，方法也靈法多變，幾乎涵蓋了所有的函數(shù)值域的求法。正因為它含有二次根式，因而求有關(guān)此類值域時也就有了它獨特的一面。下面通過不同的角度進(jìn)行探究。探究一：求的值域設(shè)想一：觀察此函數(shù)不難發(fā)現(xiàn)f在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求其值域。解： 24 即函數(shù)的定義域為又在其定義域內(nèi)是增函數(shù)。 當(dāng)綜上所述，函數(shù)的值域為設(shè)想二：在解析幾何中，一個代數(shù)式往往有一些特定的幾何意義，這就為我們實施數(shù)與形的轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)，而此題目正類似于我們學(xué)過的直線與圓。解：設(shè)a= (a0,b0) y=易得 故 可視為斜率為的

2、直線在圓上移動，何時截baoBA距最大，何時截距最小。由于，所以表示的僅為第一象限內(nèi)個圓，如右圖所示：由圖易知，直線經(jīng)過A點時，截距最小，直線過B點時，截距最大。將A（，0），B（0，）分別代入中，得 ， 所以，函數(shù)的值域為。設(shè)想三：一般說來，對于含二次根式的函數(shù)，三角代換可以化繁為簡，化難為易，下面探究如何換元。解：，設(shè) ，82 ，2 = ， ，即，故：函數(shù)的值域為。反思：以上三種方法思維不同，方法各異。主要體現(xiàn)了單調(diào)性，換元法，數(shù)形結(jié)合，化歸等多種數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想。將我們所學(xué)的知識逐層滲透到每種方法中。在解法二中，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，解法三中，三角換元體現(xiàn)了函數(shù)與方程的相互

3、轉(zhuǎn)化。諸如此類，以上方法均體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想，而這種思想，幾乎解每一道題都用，不愧為是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。探究二，求函數(shù)的值域。設(shè)想一：由于都是二次根式函數(shù)的值域求解問題，所以我們利用解析幾何中直線與圓來求解。BDOACyxba解：，（） ， 故可視為直線移動，何時截距最大，何時截距最小。由于，所以僅表示在第一象限內(nèi)的個圓。顯然，當(dāng)直線與圓切于A點時，截距最大。當(dāng)直線與圓交于C、B兩點時，截距最小。連接OA易知OD=,。設(shè)想二：由于本題中，二次根式下的被開方數(shù)含有二次項，所以它與探究題型略有變化，觀察題目，將原式兩邊平方，利用雙向不等式求解。解：令，即 =，,即，。設(shè)想三：利用三角換元。解：

4、設(shè)，=，又,當(dāng)=1時，最大，即，當(dāng)=時，最小，即，。反思：本題看似前面探究一類型不同，但解法大同小異。特別是三角換元與解析幾何幾乎是最常用的方法。但探究二也稍有不同，比如設(shè)想二中的解法，它僅適用于x的系數(shù)平方后能消去x，所以，它的解法比較巧妙，但也是解決本類題目型的一種常用方法。感悟與歸納：通過對二次根式函數(shù)值域求法的探究，對于我們的解題十分重要。逐如此類題型，我們應(yīng)學(xué)會以下幾點：1、 觀察分析二次根式函數(shù)的結(jié)構(gòu)，抓住本質(zhì)特征。2、 變換思維角度，多方位思考，巧思妙解。3、 重視思維的合理性，提高思維的靈活性。如在利用三角換元時，抓住兩個關(guān)系：，主要用來處理二次根式的函數(shù)值域問題。對于二次根式值域求解方法，常用到三角換元，數(shù)形轉(zhuǎn)化法，單調(diào)性法，以及向量等多種方法，而三角換元是處理二次根式的函數(shù)值域的最主要的方法，一般說來，對于二次根式的函數(shù)，均可考慮三角代換來幾何函數(shù)，其次是數(shù)形轉(zhuǎn)化法，在解析幾何中，一個代數(shù)式往往具有一些特定的幾何意義，這就為我們實施數(shù)與形的轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。其次，根據(jù)